高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)5 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 新人教A版選修22

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1、 課時(shí)分層作業(yè)(五)　函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．如圖136是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則下面判斷正確的是 (　　) 圖136 A．在區(qū)間(－2,1)上f(x)是增函數(shù) B．在區(qū)間(1,3)上f(x)是減函數(shù) C．在區(qū)間(4,5)上f(x)是增函數(shù) D．在區(qū)間(3,5)上f(x)是增函數(shù) C　[由導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象知在區(qū)間(4,5)上，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(4,5)上單調(diào)遞增．故選C.] 2．函數(shù)y＝x＋xln x的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062041】 A

2、．(－∞，e－2)　 B．(0，e－2) C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞) B　[因?yàn)閥＝x＋xln x，所以定義域?yàn)?0，＋∞)． 令y′＝2＋ln x<0，解得0

3、函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的是(　　) A．y＝sin x B．y＝xe2 C．y＝x3－x D．y＝ln x－x B　[顯然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有減，故排除A；對(duì)于函數(shù)y＝xe2，因e2為大于零的常數(shù)，不用求導(dǎo)就知y＝xe2在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)； 對(duì)于C，y′＝3x2－1＝3， 故函數(shù)在，上為增函數(shù)， 在上為減函數(shù)； 對(duì)于D，y′＝－1(x＞0)． 故函數(shù)在(1，＋∞)上為減函數(shù)， 在(0,1)上為增函數(shù)，故選B.] 5．設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，將y＝f(x)和y＝f′(x)的圖象畫在同一直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是(　　) 【

4、導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062042】 A　　　 　B　 　　C　 　 　D D　[對(duì)于選項(xiàng)A，若曲線C1為y＝f(x)的圖象，曲線C2為y＝f′(x)的圖象，則函數(shù)y＝f(x)在(－∞，0)內(nèi)是減函數(shù)，從而在(－∞，0)內(nèi)有f′(x)＜0；y＝f(x)在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，從而在(0，＋∞)內(nèi)有f′(x)＞0.因此，選項(xiàng)A可能正確． 同理，選項(xiàng)B、C也可能正確． 對(duì)于選項(xiàng)D，若曲線C1為y＝f′(x)的圖象，則y＝f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)應(yīng)為增函數(shù)，與C2不相符；若曲線C2為y＝f′(x)的圖象，則y＝f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)應(yīng)為減函數(shù)，與C1不相

5、符．因此，選項(xiàng)D不可能正確．] 二、填空題 6．函數(shù)f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的單調(diào)遞增區(qū)間為__________. [解析]　令f′(x)＝1－2cos x>0，則cos x<，又x∈(0，π)，解得

6、_______． [解析]　f′(x)＝，由題意得f′(x)≤0在(－2，＋∞)內(nèi)恒成立，∴解不等式得a≤，但當(dāng)a＝時(shí)，f′(x)＝0恒成立，不合題意，應(yīng)舍去，所以a的取值范圍是. [答案]　 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R. (1)若a＝1，求曲線f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程． (2)若a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間． [解]　f′(x)＝(ax＋2a＋1)xex. (1)若a＝1，則f′(x)＝(x＋3)xex，f(x)＝(x2＋x－1)ex， 所以f′(x)＝4e，f(1)＝e. 所以曲線f(x)在

7、點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－e＝4e(x－1)即4ex－y－3e＝0. (2)若a＝－1，則f′(x)＝－(x＋1)xex. 令f′(x)＝0解x1＝－1，x2＝0. 當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)＜0； 當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f′(x)＞0； 當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0； 所以f(x)的指區(qū)間為(－1,0)，減區(qū)間為(－∞，－1)和(0，＋∞)． 10．已知二次函數(shù)h(x)＝ax2＋bx＋2，其導(dǎo)函數(shù)y＝h′(x)的圖象如圖137，f(x)＝6ln x＋h(x)． 圖137 (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，m＋)上

8、是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062044】 [解]　 (1)由已知，h′(x)＝2ax＋b， 其圖象為直線，且過(0，－8)，(4,0)兩點(diǎn)，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入h′(x)＝2ax＋b， ∴解得 ∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8， ∴f(x)＝6ln x＋x2－8x＋2. (2)∵f′(x)＝＋2x－8 ＝(x＞0)． ∴當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1

9、)和(3，＋∞)， f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3)． 要使函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)， 則解得＜m≤. 即實(shí)數(shù)m的取值范圍為. [能力提升練] 1．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－1)＝2，對(duì)任意x∈R，f′(x)>2.則f(x)>2x＋4的解集為(　　) A．(－1,1)　　　 B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) B　[構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－(2x＋4)， 則g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2. ∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函數(shù)． ∴f(x)>2x＋4?g(x)>0?g(x)>g(－1)，

10、 ∴x>－1.] 2．設(shè)f(x)，g(x)是定義在R上的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，則當(dāng)af(b)g(b) B．f(x)g(a)>f(a)g(x) C．f(x)g(b)>f(b)g(x) D．f(x)g(x)>f(a)g(a) C　[因?yàn)椤洌?又因?yàn)閒′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上為減函數(shù)．又因?yàn)閍>，又因?yàn)閒(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．因此選C.] 3．若函數(shù)y＝－x3＋bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)

11、間，則b的取值范圍是__________． [解析]　若函數(shù)y＝－x3＋bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則y′＝－4x2＋b＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以b>0. [答案]　(0，＋∞) 4．若函數(shù)f(x)＝2x2－ln x在定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． [解析]　顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.由f′(x)＞0，得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；由f′(x)＜0，得函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(k－1，k＋1)上不是單調(diào)函數(shù)，所以k－1＜＜k＋1，解得－＜k＜，又因?yàn)?k－1，k＋1)為定義

12、域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間，所以k－1≥0，即k≥1.綜上可知，1≤k＜. [答案]　 5．(1)已知函數(shù)f(x)＝axekx－1，g(x)＝ln x＋kx.當(dāng)a＝1時(shí)，若f(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，g(x)在(0,1)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值； (2)已知函數(shù)f(x)＝x＋－2ln x，a∈R，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062046】 [解]　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝xekx－1， ∴f′(x)＝(kx＋1)ekx，g′(x)＝＋k. ∵f(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù)， 則?x＞1，f′(x)≤0?k≤－， ∴k≤－1. ∵g(x)在(0,1)上為

13、增函數(shù)， 則?x∈(0,1)，g′(x)≥0?k≥－， ∴k≥－1. 綜上所述，k＝－1. (2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， ∴f′(x)＝1－－＝. ①當(dāng)Δ＝4＋4a≤0，即a≤－1時(shí)， 得x2－2x－a≥0， 則f′(x)≥0. ∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． ②當(dāng)Δ＝4＋4a＞0，即a＞－1時(shí)， 令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0， 解得x1＝1－，x2＝1＋＞0. (ⅰ)若－1＜a≤0，則x1＝1－≥0， ∵x∈(0，＋∞)， ∴f(x)在(0,1－)，(1＋，＋∞)上單調(diào)遞增， 在(1－，1＋)上單調(diào)遞減． (ⅱ)若a＞0，則x1＜0，當(dāng)x∈(0,1＋)時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x∈(1＋，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1＋)上單調(diào)遞減， 在區(qū)間(1＋，＋∞)上單調(diào)遞增. 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。