高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入學業(yè)質量標準檢測 新人教A版選修22

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1、 第三章 學業(yè)質量標準檢測 時間120分鐘,滿分150分. 一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的) 1.(2017全國卷Ⅱ)=( D ) A.1+2i         B.1-2i C.2+i D.2-i [解析] ===2-i. 故選D. 2.已知i是虛數(shù)單位,則=( D ) A.1-2i       B.2-i C.2+i D.1+2i [解析] ===1+2i. 3.設復數(shù)z=-1-i(i為虛數(shù)單位),z的共軛復數(shù)是,則等于( C ) A.-1-2i B.-2+i C.-1+2i D.

2、1+2i [解析] 由題意可得= ==-1+2i,故選C. 4.復數(shù)z=(m∈R,i為虛數(shù)單位)在復平面上對應的點不可能位于( A ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] z===[(m-4)-2(m+1)i],其實部為(m-4),虛部為-(m+1), 由得此時無解.故復數(shù)在復平面上對應的點不可能位于第一象限. 5.已知i是虛數(shù)單位,a、b∈R,則“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( A ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 [解析] 本題考查充分條件、必要條件及復數(shù)的運算,當

3、a=b=1時,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反之,(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,則a2-b2=0,2ab=1,解a=1,b=1或a=-1,b=-1,故a=1,b=1是(a+bi)2=2i的充分不必要條件,選A. 6.若復數(shù)z1=3+i,z2=1-i,則z=z1z2在復平面內(nèi)的對應點位于( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] ∵z1z2=(3+i)(1-i)=3-3i+i-i2=4-2i, ∴z=z1z2在復平面內(nèi)的對應點位于第四象限. 7.已知關于x的方程x2+(1-2i)x+3m-i=0有實根,則實數(shù)m滿足( C )

4、 A.m≤- B.m≥- C.m= D.m=- [解析] 設實根為x0,則x+(1-2i)x0+3m-i=0,即(x+x0+3m)-(2x0+1)i=0, ∴解得 8.若z1,z2∈C,則z1+z2是( B ) A.純虛數(shù) B.實數(shù) C.虛數(shù) D.實數(shù)或虛數(shù) [解析] 設z1=x+yi,z2=a+bi,x,y∈R,則z1+1z2=(x+yi)(a-bi)+(x-yi)(a+bi)=2(ax+by)+(ay-bx+bx-ay)i=2(ax+by)∈R. 9.設有下面四個命題 p1:若復數(shù)z滿足∈R,則z∈R; p2:若復數(shù)z滿足z2∈R,則z∈R; p3:若復數(shù)z1

5、,z2滿足z1z2∈R,則z1=2; p4:若復數(shù)z∈R,則∈R. 其中的真命題為( B ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 [解析] 設z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R). 對于p1,若∈R,即=∈R,則b=0?z=a+bi=a∈R,所以p1為真命題. 對于p2,若z2∈R,即(a+bi)2=a2+2abi-b2∈R,則ab=0. 當a=0,b≠0時,z=a+bi=bi?R,所以p2為假命題. 對于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1

6、b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,則a1b2+a2b1=0.而z1=2,即a1+b1i=a2-b2i?a1=a2,b1=-b2.因為a1b2+a2b1=0?/ a1=a2,b1=-b2,所以p3為假命題. 對于p4,若z∈R,即a+bi∈R,則b=0?=a-bi=a∈R,所以p4為真命題. 10.若θ∈,則復數(shù)(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i在復平面內(nèi)所對應的點在( B ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] θ∈時, sinθ+cosθ<0,sinθ-cosθ>0, 故對應點(cosθ+sinθ,sinθ-cosθ)在第二象

7、限. 11.(2018成都高二檢測)若A,B為銳角三角形的兩個內(nèi)角,則復數(shù)z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)對應的點位于復平面內(nèi)的( B ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] ∵A、B為銳角三角形的內(nèi)角, ∴-B,B>-A, ∴sinA>sin(-B)=cosB, sinB>sin(-A)=cosA, ∴, ∴對應點在第二象限,故選B. 12.(2018南寧高二檢測)復數(shù)z滿足條件:|2z+1|=|z-i|,那么z對應的點的軌跡是( A ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 [解

8、析] 設z=a+bi(a,b∈R), ∴|2z+1|= |z-i|= ∴= 整理得:a2+b2+a+b=0. 故選A. 二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分,把正確答案填在題中橫線上) 13.(2018和平區(qū)三模)設i是虛數(shù)單位,復數(shù)z=,則|z|等于3. [解析] z====+i, ∴則|z|==3. 故答案為3. 14.(2016北京理,9)設a∈R,若復數(shù)(1+i)(a+i)在復平面內(nèi)對應的點位于實軸上,則a=-1. [解析] (1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,由已知得a+1=0,解得a=-1. 15.已知復數(shù)z1=cosα+isin

9、α,z2=cosβ+isinβ,則復數(shù)z1z2的實部是cos(α+β). [解析] z1z2=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ) cosαcosβ-sinαsinβ+(cosαsinβ+sinαcosβ)i =cos(α+β)+sin(α+β)i 故z1z2的實部為cos(α+β). 16.已知+i是實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+1=0的一個根,則a=1,b=-. [解析] 把+i代入方程得 a(+i)2+b(+i)+1=0, 即(a+b+1)+(+b)i=0. ∴即解得 三、解答題(本大題共6個大題,共70分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 1

10、7.(本題滿分10分)已知z=1+i,a,b∈R,若=1-i,求a,b的值. [解析] ∵z=1+i,∴z2=2i, ∴===a+2-(a+b)i=1-i, ∴,∴ 18.(本題滿分12分)已知m∈R,復數(shù)z=+(m2+2m-3)i,當m為何值時,(1)z∈R.(2)z對應的點在直線x+y+3=0上. [解析] (1)當z為實數(shù)時,則有m2+2m-3=0且m-1≠0 得m=-3,故當m=-3時,z∈R. (2)當z對應的點在直線x+y+3=0上時,則有+(m2+2m-3)+3=0,得=0, 解得m=0或m=-1. 所以當m=0或m=-1時,z對應的點在直線x+y+3=0上.

11、 19.(本題滿分12分)已知z=,其中i為虛數(shù)單位,a>0,復數(shù)ω=z(z+i)的虛部減去它的實部所得的差等于,求復數(shù)ω的模. [解析] ∵z=,代入ω=z(z+i),得 ω=(+i)= == =+i, ∴ω的實部為,虛部為, 由已知得-=, 解得a2=4,∴a=2. 又a>0,故a=2. |ω|=|+i|=|+i| =|+3i|=. 20.(本題滿分12分)已知復數(shù)z= ,ω=z+ai(a∈R),當||≤時,求a的取值范圍. [解析] ∵z===1-i, ∴|z|=.又=≤,∴|ω|≤2. 而ω=z+ai=(1-i)+ai=1+(a-1)i,(a∈R), 則

12、≤2?(a-1)2≤3, ∴-≤a-1≤,1-≤a≤1+.即a的取值范圍為[1-,1+]. 21.(本題滿分12分)(2016天津高二檢測)設O為坐標原點,已知向量,分別對應復數(shù)z1,z2,且z1=-(10-a2)i,z2=+(2a-5)i,a∈R,若z1+z2可以與任意實數(shù)比較大小,求的值. [解析] 依題意得z1+z2為實數(shù), 因為z1+z2=++[(a2-10)+(2a-5)]i, 所以所以a=3. 此時z1=-i,z2=-1+i, 即=(,-1),=(-1,1). 所以=(-1)+(-1)1=-. 22.(本題滿分14分)將一顆質地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為

13、1、2、3、4、5、6)先后拋擲兩次,記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a,第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b. (1)設復數(shù)z=a+bi(i為虛數(shù)單位),求事件“z-3i為實數(shù)”的概率; (2)求點P(a,b)落在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)(含邊界)的概率. [解析] (1)z=a+bi(i為虛數(shù)單位),z-3i為實數(shù),則a+bi-3i=a+(b-3)i為實數(shù),則b=3. 依題意得b的可能取值為1、2、3、4、5、6,故b=3的概率為. 即事件“z-3i為實數(shù)”的概率為. (2)連續(xù)拋擲兩次骰子所得結果如下表: 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4

14、) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 由上表知,連續(xù)拋擲兩次骰子共有36種不同的結果. 不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示(含邊界). 由圖知

15、,點P(a,b)落在四邊形ABCD內(nèi)的結果有:(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6),共18種. 所以點P(a,b)落在四邊形ABCD內(nèi)(含邊界)的概率為P==. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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