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課時作業(yè)15 等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用
時間：45分鐘 分值：100分
一、選擇題(每小題6分,共計36分)
1．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＝2,前n項和為Sn,則等于( )
A．2 B．4
C. D.
解析：S4＝＝15a1,a2＝a1q＝2a1,
∴＝.
答案：C
2．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項和,已知a2a4＝1,S3＝7,則S5等于( )
A. B.
C. D.
解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
則解得a1＝4,q＝,
所以S5＝＝.
答案：B
3．一個等比數(shù)列的前
2、7項和為48,前14項和為60,則前21項和為( )
A．180 B．108
C．75 D．63
解析：由題意S7,S14－S7,S21－S14組成等比數(shù)列48,12,3,即S21－S14＝3,∴S21＝63.
答案：D
4．在公比為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中,已知a1＋a4＝18,a2＋a3＝12,那么a5＋a6＋a7＋a8等于( )
A．480 B．493
C．495 D．498
解析：已知
由等比數(shù)列的通項公式得?2q3－3q2－3q＋2＝0?(q＋1)(2q2－5q＋2)＝0?q＝－1或q＝2或q＝.
∵q＝－1,q＝均與已知矛盾,∴q＝2.
a
3、5＋a6＋a7＋a8＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)＝24(18＋12)＝480.
答案：A
5．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝2n－1,則此數(shù)列奇數(shù)項的前n項的和是( )
A.(2n＋1－1) B.(2n＋1－2)
C.(22n－1) D.(22n－2)
解析：由題易知,數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1,公比q＝2.
∴奇數(shù)項的前n項和為S′＝a1＋a3＋…＋a2n－1
＝＝＝(22n－1)．
答案：C
6．一個等比數(shù)列共有3m項,若前2m項和為15,后2m項之和為60,則中間m項的和為( )
A．12 B．16
C．20 D．32
解析
4、：由已知S2m＝15,S3m－Sm＝60,
又(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m),
解得Sm＝3,∴S2m－Sm＝15－3＝12.
答案：A
二、填空題(每小題8分,共計24分)
7．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2,則公比q＝________.
解析：由3S3＝a4－2,3S2＝a3－2兩式相減得,3(S3－S2)＝a4－a3,∴3a3＝a4－a3,∴4a3＝a4,∴q＝＝4.
答案：4
8．已知{an}是首項為1的等比數(shù)列,Sn是{an}的前n項和,且9S3＝S6,則數(shù)列的前5項和為________．
解析：顯然q≠1,∴
5、＝,∴1＋q3＝9,
∴q＝2,∴是首項為1,公比為的等比數(shù)列,
前5項和T5＝＝.
答案：
9．在等比數(shù)列中,S30＝13S10,S10＋S30＝140,則 S20＝______.
解析：由S30＝13S10,S10＋S30＝140,得S10＝10,S30＝130.
再由S10,S20－S10,S30－S20成等比數(shù)列,得S10(S30－S20)＝(S20－S10)2,
∴10(130－S20)＝(S20－10)2.
整理得S－10S20－1200＝0,解得S20＝40,或S20＝
－30(舍去)．
答案：40
三、解答題(共計40分)
10．(10分)等比數(shù)列{an
6、}的前n項和為Sn,已知S1,S3,S2成等差數(shù)列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3,求Sn.
解：(1)依題意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2),
由于a1≠0,故2q2＋q＝0.
又q≠0,從而q＝－.
(2)由已知可得a1－a1(－)2＝3,解得a1＝4.
從而Sn＝＝[1－(－)n]．
11．(15分)(2012山東卷)在等差數(shù)列{an}中,a3＋a4＋a5＝84,a9＝73.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)對任意m∈N*,將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm,求數(shù)列{bm}的前m項和Sm.
7、
解：(1)因?yàn)閧an}是一個等差數(shù)列,
所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84,所以a4＝28.
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,
則5d＝a9－a4＝73－28＝45,故d＝9.
由a4＝a1＋3d得28＝a1＋39,即a1＝1,
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．
(2)對m∈N*,若9m＜an＜92m,
則9m＋8＜9n＜92m＋8,
因此9m－1＋1≤n≤92m－1,
故得bm＝92m－1－9m－1.
于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm
＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)
＝－
＝.
12．(15分)給出下面的數(shù)表序列：
其中表n(n＝1,2,3…)有n行,表中每一個數(shù)“兩腳”的 兩數(shù)都是此數(shù)的2倍,記表n中所有的數(shù)之和為an,例如a2＝5,a3＝17,a4＝49,試求：
(1)a5；
(2)數(shù)列{an}的通項an.
解：(1)a5＝129,
(2)依題意,an＝1＋22＋322＋423＋…＋n2n－1 ①
由①2得,2an＝12＋222＋323＋424＋…＋n2n?、?
將①－②得－an＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n－1－n2n
＝－n2n＝2n－1－n2n
所以an＝(n－1)2n＋1.
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