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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
I．題源探究·黃金母題
【例1】如圖，已知四邊形是等腰梯形，分別是的中點，是線段上的兩個點，且，下底是上底的2倍，若，，求．
【解析】，
∴．
又，
∴，
所以
II．考場精彩·真題回放
【例2】【20xx全國新課標(biāo)Ⅰ卷】設(shè)為所在平面內(nèi)一點，則（ ?。?
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由題知＝＝，故選A．
【例3】【（20xx北京高考卷】在中，點，滿足，．若，則______；_______．
【答案】
2、
【例4】【20xx全國新課標(biāo)Ⅰ卷】設(shè)分別為的三邊的中點，則（ ?。?
A． B.． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)平面向量基本定理和向量的加減運算可得：在中，，同理，則＝＝＝．
【例5】【20xx高考廣東卷】設(shè)是已知的平面向量且,關(guān)于向量的分解,有如下四個命題：
①給定向量,總存在向量,使；
②給定向量和,總存在實數(shù)和,使；
③給定單位向量和正數(shù),總存在單位向量和實數(shù),使；
④給定正數(shù)和,總存在單位向量和單位向量,使．
上述命題中的向量,和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則真命題的個數(shù)是（ ?。?
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】利
3、用向量加法的三角形法則，易知①是對的；利用平面向量的基本定理，易知②是對的；以的終點作長度為的圓，這個圓必須和向量有交點，這個不一定能滿足，③是錯的；利用向量加法的三角形法則，結(jié)合三角形兩邊的和大于第三邊，即必須，所以④是假命題.綜上，選B．
【例6】【20xx江蘇高考卷】設(shè)分別是的邊上的
點,,,若
(為實數(shù)),則
的值為__________．
【答案】
精彩解讀
【試題來源】人教版A版必修四第120頁復(fù)習(xí)參考題A組第13題．
【母題評析】本題中實際上為基底，然后將其它的向量利用此基底表示出來，主要考查向量加減法的幾何意義、平面向量基本定理，所以此類題型在高考中出現(xiàn)
4、的頻率還是比較高的，要么單獨考查，要么滲透于其它向量問題中．
【思路方法】（1）將一個向量表示為另兩個不共線的向量的線性關(guān)系，主要是利用平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合數(shù)乘向量、平面向量的基本定理來解決．（2）注意題目中中點與平行的應(yīng)用．
【命題意圖】本類題主要考查平面向量的加法運算及三角形法則、數(shù)乘向量，以及圖形的識別能力、運算求解能力．
【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中偏下．
【難點中心】（1）如何利用三角形法則，面臨的就是如何選擇三角形，這是一個難點；（2）如何利用條件中的關(guān)鍵條件，如線段的中點、三點共線、平
5、行關(guān)系，即如何利用這些條件實施向量線性運算間的轉(zhuǎn)換，從而達到將一個向量利用基底向量表示的目的．
III．理論基礎(chǔ)·解題原理
考點一 平面向量的加減法及幾何意義
1．加法法則及幾何意義
①三角形法則：已知向量，在平面上任取一點，作，，則叫做和的和．
②平行四邊形法則：已知向量，在平面上任取一點，作，，以為鄰邊作平行四邊形，則為向量和的和．
③多個向量和的多邊形法則：已知向量，在平面上任取一點，作，，…，，則為向量的和．
2．減法法則及幾何意義
三角形法則：已知向量，在平面上任取一點，作，，則．
考點二 向量的數(shù)乘運算及幾何意義
實數(shù)與向量的乘積是一個
6、向量，且．當(dāng)時，與的方向相同；當(dāng)時，與的方向相反．特別地，向量（）與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使．
考點三 向量共線定理
如果，則；反之，如果，且，則一定存在唯一一個實數(shù)使．
考點四 平面向量的基本定理
平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)任一向量有且只有一對實數(shù)，使，其中是一組基底．
【考試方向】
這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等偏下，有時也會與三角函數(shù)、解三角形等知識交匯．
【技能方法】
（1）將向量表示為另外向量的線性關(guān)系，主要是利用平面向量加減法的幾何意義（三角形法則、平行四邊形法則）結(jié)合平面向量的基
7、本定理來解決；
（2）根據(jù)線性關(guān)系求解相關(guān)的參數(shù)及其它問題，解答時通常是利用平面向量的基本定理結(jié)合待定系數(shù)法建立方程（組）來解決．
【易錯指導(dǎo)】
（1）運算平面向量的三角法則時忽視加法運算的“首尾相接”的特點，減法運算時忽視所得差向量的方向是指向被減數(shù)的；
（2）向量的數(shù)乘運算注意實數(shù)的符號，即必須注意數(shù)乘向量的方向；
（3）利用平面向量的基本定理解決相關(guān)問題，基底的選擇直接決定解題過程的繁雜與簡化、決定解題的成功與失敗，因此必須重視基底的選擇．
V．舉一反三·觸類旁通
考向1 三角形法則與平行四邊形法則的應(yīng)用
【例7】【湖南省四大名校高三3月聯(lián)考】在平行四邊形中,
8、與交于點是線段的中點，的延長線與交于點.若，則（ ?。?
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由向量的平行四邊形法則可得，解得.又因為，所以，即，所以，故選C．
【方法總結(jié)】向量的線性運算要滿足三角形法則和平行四邊形法則，解題時，要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素．向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則要素是“起點重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點重合”．
【跟蹤訓(xùn)練】如圖，在直角梯形中，，為邊上的一點，，為中點，則 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
考向2 平面
9、向量基本定理的應(yīng)用
【例8】【20xx學(xué)年遼寧沈陽二中高二6月月考】在平行四邊形中 ，與相交于點，若，則（ ?。?
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為三點共線，所以可設(shè)，即，同理可設(shè)
，即，所以
，即，解得，所以，故選C．
【名師點睛】平面向量的基本定理描述了一個向量在基底的分解上是唯一的，就是這個唯一性為利用待定系數(shù)法求相關(guān)的參數(shù)提供了理論依據(jù)．待定系數(shù)法與平面向量基本定理結(jié)合在一起解題，通常是要通過建立方程（組）來解決．
【跟蹤訓(xùn)練】在平行四邊形中, 為的中點，為的中點，若 ,則的值為___________．
【答案】
考向3 共線定
10、理的應(yīng)用
【例9】【20xx山東濱州市二?！吭谥?，為邊上的任意一點，點在線段上，且滿足，若，則的值為（ ?。?
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【解析】因為，又因為，所以
，由于三點共線，所以，從而的值為，故選A．
【例10】【20xx河南洛陽市一中高三下二模】在中，是上的點，若，則實數(shù)的值為___________.
【答案】
【解析】因為，所以，即，所以．又因為三點共線，所以，所以．
【方法歸納】共線定理描述的是兩個向量間數(shù)乘關(guān)系，即與共線存在唯一，使，將其延伸后可得到三點共線的條件：在平面中三點共線的充要條件是（為平面內(nèi)任意一點），其中．
11、【跟蹤訓(xùn)練】已知的重心為，過任做一直線分別交邊于兩點，設(shè)，則的最小值是________．
【答案】
考向4 平面向量線性運算與不等式交匯
【例11】（浙江杭州市五校聯(lián)盟一診）在矩形中，，，為矩形內(nèi)一點，且，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【方法點睛】平面向量的線性運算與不等式的綜合通常體現(xiàn)為表示向量的基底向量的系數(shù)為未知數(shù)，而所求解問題常常以這些未知數(shù)來設(shè)置的不等式問題，解答時通常從向量開始，利用向量線性運算的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后利用不等式的相關(guān)知識求解．
考向5 平面向量線性運算與數(shù)列的交匯
【例12】【20xx重慶一中高三下學(xué)期3月月考】如題圖，已知點為的邊上一點，，為邊上的列點，滿足，其中實數(shù)列中，則的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【題型點睛】平面向量的線性運算與數(shù)列的綜合通常體現(xiàn)為表示向量的基底向量的系數(shù)為數(shù)列的通項（或前項和）或向量對應(yīng)的點以數(shù)列形式出現(xiàn)，而所求解問題常常設(shè)置為數(shù)列問題，解答時通常從向量開始，利用向量線性運算的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，然后利用數(shù)列的相關(guān)知識求解．
備戰(zhàn)高考黃金100題解讀與擴展系列之平面向量：專題一 平面向量的線性運算 Word版含解析
