高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.2 平面向量的線性運算 2.2.2 向量減法運算及其幾何意義學(xué)案 新人教A版必修4

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1、 2.2.2　向量減法運算及其幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解相反向量的含義，能用相反向量說出向量相減的意義．(難點)2.掌握向量減法的運算及其幾何意義，能熟練地進行向量的加減運算．(重點)3.能將向量的減法運算轉(zhuǎn)化為向量的加法運算．(易混點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．相反向量 (1)定義：如果兩個向量長度相等，而方向相反，那么稱這兩個向量是相反向量． (2)性質(zhì)：①對于相反向量有：a＋(－a)＝0. ②若a，b互為相反向量，則a＝－b，a＋b＝0. ③零向量的相反向量仍是零向量． 2．向量的減法 (1)定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相

2、反向量． (2)作法：在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，則向量a－b＝，如圖2213所示． 圖2213 [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)若b是a的相反向量，則a與b一定不相等．(　　) (2)若b是a的相反向量，則a∥b.(　　) (3)向量的相反向量是，且＝－.(　　) (4)－＝.(　　) [解析]　(1)錯誤．當(dāng)a＝0時，a的相反向量也是零向量即a＝b.(2)正確；(3)正確．(4)錯誤.－＝. [答案]　(1)　(2)√　(3)√　(4) 2．化簡－＋＋的結(jié)果等于(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. B　[原式＝(＋)＋(＋)＝＋0.]

3、 3．如圖2214，在?ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，則＝________，＝________. 圖2214 a＋b，b－a　[由向量加法的平行四邊形法則，及向量減法的運算法則可知＝a＋b，＝b－a.] [合 作 探 究攻 重 難] 向量減法的幾何意義 　(1)如圖2215所示，四邊形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，則＝(　　) A．a(chǎn)－b＋c B．b－(a＋c) C．a(chǎn)＋b＋c D．b－a＋c (2)如圖2216所示，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c. 【導(dǎo)學(xué)號：84352190】 圖2215　　　　　圖2216 [思路探究]　(

4、1)利用向量減法和加法的幾何意義，將向，，轉(zhuǎn)化； (2)利用幾何意義法與定義法求出a＋b－c的值． (1)A　[＝－＝(＋)－＝a＋c－b.] (2)法一：(幾何意義法)如圖①所示，在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，則＝a＋b－c. 法二：(定義法)如圖②所示，在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝－c，連接OC，則＝a＋b－c. 圖①　　　　　　　圖② [規(guī)律方法]　求作兩個向量的差向量的兩種思路 (1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可. (2)也可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點

5、重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量. [跟蹤訓(xùn)練] 1．如圖2217，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 圖2217 [解]　法一：先作a－b，再作a－b－c即可． 如圖①所示，以A為起點分別作向量和，使＝a，＝b.連接CB，得向量＝a－b，再以C為起點作向量，使＝c，連接DB，得向量.則向量即為所求作的向量a－b－c. ①　　　　　　　　?、? 法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如圖②. (1)作＝－b和＝－c； (2)作＝a，則＝a－b－c. 向量加減法的運算及簡單應(yīng)用 　(1)化簡：①＋－＝________；

6、 ②＋(＋)＋＝________； ③－－－＝________. (2)如圖2218， 圖2218 ①用a，b表示； ②用b，c表示. 【導(dǎo)學(xué)號：84352191】 [思路探究]　(1)先用運算律調(diào)整，湊出向量加法法則(首尾相接)和向量減法法則(共起點)的形式，再化簡． (2)用向量加減法的幾何意義，將向，轉(zhuǎn)化，將向，轉(zhuǎn)化． (1)①0　0　　[(1)①＋－＝＋(－)＝＋＝0； ②＋(＋)＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0； ③－－－＝(－)－(＋)＝.] (2)∵＝a，＝b，＝c. ①＝－＝－－＝－a－b. ②＝－＝－(＋)＝－b－c. [規(guī)律方法]　1.向量減

7、法運算的常用方法 2．向量加減法化簡的兩種形式 (1)首尾相連且為和． (2)起點相同且為差． 解題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時注意逆向應(yīng)用． 3．與圖形相關(guān)的向量運算化簡 首先要利用向量加減的運算法則、運算律，其次要分析圖形的性質(zhì)，通過圖形中向量的相等、平行等關(guān)系輔助化簡運算． [跟蹤訓(xùn)練] 2．如圖2219所示，在五邊形ABCDE中，若四邊形ACDE是平行四邊形，且＝a，＝b，＝c，則用a，b，c表示下列向量． 圖2219 ①＝________； ②＝________； ③＝________； ④＝________. ①c?、赽－a　③c－a?、躡

8、－a＋c　[∵四邊形ACDE為平行四邊形， ∴＝＝c，＝－＝b－a， ＝－＝c－a， ∴＝＋＝b－a＋c.] 向量減法幾何意義的應(yīng)用 [探究問題] 1．以向量加法的平行四邊形法則為基礎(chǔ)，能否構(gòu)造一個圖形將a＋b和a－b放在這個圖形中？ 提示：如圖所示平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，則a＋b＝，a－b＝. 2．已知向量a，b，那么|a|－|b|與|ab|及|a|＋|b|三者具有什么樣的大小關(guān)系？ 提示：它們之間的關(guān)系為||a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|. (1)當(dāng)a，b有一個為零向量時，不等式顯然成立． (2)當(dāng)a，b不共線時，作＝a，＝b，則a＋b＝，

9、如圖(1)所示，根據(jù)三角形的性質(zhì)，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可證||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|. (3)當(dāng)a，b非零且共線時，①當(dāng)向量a與b同向時，作法同上，如圖(2)所示，此時|a＋b|＝|a|＋|b|.②當(dāng)向量a，b反向時，不妨設(shè)|a|>|b|，作法同上，如圖(3)所示，此時|a＋b|＝|a|－|b|. 綜上所述，得不等式||a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|. 　(1)在四邊形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，則四邊形ABCD是(　　) A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不確定 (2)已知||＝6，||＝9，求|－|

10、的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：84352192】 [思路探究]　(1)先由＝判斷四邊形ABCD是平行四邊形，再由向量減法的幾何意義將|－|＝|－|變形進一步判斷此四邊形的形狀． (2)由|||－|||≤|－|≤||＋||求范圍． (1)B　(1)∵＝ ∴四邊形ABCD為平行四邊形， ∵|－|＝|－|，∴||＝||. ∴四邊形ABCD為矩形． (2)∵|||－|||≤|－|≤||＋||， 且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15. 當(dāng)與同向時，|－|＝3； 當(dāng)與反向時，|－|＝15. ∴|－|的取值范圍為[3,15]． 母題探究：將本例(2)的條件改為“||＝8，||＝5”

11、，求||的取值范圍． [解]　因為＝－，||＝8，||＝5， |||－|||≤|－|≤||＋||， 所以3≤||≤13， 當(dāng)與同向時，||＝3， 當(dāng)與反向時，||＝13， 所以||的取值范圍是[3,13]． [規(guī)律方法]　1.用向量法解決平面幾何問題的步驟 (1)將平面幾何問題中的量抽象成向量． (2)化歸為向量問題，進行向量運算． (3)將向量問題還原為平面幾何問題． 2．用向量法證明四邊形為平行四邊形的方法和解題關(guān)鍵 (1)利用向量證明線段平行且相等，從而證明四邊形為平行四邊形，只需證明對應(yīng)有向線段所表示的向量相等即可． (2)根據(jù)圖形靈活應(yīng)用向量的運算法則，找到

12、向量之間的關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵． [當(dāng) 堂 達 標(biāo)固 雙 基] 1．在平行四邊形ABCD中，－等于(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. A　[－＝＝] 2．下列等式： ①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a＋(－a)＝0. 正確的個數(shù)是(　　) A．3　　　　 B．4 C．5　　　　 D．6 C　[由向量減法、相反向量的定義可知①②③④⑤都正確；⑥錯誤．] 3．化簡－＋－＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：84352193】 0　[－＋－ ＝(＋)＋(－) ＝＋ ＝0.] 4．已知

13、＝a，＝b，若||＝5，||＝12，且∠AOB＝90，則|a－b|＝________. 13　[如圖，在矩形OACB中，－＝，則|a－b|＝||＝＝＝13.] 5．如圖2220所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d. 【導(dǎo)學(xué)號：84352194】 圖2220 [解]　如圖所示，在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，＝c，＝d. 則a－b＝，c－d＝. 我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。