高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)3 合情推理 新人教A版選修12

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1、 課時(shí)分層作業(yè)(三)　合情推理 (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1. 下列推理是歸納推理的是(　　) A．A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的軌跡為橢圓 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式 C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜出橢圓＋＝1的面積S＝πab D．科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛艇 B　[由歸納推理的定義知B是歸納推理，故選B.] 2．由代數(shù)式的乘法法則類(lèi)比得到向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則： ①“mn＝nm”類(lèi)比得到“ab＝ba”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt

2、”類(lèi)比得到“(a＋b)c＝ac＋bc”； ③“(mn)t＝m(nt)”類(lèi)比得到“(ab)c＝a(bc)”； ④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類(lèi)比得到“p≠0，ap＝xp?a＝x”； ⑤“|mn|＝|m||n|”類(lèi)比得到“|ab|＝|a||b|”； ⑥“＝”類(lèi)比得到“＝”． 其中類(lèi)比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662051】 A．1　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 B　[由向量的有關(guān)運(yùn)算法則知①②正確，③④⑤⑥都不正確，故選B.] 3．在數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，則猜想an是(　　) A．2n－2 B．2n－2 C．2n－2－

3、 D．2n＋1－4 A　[∵a1＝0＝21－2， ∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2， a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2， …… 猜想an＝2n－2.故選A.] 4．用火柴棒擺“金魚(yú)”，如圖217所示： 圖217 按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚(yú)”圖需要火柴棒的根數(shù)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662052】 A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 C　[歸納“金魚(yú)”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚(yú)”都比它前面的“金魚(yú)”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚(yú)頭部分，故各“金魚(yú)”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8

4、，公差是6的等差數(shù)列，所以第n個(gè)“金魚(yú)”圖需要的火柴棒的根數(shù)為an＝6n＋2.] 5．設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝，類(lèi)比這個(gè)結(jié)論可知：四面體SABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球半徑為r，四面體SABC的體積為V，則r＝(　　) A. B. C. D. C　[設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個(gè)面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和．則四面體的體積為V四面體ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝.] 二、填空題 6．觀(guān)察分析下表中的數(shù)據(jù)： 多面體

5、 面數(shù)(F) 頂點(diǎn)數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱柱 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12 猜想一般凸多面體中F，V，E所滿(mǎn)足的等式是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662053】 F＋V－E＝2　[觀(guān)察分析、歸納推理． 觀(guān)察F，V，E的變化得F＋V－E＝2.] 7．觀(guān)察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 照此規(guī)律，第n個(gè)等式為_(kāi)_______． n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2　[觀(guān)察所給等式，等式左邊第一個(gè)加數(shù)與行數(shù)相同，加數(shù)的個(gè)數(shù)為2

6、n－1，故第n行等式左邊的數(shù)依次是n，n＋1，n＋2，…，(3n－2)；每一個(gè)等式右邊的數(shù)為等式左邊加數(shù)個(gè)數(shù)的平方，從而第n個(gè)等式為n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.] 8．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類(lèi)似結(jié)論為_(kāi)_______． a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29　[結(jié)合等差數(shù)列的特點(diǎn)，類(lèi)比等比數(shù)列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，則有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29.] 三、解答題 9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－且Sn＋＋2＝an(n≥2)

7、，計(jì)算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662054】 [解]　先化簡(jiǎn)遞推關(guān)系：n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1， ∴Sn＋＋2＝Sn－Sn－1， ∴＋Sn－1＋2＝0. 當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝－. 當(dāng)n＝2時(shí)，＝－2－S1＝－，∴S2＝－. 當(dāng)n＝3時(shí)，＝－2－S2＝－，∴S3＝－. 當(dāng)n＝4時(shí)，＝－2－S3＝－，∴S4＝－. 猜想：Sn＝－，n∈N＋. 10．如圖218所示，在長(zhǎng)方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與兩鄰邊所成的角分別為α、β，則cos2α＋cos2β＝1，則在立體幾何中，給出類(lèi)比猜想． 圖218 [解]　在長(zhǎng)方形ABCD中，c

8、os2α＋cos2β＝＋＝＝＝1. 于是類(lèi)比到長(zhǎng)方體中，猜想其體對(duì)角線(xiàn)與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為α、β、γ， 則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 證明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝＋＋＝＝＝1. [能力提升練] 1．類(lèi)比平面內(nèi)“垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行”的性質(zhì)，可推出下列空間結(jié)論： ①垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行；②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)互相平行；③垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行；④垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行，則其中正確的結(jié)論是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662055】 A．①②　　　　　 B．②③ C．③④ D．①④

9、 B　[根據(jù)立體幾何中線(xiàn)面之間的位置關(guān)系及有關(guān)定理知，②③是正確的結(jié)論．] 2．觀(guān)察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)等于(　　) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) D　[由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．] 3．可以運(yùn)用下面的原理解決一些相關(guān)圖形(如圖219)的面積問(wèn)題：如果與一固定直線(xiàn)平行的直線(xiàn)被甲、乙兩個(gè)封閉的圖形所截得

10、的線(xiàn)段的比都為k，那么甲的面積是乙的面積的k倍．你可以從給出的簡(jiǎn)單圖形①、②中體會(huì)這個(gè)原理．現(xiàn)在圖③中的兩個(gè)曲線(xiàn)的方程分別是＋＝1(a＞b＞0)與x2＋y2＝a2，運(yùn)用上面的原理，圖③中橢圓的面積為_(kāi)_______． 圖219 πab　[由于橢圓與圓截y軸所得線(xiàn)段之比為，即k＝，∴橢圓面積S＝πa2＝πab.] 4．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣： 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 11　12　13　14　15 …… 按照以上排列的規(guī)律，第n行(n≥3)從左向右的第3個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662056】 　[前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋…

11、＋(n－1)個(gè)，即個(gè)，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第＋3個(gè)，即為.] 5．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖2110(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形． 圖2110 (1)求出f(5)； (2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n＋1)與f(n)的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求f(n)的表達(dá)式． [解]　(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25， ∴f(5)＝25＋44＝41. (2)

12、∵f(2)－f(1)＝4＝41， f(3)－f(2)＝8＝42， f(4)－f(3)＝12＝43， f(5)－f(4)＝16＝44， 由上式規(guī)律得出f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴f(2)－f(1)＝41， f(3)－f(2)＝42， f(4)－f(3)＝43， … f(n－1)－f(n－2)＝4(n－2)， f(n)－f(n－1)＝4(n－1)． ∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)n， ∴f(n)＝2n2－2n＋1. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375