高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.2 導數(shù)的計算 1.2.2 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則二學案 新人教A版選修22

《高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.2 導數(shù)的計算 1.2.2 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則二學案 新人教A版選修22》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.2 導數(shù)的計算 1.2.2 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則二學案 新人教A版選修22（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1.2.2　基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則(二) 學習目標：1.了解復合函數(shù)的概念(易混點).2.理解復合函數(shù)的求導法則，并能求簡單的復合函數(shù)的導數(shù)(重點、易錯點)． [自 主 預 習探 新 知] 1．復合函數(shù)的概念 一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數(shù)，記作y＝f(g(x))． 思考：函數(shù)y＝log2(x＋1)是由哪些函數(shù)復合而成的？ [提示]　函數(shù)y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1兩個函數(shù)復合而成的． 2．復合函數(shù)的求導法則 復合函數(shù)y＝f

2、(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為y′x＝y(tǒng)′uu′x，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積． [基礎自測] 1．思考辨析 (1)函數(shù)f(x)＝是復合函數(shù)．(　　) (2)函數(shù)f(x)＝ln(1－x)的導數(shù)是f′(x)＝.(　　) (3)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導數(shù)為f′(x)＝cos x．(　　) [答案]　(1)√　(2)　(3) 2．函數(shù)y＝的導數(shù)是(　　) A．　　　　　　　 B． C．－ D．－ C　[∵y＝， ∴y′＝－2(3x－1)′ ＝－.] 3．函數(shù)y＝是由________三個函數(shù)復合而成的． [

3、答案]　y＝，u＝v2＋1，v＝sin x [合 作 探 究攻 重 難] 復合函數(shù)的導數(shù) 　求下列函數(shù)的導數(shù)． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x. 【導學號：31062030】 [解]　(1)函數(shù)y＝e2x＋1可看作函數(shù)y＝eu和u＝2x＋1的復合函數(shù)， ∴y′x＝y(tǒng)′uux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)函數(shù)y＝可看作函數(shù)y＝u－3和u＝2x－1的復合函數(shù)， ∴y′x＝y(tǒng)′uux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4 ＝－6(2x－1)－4＝－. (3)函數(shù)y＝

4、5log2(1－x)可看作函數(shù)y＝5log2u和u＝1－x的復合函數(shù)， ∴y′x＝y(tǒng)′uu′x＝(5log2u)′(1－x)′＝＝. (4)函數(shù)y＝sin3x可看作函數(shù)y＝u3和u＝sin x的復合函數(shù)，函數(shù)y＝sin 3x可看作函數(shù)y＝sin v和v＝3x的復合函數(shù)． ∴y′x＝(u3)′(sin x)′＋(sin v)′(3x)′ ＝3u2cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x. [規(guī)律方法]　1.解答此類問題常犯兩個錯誤 (1)不能正確區(qū)分所給函數(shù)是否為復合函數(shù)； (2)若是復合函數(shù)，不能正確判斷它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成． 2．復合函

5、數(shù)求導的步驟 [跟蹤訓練] 1．求下列函數(shù)的導數(shù)． (1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)； (3)y＝2sin；(4)y＝. [解]　(1)令u＝3x－2， 則y＝10u， 所以y′x＝y(tǒng)′uux′＝10uln 10(3x－2)′ ＝3103x－2ln 10. (2)令u＝ex＋x2，則y＝ln u， 所以y′x＝y(tǒng)′uu′x＝(ex＋x2)′＝(ex＋2x)＝. (3)設y＝2sin u，u＝3x－， 則y′x＝y(tǒng)′uu′x＝2cos u3＝6cos. (4)設y＝u，u＝1－2x， 則y′x＝y(tǒng)′uu′x＝′(1－2x)′＝－u(

6、－2)＝(1－2x) . 復合函數(shù)與導數(shù)的運算法 則的綜合應用 　求下列函數(shù)的導數(shù)． (1)y＝； (2)y＝x； (3)y＝xcossin. [解]　(1)∵(ln 3x)′＝(3x′)＝， ∴y′＝ ＝＝. (2)y′＝(x)′＝x′＋x()′ ＝＋ ＝. (3)∵y＝xcossin ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x， ∴y′＝′＝－sin 4x－cos 4x4 ＝－sin 4x－2xcos 4x. [規(guī)律方法]　1.在對函數(shù)求導時，應仔細觀察及分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導法則，聯(lián)系學過的求導公式，對不易用求導法則求導的函數(shù)，可適當

7、地進行等價變形，以達到化異求同、化繁為簡的目的. 2.復合函數(shù)的求導熟練后，中間步驟可以省略，即不必再寫出函數(shù)的復合過程，直接運用公式，從外層開始由外及內(nèi)逐層求導. [跟蹤訓練] 2．求下列函數(shù)的導數(shù)． (1)y＝sin2；(2)y＝sin3x＋sin x3； (3)y＝；(4)y＝xln(1＋x). 【導學號：31062031】 [解]　(1)∵y＝， ∴y′＝′＝sin x. (2)y′＝(sin3x＋sin x3)′ ＝(sin3x)′＋(sin x3)′ ＝3sin2xcos x＋cos x33x2 ＝3sin2xcos x＋3x2cos x3. (3)y

8、′＝＝ ＝. (4)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′ ＝ln(1＋x)＋. 導數(shù)運算法則的綜合應用 [探究問題] 1．若直線y＝x＋b與曲線y＝ex相切于點P，你能求出切點坐標及b的值嗎？ 提示：設P(x0，y0)，由題意可知y′|x＝x0＝ex0， 所以ex0＝1，即x0＝0， ∴點P(0,1)． 由點P(0,1)在直線y＝x＋b上可知b＝1. 2．若點P是曲線y＝ex上的任意一點，求點P到直線y＝x的最小距離？ 提示：如圖，當曲線y＝ex在點P(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行時，點P到直線y＝x的距離最近， 則曲線y＝ex在點P(x0，y

9、0)處的切線斜率為1，又y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)． 利用點到直線的距離公式得最小距離為. 　(1)曲線y＝ln(2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是(　　) A．　　　　 B．2 C．3 D．0 (2)設曲線y＝eax在點(0,1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝________. [思路探究]　(1)―→ ―→ (2)―→ [解析]　(1)設曲線y＝ln(2x－1)在點(x0，y0)處的切線與直線2x－y＋3＝0平行． ∵y′＝， ∴y′|x＝x0＝＝2， 解得x0＝1，

10、∴y0＝ln(2－1)＝0， 即切點坐標為(1,0)． ∴切點(1,0)到直線2x－y ＋3＝0的距離為d＝＝， 即曲線y＝ln(2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是. (2)令y＝f(x)，則曲線y＝eax在點(0,1)處的切線的斜率為f′(0)，又切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因為f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2. [答案]　(1)A　(2)2 母題探究：1.(變條件)本例(1)的條件變?yōu)椤扒€y＝ln(2x－1)上的點到直線2x－y＋m＝0的最小距離為2”，求m

11、的值． [解]　由題意可知，設切點P(x0，y0)，則 y′|x＝x0＝＝2，∴x0＝1，即切點P(1,0)， ∴＝2，解得m＝8或－12. 即實數(shù)m的值為8或－12. 2．(變結(jié)論)求(2)中曲線的切線與坐標軸圍成的面積． [解]　由題意可知，切線方程為y－1＝2x，即2x－y＋1＝0. 令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝.∴SΔ＝1＝. [規(guī)律方法]　本題正確的求出復合函數(shù)的導數(shù)是前提，審題時注意所給點是否是切點，挖掘題目隱含條件，求出參數(shù)，解決已知經(jīng)過一定點的切線問題，尋求切點是解決問題的關鍵. [當 堂 達 標固 雙 基] 1．函數(shù)y＝(x2－1)n的復合過程正

12、確的是(　　) A．y＝un，u＝x2－1　　　 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 [答案]　A 2．函數(shù)y＝(2 017－8x)3的導數(shù)y′＝(　　) A．3(2 017－8x)2 B．－24x C．－24(2 017－8x)2 D．24(2 017－8x)2 C　[y′＝3(2 017－8x)2(2 017－8x)′ ＝3(2 017－8x)2(－8)＝－24(2 017－8x)2.] 3．函數(shù)y＝x2cos 2x的導數(shù)為(　　) A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2

13、x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x B　[y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′ ＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)(2x)′ ＝2xcos 2x－2x2sin 2x.] 4．已知f(x)＝ln(3x－1)，則f′(1)＝________. [解析]　∵f′(x)＝， ∴f′(1)＝＝. [答案]　 5．設f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b為常數(shù))，曲線y＝f(x)與直線y＝x在(0,0)點相切．求a，b的值． [解]　由曲線y＝f(x)過(0,0

14、)點，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1. 由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，則f′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即為曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線的斜率．由題意，得＋a＝，故a＝0. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375