高中數(shù)學 第二章 推理與證明滾動訓練三 新人教A版選修22

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1、 第二章 推理與證明 滾動訓練三(§1.5～§2.3) 一、選擇題 1．已知f(x)＝則的值為(　　) A. B. C. D．－ 考點　分段函數(shù)的定積分 題點　分段函數(shù)的定積分 答案　B 解析　＝＋＝＋1 ＝＋1＝，故選B. 2．用三段論推理：“任何實數(shù)的平方大于0，因為a是實數(shù)，所以a2>0”，你認為這個推理(　　) A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．是正確的 考點　“三段論”及其應(yīng)用 題點　大前提錯誤導致結(jié)論錯誤 答案　A 解析　任何實數(shù)的平方大于0，因為a是實數(shù)，所以a2>0， 大前

2、提：任何實數(shù)的平方大于0是不正確的，0的平方就不大于0.故選A. 3.如圖，拋物線y＝－x2＋2x＋1與直線y＝1形成一個閉合圖形(圖中的陰影部分)，則該閉合圖形的面積是(　　) A．1 B. C. D．2 考點　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點　不需分割的圖形的面積求解 答案　B 解析　由知或 故所求面積S＝?(－x2＋2x＋1)dx－?1dx ＝－x|＝. 4．有甲、乙、丙、丁四位同學競選班長，其中只有一位當選．有人走訪了四位同學，甲說：“是乙或丙當選”，乙說：“甲、丙都未當選”，丙說：“我當選了”，丁說：“是乙當選了”，若四位同學的話只有兩句是對的，則

3、當選的同學是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 考點　演繹推理的綜合應(yīng)用 題點　演繹推理在其他方面中的應(yīng)用 答案　C 解析　若甲當選，則都說假話，不合題意． 若乙當選，則甲、乙、丁都說真話，丙說假話，不符合題意． 若丁當選，則甲、丁、丙都說假話，乙說真話，不符合題意． 故當選的同學是丙，故選C. 5．對命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點”，可類比猜想出：正四面體的內(nèi)切球切于四面各正三角形的位置是(　　) A．各正三角形內(nèi)的任一點 B．各正三角形的中心 C．各正三角形邊上的任一點 D．各正三角形的某中線的中點 考點　類比推理的應(yīng)用 題點　平面幾何與

4、立體幾何之間的類比 答案　B 解析　正三角形類比正四面體，正三角形的三邊類比正四面體的四個面，三邊的中點類比正三角形的中心． 6．用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋<n(n∈N*且n>1)，第二步證明中從“k到k＋1”時，左邊增加的項數(shù)是(　　) A．2k＋1 B．2k－1 C．2k－1 D．2k 考點　數(shù)學歸納法定義及原理 題點　數(shù)學歸納法第二步：歸納遞推 答案　D 解析　當n＝k時，左邊＝1＋＋＋…＋， 那么當n＝k＋1時，左邊＝1＋＋＋…＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＋＋…＋， 所以左邊增加的項為＋＋…＋，所以項數(shù)為2k. 7．觀察下列數(shù)表規(guī)律 2→3　

5、6→7　10→11 ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ 0→1 4→5　8→9　 12→… 則數(shù)2 017的箭頭方向是(　　) A．2 017→ B．　↓ ↑ 　 2 017→ C．　↑ D．→2 017 →2 017　　　　　　　　　　 ↓ 考點　歸納推理的應(yīng)用 題點　歸納推理在數(shù)陣(表)中的應(yīng)用 答案　C 解析　因下行奇數(shù)是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，若2 017在下行，則2 017＝1＋(n－1)·4，得n＝505∈N*.故2 017在下行，又因為在下行奇數(shù)的箭頭為→，故選C. 8．已知f(x)＝x3＋x，a，b∈R，且a＋

6、b>0，則f(a)＋f(b)的值一定(　　) A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．正負都有可能 考點　演繹推理的綜合應(yīng)用 題點　演繹推理在函數(shù)中的應(yīng)用 答案　A 解析　∵f(x)＝x3＋x，∴f(x)是增函數(shù)且是奇函數(shù)． ∵a＋b>0，∴a>－b， ∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0. 二、填空題 9．用數(shù)學歸納法證明＋＋…＋>－.假設(shè)n＝k時，不等式成立，則當n＝k＋1時，應(yīng)推證的目標不等式是________________________． 考點　數(shù)學歸納法定義及原理 題點　數(shù)學歸納法第二步

7、：歸納遞推 答案?。?gt;－ 解析　觀察不等式中的分母變化知，＋＋…＋＋＋>－. 10．觀察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為________________． 考點　歸納推理的應(yīng)用 題點　歸納推理在數(shù)對(組)中的應(yīng)用 答案　13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 解析　由所給等式可得，等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關(guān)系如下， 1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10， 即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)，故第五個等式為 13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3

8、＋4＋5＋6)2＝212. 11．已知點A(x1, )，B(x2,)是函數(shù)y＝3x的圖象上任意不同兩點，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論>成立．運用類比思想方法可知，若點A(x1，tan x1)，B(x2，tan x2)是函數(shù)y＝tan x的圖象上任意不同兩點，則類似地有________________成立． 考點　類比推理的應(yīng)用 題點　平面曲線之間的類比 答案　<tan 解析　因為y＝tan x圖象是上凸的， 因此線段AB的中點的縱坐標總是小于函數(shù)y＝tan x圖象上的點的縱坐標，即有<tan成立． 12．已知集合{a，b

9、，c}＝{0,1,2}，且下列三個關(guān)系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一個正確，則100a＋10b＋c＝________. 考點　反證法及應(yīng)用 題點　反證法的應(yīng)用 答案　201 解析　因為三個關(guān)系中只有一個正確，分三種情況討論：若①正確，則②③不正確，得到由于集合{a，b，c}＝{0,1,2}，所以解得a＝b＝1，c＝0或a＝1，b＝c＝0或b＝1，a＝c＝0，與互異性矛盾； 若②正確，則①③不正確，得到與互異性矛盾； 若③正確，則①②不正確，得到則符合題意，所以100a＋10b＋c＝201. 三、解答題 13．已知實數(shù)p滿足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，用反證

10、法證明，關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實數(shù)根． 考點　反證法及應(yīng)用 題點　反證法的應(yīng)用 證明　假設(shè)方程x2－2x＋5－p2＝0有實數(shù)根， 則該方程的根的判別式Δ＝4－4(5－p2)≥0， 解得p≥2或p≤－2.① 而由已知條件實數(shù)p滿足不等式(2p＋1)(p＋2)<0， 解得－2<p<－.② 數(shù)軸上表示①②的圖形無公共部分，故假設(shè)不成立，從而關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實數(shù)根． 四、探究與拓展 14．已知△ABC的三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，試分別用綜合法和分析法證明B為銳角． 考點　分析法和綜合法的綜合應(yīng)用 題點　分析法和綜合法

11、的綜合應(yīng)用 證明　分析法： 要證明B為銳角，B為三角形的內(nèi)角， 則只需證cos B>0. 又cos B＝，只需證a2＋c2－b2>0. 即證a2＋c2>b2. 又a2＋c2≥2ac，只需證2ac>b2. 由已知＝＋，即2ac＝b(a＋c)， 只需證b(a＋c)>b2，即證a＋c>b成立，在△ABC中，最后一個不等式顯然成立． 所以B為銳角． 綜合法： 由題意得＝＋＝， 則b＝，b(a＋c)＝2ac>b2(因為a＋c>b)． 因為cos B＝≥>0， 又0<B<π. 所以0<B<，即B為銳

12、角． 15．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15. (1)求a1，a2，a3的值； (2)猜想數(shù)列{an}的通項公式．并用數(shù)學歸納法證明． 考點　數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題 題點　利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列通項問題 解　(1)由題意知S2＝4a3－20， ∴S3＝S2＋a3＝5a3－20. 又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8. 又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7， ∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3. 綜上可知，a1＝3，a2＝5，a3＝7. (2)由(1)猜想an＝2n＋1，下面用數(shù)學

13、歸納法證明． ①當n＝1時，猜想顯然成立； ②假設(shè)當n＝k(k≥1，k∈N*)時，猜想成立，即ak＝2k＋1， 當n＝k＋1時， Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝ ＝k(k＋2)． 又Sk＝2kak＋1－3k2－4k， ∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k， 解得2ak＋1＝4k＋6， ∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即當n＝k＋1時，猜想成立． 由①②知，?n∈N*，an＝2n＋1. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375