高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.2 平面向量的線性運算 2.2.1 向量加法運算及其幾何意義學案 新人教A版必修4

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1、 2.2.1　向量加法運算及其幾何意義 學習目標：1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的幾何意義及其運算律．(難點)2.掌握向量加法運算法則，能熟練地進行加法運算．(重點)3.數(shù)的加法與向量的加法的聯(lián)系與區(qū)別．(易混點) [自 主 預 習探 新 知] 1．向量加法的定義 定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法． 對于零向量與任一向量a，規(guī)定0＝a＋0＝a. 2．向量求和的法則 三角 形法則 已知非零向量a，b，在平面內任取一點A，作＝a，＝b，則向量A叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行 四邊 形法則 已知兩個不共線向量a，b，作＝a，＝b，

2、以，為鄰邊作?ABCD，則對角線上的向量A＝a＋b. 3．向量加法的運算律 (1)交換律：a＋b＝b＋a. (2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． [基礎自測] 1．思考辨析 (1)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.(　　) (2)＋＝0.(　　) (3)求任意兩個非零向量的和都可以用平行四邊形法則．(　　) [解析]　(1)正確．(2)正確．(3)錯誤．平行四邊形法則只適用于求兩個不共線的向量的和． [答案]　(1)√　(2)√　(3) 2.＋＋等于(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. C　[＋＋＝＋＋＝.] 3．如圖221，在平行四邊

3、形ABCD中，＋＝________. 圖221 　[由平行四邊形法則可知＋＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 向量加法運算法則的應用 [探究問題] 1．求作兩個向量和的法則有哪些？這些法則的物理模型是什么？ 提示：(1)平行四邊形法則，對應的物理模型是力的合成等． (2)三角形法則，對應的物理模型是位移合成等． 2．設A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面內的點，則一般情況下，＋＋＋…＋的運算結果是什么？ 提示：將三角形法則進行推廣可知＋＋＋…＋＝. 　(1)如圖222，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，F(xiàn)為線段DE延長線上一點，DE∥B

4、C，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填上一個向量)： 圖222 ①＋＝________；②＋＝________；③＋＋＝________. (2)①如圖223甲所示，求作向量和a＋b. ②如圖223乙所示，求作向量和a＋b＋c. 甲　　　　 　　乙 圖223 [思路探究]　(1)先由平行四邊形的性質得到有關的相等向量，并進行代換，然后用三角形法則化簡． (2)用三角形法則或平行四邊形法則畫圖． (1)①　②?、邸(1)如題圖，由已知得四邊形DFCB為平行四邊形，由向量加法的運算法則可知： ①＋＝＋＝.

5、 ②＋＝＋＝. ③＋＋＝＋＋＝. (2)①首先作向量＝a，然后作向量＝b，則向量＝a＋b.如圖所示． ②法一(三角形法則)：如圖所示，首先在平面內任取一點O，作向量＝a，再作向量＝b，則得向量＝a＋b，然后作向量＝c，則向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求． 法二(平行四邊形法則)：如圖所示，首先在平面內任取一點O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB為鄰邊作?OADB，連接OD，則＝＋＝a＋b.再以OD，OC為鄰邊作?ODEC，連接OE，則＝＋＝a＋b＋c即為所求．] 母題探究：1.在例1(1)條件下，求＋. [解]　因為BC∥DF，BD∥CF，所以四邊形BCFD是平行四

6、邊形， 所以＋＝. 2．在例1(1)圖形中求作向量＋＋. [解]　過A作AG∥DF交CF的延長線于點G， 則＋＝作＝，連結， 則＝＋＋，如圖所示． [規(guī)律方法]　1.向量求和的注意點： (1)三角形法則對于兩個向量共線時也適用． (2)兩個向量的和向量仍是一個向量． (3)平行四邊形法則對于兩個向量共線時不適用． 2．利用三角形法則時，要注意兩向量“首尾順次相連”，其和向量為“起點指向終點”的向量；利用平行四邊形法則要注意兩向量“共起點”，其和向量為共起點的“對角線”向量． 提醒：(1)當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的；(2)三角形法則

7、作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半． 向量加法運算律的應用 　(1)設a＝(＋)＋(＋)，b是一個非零向量，則下列結論正確的有________．(將正確答案的序號填在橫線上) ①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|. (2)如圖224，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，化簡下列各式： 圖224 ①＋＋； ②＋＋＋. [思路探究]　根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾連接，再運用向量的結合律調整向量順序后相加． [解]　(1)由條件得：(＋)＋(＋)＝0＝a，故選①③. (2)①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝

8、； ②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. [規(guī)律方法]　向量加法運算律的意義和應用原則： (1)意義： 向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實現(xiàn)恰當利用向量加法法則運算的目的.,實際上，由于向量的加法滿足交換律和結合律，故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行. (2)應用原則： 利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序. [跟蹤訓練] 1．已知正方形ABCD的邊長等于1，則|＋＋＋|＝________. 2　[|＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2.] 向量加法的實際應用 　如圖225，用

9、兩根繩子把重10 N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW＝150，∠BCW＝120，求A和B處所受力的大小(繩子的重量忽略不計) 圖225 [思路探究]　 →→ [解]　如圖所示，設，分別表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，則＋＝. 易得∠ECG＝180－150＝30， ∠FCG＝180－120＝60. ∴||＝||cos 30＝10＝5， ||＝||cos 60＝10＝5. ∴A處所受的力為5 N，B處所受的力為5 N. [規(guī)律方法]　利用向量的加法解決實際應用題的三個步驟 [跟蹤訓練] 2．如圖226所示，一架飛機從A地按北偏東35的方向飛行800 k

10、m到達B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55的方向飛行800 km送往C地醫(yī)院，求這架飛機飛行的路程及兩次位移的和. 圖226 [解]　設，分別表示飛機從A地按北偏東35的方向飛行800 km，從B地按南偏東55的方向飛行800 km，則飛機飛行的路程指的是||＋||； 兩次飛行的位移的和指的是＋＝. 依題意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35，β＝55，∠ABC＝35＋55＝90， 所以||＝＝ ＝800(km)． 其中∠BAC＝45，所以方向為北偏東35＋45＝80. 從而飛機飛行的路程是1 600 km，兩次飛行的位移和的大小為80

11、0 km，方向為北偏東80. [當 堂 達 標固 雙 基] 1．化簡＋＋等于(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. C　[＋＋＝.] 2．對于任意一個四邊形ABCD，下列式子不能化簡為的是(　　) A.＋＋ B.＋＋ C.＋＋ D.＋＋ C　[在A中＋＋＝＋＝；在B中＋＋＝＋＝；在C中＋＋＝＋＝；在D中＋＋＝＋＝＋＝.] 3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60，||＝1，則|＋|＝________. 1　[在菱形ABCD中，連接BD(圖略)， ∵∠DAB＝60，∴△BAD為等邊三角形， 又∵||＝1，∴||＝1， |＋|＝||＝1.] 4．

12、若a表示“向東走8 km”，b表示“向北走8 km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________． 8 km　東北方向　[如圖所示，作＝a，＝b， 則a＋b＝＋＝. 所以|a＋b|＝|| ＝＝8(km)， 因為∠AOB＝45， 所以a＋b的方向是東北方向．] 5．如圖227所示，設O為正六邊形ABCDEF的中心，求下列向量： 圖227 (1)＋； (2)＋. [解]　(1)由題圖可知，四邊形OABC為平行四邊形．由向量加法的平行四邊形法則，得＋＝. (2)由題圖可知，＝＝＝， ∴＋＝＋＝. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375