高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.3 冪函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修1

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1、 2.3　冪函數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解冪函數(shù)的概念，會(huì)求冪函數(shù)的解析式．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))2.結(jié)合冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的圖象，掌握它們的性質(zhì)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.能利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)冪的大?。?重點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 1．冪函數(shù)的概念 一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)． 思考1：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的自變量有何區(qū)別？ [提示]　冪函數(shù)是形如y＝xα(α∈R)，自變量在底數(shù)上，而指數(shù)函數(shù)是形如y＝ax(a>0且a≠1)，自變量在指數(shù)上． 2．冪函數(shù)的圖象 在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出冪函數(shù)y＝x，y

2、＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的圖象如圖2­3­1： 圖2­3­1 思考2：冪函數(shù)圖象不可能出現(xiàn)在第幾象限？ [提示]　第四象限． 3．冪函數(shù)的性質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定義域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調(diào)性 增函數(shù) x∈[0，＋∞)時(shí)，增函數(shù) x∈(－∞，0]時(shí)，減函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) x∈(0，＋∞)時(shí)，減函數(shù) x∈(－∞，0)

3、時(shí)，減函數(shù) [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)函數(shù)y＝x0(x≠0)是冪函數(shù)．(　　) (2)冪函數(shù)的圖象必過(guò)點(diǎn)(0,0)和(1,1)．(　　) (3)冪函數(shù)的圖象都不過(guò)第二、四象限．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是(　　) A．y＝　　　　　　　 B．y＝x3 C．y＝3x D．y＝x－1 C　[只有y＝3x不符合冪函數(shù)y＝xα的形式，故選C.] 3．已知f(x)＝(m＋1)xm2＋2是冪函數(shù)，則m＝(　　) A．2 B．1 C．3 D．0 D　[由題意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f

4、(x)＝x2.] 4．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)，則f(4)＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102308】 　[由f(2)＝可知2α＝， 即α＝－， ∴f(4)＝4－＝.] [合 作 探 究·攻 重 難] 冪函數(shù)的概念 　已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值． [解]　由題意得 解得 所以m＝－3，n＝. [規(guī)律方法]　判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法 判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個(gè)冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)

5、系數(shù)為1 [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)在函數(shù)y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102309】 A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 (2)若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足f(4)＝3f(2)，則f的值等于________． (1)B　(2)　[(1)∵y＝＝x－2，所以是冪函數(shù)； y＝2x2由于出現(xiàn)系數(shù)2，因此不是冪函數(shù)； y＝x2＋x是兩項(xiàng)和的形式，不是冪函數(shù)； y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函數(shù)y＝1的圖象比冪函數(shù)y＝x0的圖象多了一個(gè)點(diǎn)(0,1)，所以常函數(shù)y＝1不是冪函數(shù)． (2)設(shè)f(x)＝xα

6、，因?yàn)閒(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f＝log23＝.] 冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用 　點(diǎn)(，2)與點(diǎn)分別在冪函數(shù)f(x)，g(x)的圖象上，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，有： (1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)． [解]　設(shè)f(x)＝xα，g(x)＝xβ. ∵()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1， ∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分別作出它們的圖象，如圖所示．由圖象知， (1)當(dāng)x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)時(shí)，f(x)>g(x)； (2)當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)＝g(x)；

7、 (3)當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)<g(x)． [規(guī)律方法]　 解決冪函數(shù)圖象問(wèn)題應(yīng)把握的兩個(gè)原則 (1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0，1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為指大圖低)；在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為,指大圖高). (2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)來(lái)判斷. [跟蹤訓(xùn)練] 2．冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖象是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102310】 A　　　　　B　　　　　C　　

8、　　　D (2)若四個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖2­3­2，則a，b，c，d的大小關(guān)系是(　　) 圖2­3­2 A．d>c>b>a B．a(chǎn)>b>c>d C．d>c>a>b D．a(chǎn)>b>d>c (1)C　(2)B　[(1)設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xa， 因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，所以2＝4a， 解得a＝， 所以y＝，其定義域?yàn)閇0，＋∞)，且是增函數(shù)， 當(dāng)0<x<1時(shí)，其圖象在直線y＝x的上

9、方．對(duì)照選項(xiàng)，故選C. (2)令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和題目所給的形式相符合． 在第一象限內(nèi)，x＝1的右側(cè)部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)增大，所以a>b>c>d.故選B.] 冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 [探究問(wèn)題] 1．冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上的單調(diào)性與α有什么關(guān)系？ 提示：當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． 2．23.1和23.2可以看作哪一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值？二者的大小關(guān)系如何？ 提示：23.1和23.2可以看作函數(shù)f(x)＝2x的兩個(gè)函數(shù)值，因?yàn)楹瘮?shù)

10、f(x)＝2x單調(diào)遞增，所以23.1＜23.2. 3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值？二者的大小關(guān)系如何？ 提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作冪函數(shù)f(x)＝x－0.2的兩個(gè)函數(shù)值，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以2.3－0.2＜2.2－0.2. 　(1)比較下列各組中冪值的大?。? ①30.8,30.7；②0.213,0.233；③2，1.8；④1.2，0.9，. (2)探討函數(shù)f(x)＝x的單調(diào)性. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102311】 思路探究：(1)構(gòu)造冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)，借助其單調(diào)性求解． (2)借助單調(diào)性的

11、定義證明． [解]　(1)①∵函數(shù)y＝3x是增函數(shù)，且0.8＞0.7， ∴30.8>30.7. ②∵函數(shù)y＝x3是增函數(shù)，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233. ③∵函數(shù)y＝x是增函數(shù)，且2＞1.8，∴2>1.8. 又∵y＝1.8x是增函數(shù)，且>， ∴1.8>1.8，∴2>1.8. ④0.9＝，＝1.1. ∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴1.2>>1.1，即1.2>0.9>. (2)f(x)＝x的定義域?yàn)?0，＋∞)． 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x

12、2， 則f(x2)－f(x1)＝x2－x1 ＝－ ＝ ＝. 因?yàn)閤2>x1>0，所以x1－x2<0， 且·(＋)>0， 于是f(x2)－f(x1)<0， 即f(x2)<f(x1)， 所以f(x)＝x在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)． 母題探究：1.本例(2)若增加條件“(a＋1)<(3－2a) ”則實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　因?yàn)閒(x)＝x在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)． 所以(a＋1)<(3－2a)等價(jià)于 解得<a<. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 2．把本例(1)的各組數(shù)據(jù)更換如下，再比較其大小關(guān)系

13、． (1)0.5與0.5； (2)－1與－1； (3)與. [解]　(1)因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x0.5在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的， 又>，所以0.5>0.5. (2)因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x－1在(－∞，0)上是單調(diào)遞減的， 又－<－，所以－1>－1. (3)因?yàn)楹瘮?shù)y1＝x為R上的減函數(shù)，又>， 所以>. 又因?yàn)楹瘮?shù)y2＝x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且>， 所以>， 所以>. [規(guī)律方法]　比較冪的大小的關(guān)鍵是弄清底數(shù)與指數(shù)是否相同.若底數(shù)相同，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小；若指數(shù)相同，則利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小

14、；若底數(shù)、指數(shù)均不同，則考慮用中間值法比較大小，這里的中間值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.8. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基] 1．下列函數(shù)為冪函數(shù)的是(　　) A．y＝2x4　　　　　　　 B．y＝2x3－1 C．y＝ D．y＝x2 D　[結(jié)合冪函數(shù)的形式可知D正確．] 2．冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(2，)，則該冪函數(shù)的解析式(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102312】 A．y＝x－1 B．y＝x C．y＝x2 D．y＝x3 B　[設(shè)f(x)＝xα，則2α＝，∴α＝，∴f(x)＝x.選B.] 3．函數(shù)y＝x的圖象是(　　) A　　

15、　　　B　　　　C　　　　　D C　[∵函數(shù)y＝x是非奇非偶函數(shù)，故排除A、B選項(xiàng)．又>1，故選C.] 4．若f(x)＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則α的取值范圍為_(kāi)_______． (0，＋∞)　[由f(x)的單調(diào)性可知α>0，即α的取值范圍為(0，＋∞)．] 5．比較下列各組數(shù)的大?。? (1)3與3.1； (2)4.1，3.8，(－1.9). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102313】 [解]　(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝x在(0，＋∞)上為減函數(shù)， 又3<3.1，所以3>3.1. (2)4.1>1＝1， 0<3.8<1＝1，而(－1.9)<0， 所以4.1>3.8>(－1.9). 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375