八年級數(shù)學(xué)上冊 13.5 逆命題與逆定理 13.5.3 角平分線教案1 新版華東師大版

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1、 13.5.3角平分線 【教學(xué)目標(biāo)】 一、知識與技能： 1、掌握角平分線的性質(zhì)定理及判定定理，并能用邏輯推理的方法證明； 2、知道三角形內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交點(diǎn)； 3、能用角平分線的有關(guān)定理去證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等. 二、過程與方法： 通過閱讀，動手證明，在理解、掌握兩個(gè)定理和一個(gè)事實(shí)，積累證明依據(jù)的同時(shí)，掌握用邏輯推理方法證明的格式，經(jīng)歷小組合作討論，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的能力，發(fā)展邏輯思維能力和表達(dá)能力. 三、情感、態(tài)度、價(jià)值觀： 1、通過本課的教學(xué)活動，再次感受數(shù)學(xué)中證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，以及結(jié)論的確定性. 2、在獨(dú)立思考和獨(dú)立完成一個(gè)定理和一個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)

2、的證明的基礎(chǔ)上，積極參與討論交流，敢于發(fā)表自己的觀點(diǎn)，并尊重與理解他人的見解，在交流中獲益. 3、體驗(yàn)利用手持式圖形計(jì)算設(shè)備充當(dāng)數(shù)學(xué)認(rèn)知工具的樂趣. 【教材分析】 一、地位和作用： 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識到以直觀感知操作來確認(rèn)獲得結(jié)論的方法的局限性和利用邏輯推理進(jìn)行證明的必要性，為進(jìn)一步學(xué)好邏輯推理打下基礎(chǔ). 二、教學(xué)重點(diǎn)：角平分線性質(zhì)定理的分析與證明. 三、教學(xué)難點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)定理、判定定理及“三角形三條角平分線交于一點(diǎn)”的證明過程的表達(dá). 【教學(xué)思路與教學(xué)設(shè)想】 先讓學(xué)生回顧初一下通過動手操作觀察得出的角平分線這一性質(zhì)，再利用手持式圖形計(jì)算設(shè)備讓學(xué)生直觀認(rèn)識這一性

3、質(zhì)定理，然后引導(dǎo)學(xué)生用邏輯推理的方法加以證明.通過對“到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”這個(gè)定理的證明，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握推理論證的方法，學(xué)會由公理出發(fā)證明有關(guān)的定理，解決一些簡單的邏輯推理問題.本節(jié)課主要培養(yǎng)學(xué)生自主探索、合作交流、解決問題的能力，使學(xué)生養(yǎng)成言之有理的正確的思維習(xí)慣. 【學(xué)法指導(dǎo)】以學(xué)生歸納、分析、合作交流為主，教師給予點(diǎn)撥、指導(dǎo)、總結(jié). 【學(xué)習(xí)者特征分析】 學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：在本章前面幾節(jié)課中，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了角平分線，學(xué)習(xí)了三角形全等的判定，懂得作已知角的平分線、如何過一已知點(diǎn)作已知直線的垂線，為接下來的學(xué)習(xí)奠定了知識和技能基礎(chǔ). 學(xué)生活動經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在相

4、關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了利用數(shù)學(xué)畫板探索驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的活動，解決了一些簡單的現(xiàn)實(shí)問題，獲得了一些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)；同時(shí)在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與交流的能力. 【教學(xué)媒體】電腦，多媒體課件、數(shù)碼學(xué)習(xí)機(jī)、《數(shù)學(xué)畫板》軟件等. 【教學(xué)過程】 （一）情境引入，復(fù)習(xí)舊知，明確目標(biāo) 教師活動：通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道往往性質(zhì)定理與其相應(yīng)的判定定理是互為逆定理，這節(jié)課我們將探究角平分線的有關(guān)定理內(nèi)容.同學(xué)們回憶一下，角平分線有什么性質(zhì)呢？這條性質(zhì)是怎樣得到的呢？過去我們在驗(yàn)證這個(gè)定理的正確性時(shí)是在半透明紙上畫∠A

5、OB及角平分線OC，點(diǎn)P是OC上任意一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E.沿著射線OC對折，發(fā)現(xiàn)PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我們得到了角平分線的性質(zhì).其實(shí)這種驗(yàn)證方法是不嚴(yán)密的，下面我們用邏輯推理的方法來證明這一性質(zhì). 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生積極思考，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，為學(xué)生接受新知做好鋪墊. （二）動手操作，合作探究，發(fā)現(xiàn)新知 教師活動：1、提出第一個(gè)作圖任務(wù).2、通過屏幕提示作圖步驟.3、引導(dǎo)學(xué)生觀察得到：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.4、引導(dǎo)學(xué)生寫出已知、求證、證明. 學(xué)生活動：動手操作數(shù)學(xué)畫板，驗(yàn)證并表達(dá)結(jié)論，試寫出證明過程.

6、已知：OC是∠AOB平分線，點(diǎn)P是OC上任意一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足. 求證：PD＝PE. 分析　觀察圖形發(fā)現(xiàn)PD、PE分別落在△OPD與△OPE中，要證明PD=PE，只要證明△OPD≌△OPE.由已知：OC是∠AOB平分線可得∠AOC＝∠BOC，由PD⊥OA，PE⊥OB可得∠ODP＝∠OEP＝90，又因?yàn)镺P為公共邊可得三角形全等. 證明：∵ OC是∠AOB平分線 ∴ ∠AOC＝∠BOC ∵ PD⊥OA， PE⊥OB ∴ ∠ODP＝∠OEP＝90 在△OPD和△OPE中 ∴ △OPD≌△OPE ∴ PD＝PE 角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到

7、這個(gè)角兩邊的距離相等. 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生借助數(shù)學(xué)畫板作為認(rèn)知工具，經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證的過程，發(fā)現(xiàn)角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等，并通過動畫，讓學(xué)生直觀得到用推理方法證明只需證明兩個(gè)三角形全等；根據(jù)學(xué)生的技術(shù)熟練程度，適當(dāng)提供操作幫助；小組合作學(xué)習(xí)，所有問題都需小組成員獨(dú)立思考得出結(jié)論性內(nèi)容并書寫清晰，然后小組共同探索討論最后達(dá)成一致意見. 作圖過程如下： 1、利用角的工具選擇“角平分線”做出∠ABC（順時(shí)針方向新建點(diǎn)A，B，C） 2、在角平分線上新建點(diǎn)D，利用點(diǎn)和線工具在屏幕上過點(diǎn)D分別作出角兩邊的垂線，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F. 3、在屬性中選擇“隱藏”工具，隱藏垂線b

8、、c，然后利用點(diǎn)和線工具作線段DE、DF. 4、利用測量工具中的“距離”測出線段DE和DF的長度. 5、利用移動工具中的“移動點(diǎn)”，拖動點(diǎn)D，觀察線段DE、DF的長度.再調(diào)整∠ABC的大小，觀察線段DE、DF的長度. 5、在屬性中對點(diǎn)名稱進(jìn)行改換，再隱藏所有線段名稱.并可以利用工具調(diào)整名稱位置將點(diǎn)進(jìn)行改換位置. （三）例題分析，鞏固新知： 教師活動：呈現(xiàn)問題，分析問題，啟發(fā)學(xué)生解題思路. 例題1：如圖，在Rt△ABC中，CD是∠C的平分線，DE⊥BC，垂足為E，DA與DE相等嗎？為什么？ 答：DA＝DE ∵ CD是∠ACB的平分線

9、 （D在∠ACB的平分線上） 又∵ DE⊥CB，垂足為E，DA⊥AC，垂足為A ∴ DE＝DA 學(xué)生活動：思考解題思路，討論回答問題 設(shè)計(jì)意圖：通過分析、思考，培養(yǎng)學(xué)生分析能力及邏輯推理能力. 作圖過程如下： 1、利用多邊形工具作出直角三角形ABC. 2、利用角工具中的“角平分線”作出角ACB的角平分線，交AB于點(diǎn)D，選擇線和點(diǎn)工具的“垂線”過點(diǎn)D作DE垂直BC，垂足為點(diǎn)E. 3、隱藏直線b，連結(jié)點(diǎn)D、E；隱藏射線a，連接點(diǎn)C、D. （四）動手操作，合作探究，發(fā)現(xiàn)新知 教師活動：1、引導(dǎo)學(xué)生寫出角平分線性質(zhì)定理的逆命題.2、讓學(xué)生猜想：這個(gè)

10、點(diǎn)是否在這個(gè)角的角平分線上？3、引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)結(jié)論，寫出已知、求證、證明. 學(xué)生活動：猜想結(jié)論，動手操作數(shù)學(xué)畫板，驗(yàn)證并表達(dá)結(jié)論，討論推理過程，動手寫出證明. 已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，PD＝PE. 求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上. 分析　要證點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，即PO是∠AOB的平分線，畫射線OP，只要證∠AOP＝∠BOP，利用H.L.證明△DOP≌△EOP，得∠AOP＝∠BOP. 證明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90 在Rt△DOP與Rt△EOP中 ∴ Rt△DOP≌Rt△EOP ∴ ∠AOP

11、＝∠BOP ∴ OP是∠AOB的平分線 即點(diǎn)P在∠AOB的平分線上 角平分線判定定理：到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上. 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生借助數(shù)學(xué)畫板作為認(rèn)知工具，經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證的過程，讓學(xué)生討 論，培養(yǎng)學(xué)生合作精神，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表自己的見解. 作圖過程如下： 1、作∠AOB，在∠AOB內(nèi)部任取一點(diǎn)P，選擇線和點(diǎn)工具的“垂線”過點(diǎn)P作PD垂直O(jiān)A，垂足為點(diǎn)D.過P作PE垂直于OB，垂足為點(diǎn)E. 2、利用移動工具中的“移動點(diǎn)”，拖動點(diǎn)P，讓學(xué)生觀察點(diǎn)P到角的兩邊距離相等. 3、連接OP，利用測量工具中的“角度”，測出角AOP與角BOP的度數(shù)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角的度數(shù)

12、相等. 教師活動：1、提出第二個(gè)作圖任務(wù)：作一個(gè)三角形的三條角平分線.2、觀察三條角平分線是否交于一點(diǎn).3、引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)結(jié)論：任意三角形的三條角平分線交于一點(diǎn).4、通過分析，引導(dǎo)學(xué)生寫出已知、求證、證明. 學(xué)生活動：猜想結(jié)論，動手操作數(shù)學(xué)畫板，驗(yàn)證并表達(dá)結(jié)論. 分析　要證明三條角平分線交于一點(diǎn)，只需證明其中兩條角平分線的交點(diǎn)在第三條角平分線上就可以了. 已知：如圖， AD、BE分別是△ABC中∠A、∠B的角平分線，AD、BE相交于點(diǎn)G， 求證：∠C的平分線也過點(diǎn)G. 說明 （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等； （

13、2）三角形三條角平分線的交點(diǎn)就是三角形的內(nèi)心（內(nèi)切圓的圓心）. 作圖過程如下： 1、利用多邊形工具中的“多邊形”，在屏幕上作一三角形ABC（取點(diǎn)順序?yàn)锳、B、C、A）.再利用角工具中的“角平分線”，分別作出三個(gè)內(nèi)角的角平分線，分別與三條邊交于點(diǎn)D、E、F.請同學(xué)們觀察三條角平分線是否交于一點(diǎn)G？然后利用移動工具中的“移動點(diǎn)”，拖動三角形中的任意一個(gè)頂點(diǎn)，觀察三條角平分線是否交于一點(diǎn)？ 選擇線和點(diǎn)工具中的“垂線”，過點(diǎn)G分別作三條邊的垂線，分別交三條邊于點(diǎn)H、I、J.再隱藏三條角平分線和三條垂線.最后分別連接AD、BE、CF、GH、GI、GJ. （五）知識檢測，練習(xí)反饋 教

14、師活動：屏幕呈現(xiàn)問題，引導(dǎo)學(xué)生正確求解.題目如下： 1、如圖（1），∵ ∠1＝∠2， DC⊥AC， DE⊥AB， ∴ ＝ （ ）. 2、判斷題 如圖（2），∵ AD平分∠BAC（已知）， ∴ BD＝DC（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）. （1） （2） 3、如圖（3），在直線l上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等. （3） （4）

15、 4、如圖（4），已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F.求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上. 學(xué)生活動：小組思考交流，達(dá)成共識，回答問題. 設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)所學(xué)知識，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)反饋，促進(jìn)知識目標(biāo)的達(dá)成.讓學(xué)生做到思說合一，以便能觸類旁通，融會貫通. （六） 小結(jié)：學(xué)生互相交流總結(jié)這節(jié)課的體會，重新回顧這節(jié)課的知識點(diǎn)以及新知識點(diǎn)應(yīng)用方面的一些技巧. 1、今天我們學(xué)習(xí)了用邏輯推理的方法證明角平分線性質(zhì)定理與判定定理，同學(xué)們要掌握這兩個(gè)定理的內(nèi)容及其應(yīng)用，同時(shí)要掌握三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并會應(yīng)用這個(gè)定理. 2、角平分線的性質(zhì)定理與判定定理也是證明線段和角相等的重要

16、依據(jù)，不必通過全等三角形可簡化證明. 3、角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的條件與結(jié)論正好相反，在應(yīng)用中要注意它們的區(qū)別. 4、三角形三條角平分線的交點(diǎn)就是三角形的內(nèi)心，它到三角形三邊的距離相等. 5、學(xué)會用數(shù)學(xué)畫板直觀的研究幾何問題，從圖形的運(yùn)動中弄清圖形的內(nèi)在關(guān)系，有利于深化對所學(xué)知識的理解. （七） 布置作業(yè)： P94頁習(xí)題13.4第4題，P97頁第8題 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375