廣東省廣州市重點高中2021-2022學年高三上學期第一次月考 數學試卷【含答案】

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1、2022屆高三第一次檢測考試 數學試卷 本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分為150分?？荚囉脮r120分鐘。 注意事項： 1、 答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學號填寫在答題卡密封線內相應的位置上，用2B鉛筆將自己的學號填涂在答題卡上。 2、 選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上。 3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上作答，答案必須寫在答卷紙各題目指定區(qū)域內的相應位置上，超出指定區(qū)域的答案無效；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛

2、筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4、考生必須保持答題卡的整潔和平整。 第一部分 選擇題（共60分） 一、單選題：本大題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．設集合，，則（ ） A． B． C． D． 2．若不等式成立的充分條件為，則實數a的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 3．若復數（i為虛數單位），則z在復平面內的對應點落在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在下列函數中，最小值為2的是（ ） A． B． C． D． 5．已知函數，則（

3、 ） A． B．4 C． D． 6．函數的圖象大致為（ ） A． B． C． D． 7．已知函數，若對任意，恒成立，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 8．在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則角B的最大值為（ ） A． B． C． D． 二、多選題：本題共4個小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中，全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分. 9．下列函數既是偶函數，在上又是增函數的是（ ） A． B． C． D． 10．下列說法錯誤的是（ ） A．若，則 B．若，則存在唯一實數使得

4、 C．若，，則 D．與非零向量共線的單位向量為 11．已知雙曲線,以下說法正確是的（ ） A．m∈(-2,-1) B．若的頂點坐標為，則 C．的焦點坐標為 D．若，則的漸近線方程為 12．已知函數，方程有4個不同的實數根，則下列選項正確的為（ ） A．函數的零點的個數為2 B．實數的取值范圍為 C．函數無最值 D．函數在上單調遞增 第二部分 非選擇題（90分） 三、填空題：本大題共4個小題,每小題5分,共20分. 13．函數的遞增區(qū)間是______． 14．已知，則______． 15．已知函數，若對于任意的，，則______． 16．已知等差數列的

5、前n項和，且滿足，（且），若（），則實數t的取值范圍是______． 四、解答題: 本大題共6個小題,共70分. 17．（本小題10分）已知等差數列的前項和為，且，． （1）求； （2）設數列的前項和為，求證：． 18．（本小題12分）△ABC的內角A，，的對邊分別為，，.△ABC的面積為S，已知. （1）求角； （2）若，，△ABC外接圓的半徑為，求. 19．（本小題12分）紅隊隊員甲?乙?丙與藍隊隊員A，，進行圍棋比賽，甲對，乙對，丙對各一盤，已知甲勝，乙勝，丙勝的概率分別為0.6，0.5，0.5，假設各盤比賽結果相互獨立. （1）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；

6、 （2）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數，求的分布列. 20．（本小題12分）已知四邊形滿足，，是的中點，將△BAE沿著翻折成，使平面平面，為的中點． （1）求四棱錐的體積； （2）求平面與平面所成角的正弦值． 21．（本小題12分）已知橢圓C的中心為坐標原點，且以直線（m∈R）所過的定點為一個焦點，過右焦點F2且與x軸垂直的直線被橢圓C截得的線段長為2. （1）求橢圓C的標準方程；. （1）設點A，B分別是橢圓C的左?右頂點，P，Q分別是橢圓C和圓O∶上的動點（P，Q位于y軸兩側），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于不同的兩點M，N，

7、求證∶QM與QN所在的直線互相垂直. 22．（本小題12分）已知函數，. （1）求函數在處的切線方程； （2）是否存在正數，使得對任意恒成立？證明你的結論. （3）求在上零點的個數. 2022屆高三第一次檢測考試 數學試卷 本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分為150分。考試用時120分鐘。 注意事項： 3、 答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學號填寫在答題卡密封線內相應的位置上，用2B鉛筆將自己的學號填涂在答題卡上。 4、 選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改

8、動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上。 3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上作答，答案必須寫在答卷紙各題目指定區(qū)域內的相應位置上，超出指定區(qū)域的答案無效；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4、考生必須保持答題卡的整潔和平整。 第一部分 選擇題（共60分） 一、單選題：本大題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．設集合，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2．若不等式成立的充分條件為，則實數a的取值范圍是（ ）

9、 A． B． C． D． 【答案】A 3．若復數（i為虛數單位），則z在復平面內的對應點落在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 4．在下列函數中，最小值為2的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 5．已知函數，則（ ） A． B．4 C． D． 【答案】A 6．函數的圖象大致為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 7．已知函數，若對任意，恒成立，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 8．在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則角

10、B的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 二、多選題：本題共4個小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中，全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分. 9．下列函數既是偶函數，在上又是增函數的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 10．下列說法錯誤的是（ ） A．若，則 B．若，則存在唯一實數使得 C．若，，則 D．與非零向量共線的單位向量為 【答案】ABC 11．已知雙曲線,以下說法正確是的（ ） A．m∈(-2,-1) B．若的頂點坐標為，則 C．的焦點坐標為 D．若，則的漸近線方程為 【答案】BD

11、 12．已知函數，方程有4個不同的實數根，則下列選項正確的為（ ） A．函數的零點的個數為2 B．實數的取值范圍為 C．函數無最值 D．函數在上單調遞增 【答案】ABC 第二部分 非選擇題（90分） 三、填空題：本大題共4個小題,每小題5分,共20分. 13．函數的遞增區(qū)間是______． 【答案】 14．已知，則______． 【答案】 15．已知函數，若對于任意的，，則______． 【答案】0 16．已知等差數列的前n項和，且滿足，（且），若（），則實數t的取值范圍是______． 【答案】 四、解答題: 本大題共6個小題,共70分. 17．（本

12、小題10分）已知等差數列的前項和為，且，． （1）求； （2）設數列的前項和為，求證：． 【答案】（1）;（2）證明見解析. 【詳解】 （1）設公差為，由題， 解得，．所以．.……………………5分 （2）由（1），，則有． 則． 所以．.……………………10分 18．（本小題12分）△ABC的內角A，，的對邊分別為，，.△ABC的面積為S，已知. （1）求角； （2）若，，△ABC外接圓的半徑為，求. 【答案】（1）；（2）. 【詳解】 （1）由可得 ， 因為，所以，所以， 由余弦定理可得， 由正弦定理可得， 所以，即..……………………5分 因為，

13、且，所以.因為，所以. （2）因為外接圓的半徑為，，由正弦定理得，，所以由，得， 整理可得.又，，所以，故，所以，所以 ，故..……………………12分 19．（本小題12分）紅隊隊員甲?乙?丙與藍隊隊員A，，進行圍棋比賽，甲對，乙對，丙對各一盤，已知甲勝，乙勝，丙勝的概率分別為0.6，0.5，0.5，假設各盤比賽結果相互獨立. （1）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率； （2）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數，求的分布列. 【答案】（1）；（2）答案見解析. 【詳解】解：（1）設甲勝A的事件為，乙勝的事件為，丙勝的事件為， 則，，分別表示甲不勝A，乙不勝，丙不勝的事件. ∵，，，∴

14、，，. 紅隊至少兩人獲勝的事件有：，，，， 由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率 ；.……………………5分 （2）由題意知可能取值為0，1，2，3. 因此， ，， 由對立事件的概率公式得. 所以的分布列為： 0 1 2 3 0.1 0.35 0.4 0.15 .……………………12分 20．（本小題12分）已知四邊形滿足，，是的中點，將△BAE沿著翻折成，使平面平面，為的中點． （1）求四棱錐的體積； （2）求平面與平面所成角的正弦值． 【答案】（1）；（2）. 【詳解】 （1）取的中點，連接

15、，易知， 則為等邊三角形，則，又因為平面平面，所以平面，所以；.……………………4分 （2）連接，以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，， 則，， ，， 設平面的法向量為，則，即， 令，則，設平面的法向量為， 則，即，令，則， 則，又兩平面的夾角范圍為 所以平面與平面所成角的正弦值為．.……………………12分 21．（本小題12分）已知橢圓C的中心為坐標原點，且以直線（m∈R）所過的定點為一個焦點，過右焦點F2且與x軸垂直的直線被橢圓C截得的線段長為2. （1）求橢圓C的標準方程；. （1）設點A，B分別是橢圓C的左?右頂點，P，Q分別是橢圓

16、C和圓O∶上的動點（P，Q位于y軸兩側），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于不同的兩點M，N，求證∶QM與QN所在的直線互相垂直. 【答案】（1）；（2）證明見解析. 【詳解】 （1）由題意，直線過定點，即橢圓C的一個焦點為， 設橢圓，則， 因為過右焦點F2且與x軸垂直的直線被橢圓C截得的線段長為2，可得，即，聯立方程組，可得， 所以橢圓C的方程為..……………………5分 （2）由（1）知，可得， 設，則，，且， 則直線AP的方程為，則， 直線BP的方程為，則， 所以， ， 所以， 所以，即QM與QN所在的直線互相垂直. .……………………12分

17、22．（本小題12分）已知函數，. （1）求函數在處的切線方程； （2）是否存在正數，使得對任意恒成立？證明你的結論. （3）求在上零點的個數. 【答案】（1）；（2）存在正數，使得對任意恒成立；證明見解析；（3）個. 【詳解】 （1），，又， 在處的切線方程為：，即；.……………………3分 （2）令，，則， 當時，，在上恒成立， 在上單調遞增，∴gx≥g0=0，即在上恒成立； 若，即，只需， 又，，， 則當時，成立； 存在正數，使得對任意恒成立；.……………………7分 （3）①當時，，在上無零點； ②當時，， ，在上單調遞增， ，，，使得， 當時，單調遞減；當時，單調遞增； 又，，， 在和上各有一個零點； ③當時，在上單調遞增， ，，，使得， 當時，；當時，； 在上單調遞減，在上單調遞增； ，，， ，使得， 當時，；當時，； 在上單調遞增，在上單調遞減， ，，在上無零點； 綜上所述：在上的零點個數為個. .……………………12分