高中數(shù)學 第二章 概率 2.2 條件概率與事件的獨立性 2.2.3 獨立重復試驗與二項分布課堂導學案 新人教B版選修23

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1、 2.2.3 獨立重復試驗與二項分布 課堂導學 三點剖析 一、獨立重復試驗與二項分布 【例1】某地區(qū)每天保證用水量的概率為0.75，試求： （1）在最近7天內(nèi)用水正常的天數(shù)的分布； （2）7天內(nèi)至少有2天用水正常的概率. 思路分析：7天中用水正常的天數(shù)可能是0天，也可能是1天，也可能是2天，…，也可能是7天.設用水正常的天數(shù)為X，X取值為0，1，…，7. 解析：由題意知，X服從參數(shù)n=7,p=0.75的二項分布，即X~B（7，0.75）. (1)由二項分布的概率分布知 P（X=0）=（0.75）0(0.25)7≈0.000 06, P(X=1)=(0.75)1(0.25

2、)6≈0.001 28, P(X=2)=(0.75)2(0.25)5≈0.011 54, P(X=3)=(0.75)3(0.25)4≈0.057 68, P(X=4)=(0.75)4(0.25)3≈0.173 03, P(X=5)=(0.75)5(0.25)2≈0.311 46, P(X=6)=(0.75)6(0.25)1≈0.311 46, P(X=7)= (0.75)7(0.25)0≈0.133 48. 其概率分布為 X P 0 0.000 06 1 0.001 28 2 0.011 54 3 0.057 68 4 0.173 03 5 0.311

3、 46 6 0.311 46 7 0.133 48 (2)P(X≥2)= =P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)≈0.011 54+0.057 68+0.173 03+0.311 46+0.311 46+0.133 48=0.998 7. 二、求獨立事件的概率 【例2】甲、乙兩個人獨立地破譯密碼的概率分別為和，求 （1）兩個人都譯出密碼的概率； （2）兩個人都譯不出密碼的概率； （3）恰有一人譯出密碼的概率. 思路分析：我們把“甲獨立地譯出密碼”記為事件A，把“乙獨立地譯出密碼”記為事件B，顯然A與B相互獨立，同時與

4、B，A與，與亦相互獨立. 解析：A=“甲獨立地譯出密碼”，B=“乙獨立地譯出密碼”，且P（A）=，P（B）=. （1）兩個人都譯出密碼的概率為P（AB）=P（A）P（B）==. (2)兩個人都譯不出密碼的概率為P（）=P（）P（）=［1-P（A）］［1-P（B）］ =（1）（1-）=. （3）恰好1個譯出密碼可分為兩類，即A與B且兩類事件為互斥事件： P（A+B）=P（B）+P（A） =P（）P（B）+P（A）P（） =（1）+(1-)=. 【例3】在一次考試中 ，出了六道判斷題，正確的記“√”號，不正確的記“”號.若某考生完全隨意記上了六個符號，求： （1）全部正確的概率

5、； （2）正確答案不少于4道的概率. 解析：（1）全部正確的概率是P6（6）=0.56=. (2)“正確答案不少于4道”包括有4道題正確、有5道題正確或6道題全正確，故所求概率是 P6（4）+P6（5）+P6（6） =0.540.52+0.550.5+0.56=. 溫馨提示 獨立重復試驗是同一試驗的n次重復，每次試驗結果的概率不受其他次結果的概率的影響，每次試驗有兩個可能結果：成功和失敗.n次試驗中A恰好出現(xiàn)了k次的概率為pk(1-p) n-k，這k次是n次中的任意k次，若是指定的k次，則概率為pk(1-p)n-k. 各個擊破 類題演練 1 某射手每次擊中

6、目標的概率為0.6，如果射擊5次，試求至少擊中2次的概率. 解析：P（至少擊中2次）=(擊中k次) =1-P（擊中0次）-P（擊中1次） =1-C05（0.6）0(0.4)5- (0.6)1(0.4)4≈0.826. 變式提升 1 某種產(chǎn)品的次品率為5%.現(xiàn)從一大批該產(chǎn)品中抽出20個進行檢驗，問20個該產(chǎn)品中恰有2個次品的概率是多少？ 解析：這里是不放回抽樣，由于一批產(chǎn)品的總數(shù)很大，且抽出的樣品的數(shù)量相對而言較小，因而可以當作是有放回抽樣處理，這樣做會有一些誤差，但誤差不會太大.抽出20個樣品檢驗，可看作是做了20次獨立試驗，每一次是否為次品可看成是一次試驗的結果，因此2

7、0個該產(chǎn)品中恰有兩個次品的概率是 P（恰有2個次品）=（0.05）2(0.95)18≈0.187. 類題演練 2 某單位6個員工借助互聯(lián)網(wǎng)工展工作，每個員工上網(wǎng)概率都是0.5(相互獨立). （1）求至少3人同時上網(wǎng)的概率. （2）至少幾個人同時上網(wǎng)的概率小于0.3? 解析：（1）至少三人上網(wǎng)即恰三人，四人，五人，六人上網(wǎng)，所以至少三個人上網(wǎng)的概率等于1減去至多兩人上網(wǎng)的概率，即1-（0.5）6- (0.5)6- (0.5)6=1-. (2)因為至少4人上網(wǎng)的概率為（++）(0.5)6=＞0.3. 至少5人上網(wǎng)的概率為（+）（0.5）6=＜0.3,因此，至少5人同時上

8、網(wǎng)的概率小于0.3. 變式提升 2 甲、乙、丙三人獨立地解同一道數(shù)學題，甲能解決這道題的概率是P1，乙能解決這道題的概率是P2，丙能解決這道題的概率是P3，解決下列問題： （1）求沒有人能解出這道題的概率； （2）求至少有一個人能解出這道題的概率； （3）求有人沒解出這道題的概率； （4）求恰有一人能解出這道題的概率. 解析：設甲、乙、丙能解出這道題的事件分別為A1、A2、A3，則A1、A2、A3是相互獨立事件，但不是互斥事件. （1）沒有人能解出這道題的事件A= ∵、、相互獨立， ∴P（A）=P（ ）=（1-P1）（1-P2）（1-P3）. （2）至少有一人

9、能解出這道題的事件B=A1+A2+A3，但不能運用互斥事件的和的概率公式，注意到B與A= 是對立事件， ∴P（B）=1-P（ ）=1-（1-P1）（1-P2）（1-P3）. （3）有人沒解出這道題的事件為C，如果直接表達C比較復雜，由于C與事件“A1A2A3”是對立事件， ∴P（C）=1-P（A1A2A3）=1-P1P2P3. （4）恰有一人能解出這道題的事件D=A1+A2 +A3 . ∵A1 ，A2 與A3 彼此互斥， ∴P（D）=P（A1）+P（）+P（A3）=P1(1-P2)(1-P3)+P2(1-P3)(1-P1) +P3(1-P1)(1-P2). 類題演練 3

10、 甲、乙兩支足球隊鏖戰(zhàn)90分鐘踢成平局，加時賽30分鐘后仍成平局，現(xiàn)決定各派5名隊員，每人射一點球決定勝負，設甲、乙兩隊每個隊員的點球命中率均為0.5. (1)不考慮乙隊，求甲隊僅有3名隊員點球命中，且其中恰有2名隊員連續(xù)命中的概率； （2）求甲、乙兩隊各射完5個點球后，再次出現(xiàn)平局的概率. 解：（1）甲隊3名隊員射中，恰有2名隊員連續(xù)命中的情形有種，故所求的概率為P1=0.53(1-0.5)2=. (2)再次出現(xiàn)平局包括0∶0,1∶1,…,5∶5等6種可能性，故其概率為 P2=［0.50(1-0.5)5］2+［0.51(1-0.5)4］2+…+［0.55(1-0.5)0］2

11、=. 變式提升 3 將一枚硬幣連擲5次，如果出現(xiàn)k次正面的概率等于出現(xiàn)k+1次正面的概率，那么k的值為（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：由()k()5-k=()k+1()5-k-1,即=,∴k+(k+1)=5,k=2. 答案：C 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375