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1、
課時分層作業(yè)(一) 變化率問題 導數的概念
(建議用時:40分鐘)
[基礎達標練]
一、選擇題
1.函數f(x)=x2-1在區(qū)間[1,m]上的平均變化率為3,則實數m的值為
( )
A.3 B.2
C.1 D.4
B [由已知得:=3,
∴m+1=3,∴m=2.]
2.一質點運動的方程為s=5-3t2,若該質點在時間段[1,1+Δt]內相應的平均速度為-3Δt-6,則該質點在t=1時的瞬時速度是( )
【導學號:31062006】
A.-3 B.3
C.6 D.-6
D [由平均速度和瞬時速度的關系可知,
v=s′(1)= (-3Δt-6)=
2、-6.]
3.若f(x)在x=x0處存在導數,則 ( )
A.與x0,h都有關
B.僅與x0有關,而與h無關
C.僅與h有關,而與x0無關
D.以上答案都不對
B [由導數的定義知,函數在x=x0處的導數只與x0有關.]
4.設函數f(x)在點x0附近有定義,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b為常數),則( )
A.f′(x)=a B.f′(x)=b
C.f′(x0)=a D.f′(x0)=b
C [∵f′(x0)=
= = (a+bΔx)=a,
∴f′(x0)=a.]
5.已知函數f(x)=2x2-4的圖象上一點(1,-2)及附近一
3、點(1+Δx,-2+Δy),則=( )
【導學號:31062007】
A.4 B.4x
C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
C [因為Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-4-(212-4)=4Δx+2(Δx)2,
所以==4+2Δx.]
二、填空題
6.已知函數y=+3,當x由2變到1.5時,函數的增量Δy=________.
[解析] Δy=f(1.5)-f(2)=-=-1=.
[答案]
7.汽車行駛的路程s和時間t之間的函數圖象如圖113所示.在時間段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分別為1,2,3,其三者的大小關系是__
4、______.
【導學號:31062008】
圖113
[解析] ∵1==kMA,
2==kAB,
3==kBC,
由圖象可知:kMA2>1.
[答案] 3>2>1
8.一物體位移s和時間t的關系是s=2t-3t2,則物體的初速度是__________.
[解析] 物體的速度為v=s′(t),
∴s′(t)=
=
= =2-6t.
即v=2-6t,
所以物體的初速度是v0=2-60=2.
[答案] 2
三、解答題
9.若函數f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,求a的值.
【導學號:31062009】
[解] ∵f(1
5、+Δx)-f(1)=a(1+Δx)2+c-a-c=a(Δx)2+2aΔx.
∴f′(1)= = = (aΔx+2a)=2a,即2a=2,
∴a=1.
10.一做直線運動的物體,其位移s與時間t的關系是s=3t-t2(位移:m;時間:s).
(1)求此物體的初速度;
(2)求此物體在t=2時的瞬時速度;
(3)求t=0到t=2時平均速度.
[解] (1)初速度v0= = = (3-Δt)=3(m/s).
即物體的初速度為3 m/s.
(2)v=
=
=
= (-Δt-1)=-1(m/s).
即此物體在t=2時的瞬時速度為1 m/s,
方向與初速度相反.
(3)
6、===1(m/s).
即t=0到t=2時的平均速度為1 m/s.
[能力提升練]
1.A,B兩機關開展節(jié)能活動,活動開始后兩機關的用電量W1(t),W2(t)與時間t(天)的關系如圖114所示,則一定有( )
圖114
A.兩機關節(jié)能效果一樣好
B.A機關比B機關節(jié)能效果好
C.A機關的用電量在[0,t0]上的平均變化率比B機關的用電量在[0,t0]上的平均變化率大
D.A機關與B機關自節(jié)能以來用電量總是一樣大
B [由圖可知,A,B兩機關用電量在[0,t0]上的平均變化率都小于0,由平均變化率的幾何意義知,A機關用電量在[0,t0]上的平均變化率小于B機關的平均變化率
7、,從而A機關比B機關節(jié)能效果好.]
2.設函數f(x)可導,則 等于( )
【導學號:31062010】
A.f′(1) B.3f′(1)
C.f′(1) D.f′(3)
C [ =
=f′(1).]
3.如圖115所示,函數y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]這幾個區(qū)間內,平均變化率最大的一個區(qū)間是________.
圖115
[解析] 由平均變化率的定義可知,函數y=f(x)在區(qū)間[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均變化率分別為:,,,結合圖象可以發(fā)現(xiàn)函數y=f(x)的平均變化率最大的一個區(qū)間是[x3,x4].
[答案
8、] [x3,x4]
4.給出下列結論:①函數y=2x2-1在x=3處的導數為11;②若物體的運動規(guī)律是s=f(t),則物體在時刻t0的瞬時速度v等于f′(t0);③物體做直線運動時,它的運動規(guī)律可以用函數v=v(t)描述,其中v表示瞬時速度,t表示時間,那么該物體運動的加速度為a= .其中正確的結論序號為____.
[解析]?、俸瘮祔=2x2-1在x=3處的導數為12,故①錯,根據變化率在物理學中的含義知②③正確.
[答案]?、冖?
5.若一物體運動方程如下:(位移:m,時間:s)
s=
【導學號:31062011】
求:(1)物體在t∈[3,5]內的平均速度.
(2)物體的初
9、速度v0.
(3)物體在t=1時的瞬時速度.
[解] (1)因為物體在t∈[3,5]內的時間變化量為Δt=5-3=2,
物體在t∈[3,5]內的位移變化量為
Δs=352+2-(332+2)=3(52-32)=48,
所以物體在t∈[3,5]上的平均速度為==24(m/s).
(2)求物體的初速度v0即求物體在t=0時的瞬時速度.
因為物體在t=0附近的平均變化率為
=
==3Δt-18.
所以物體在t=0處的瞬時變化率為
li =li (3Δt-18)=-18.
即物體的初速度為-18 m/s.
(3)物體在t=1時的瞬時速度即為函數在t=1處的瞬時變化率.
因為物體在t=1附近的平均變化率為===3Δt-12.
所以物體在t=1處的瞬時變化率為 = (3Δt-12)=-12.
即物體在t=1時的速度為-12 m/s.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375