211湖南衡陽中考數(shù)學試題解析版[共14頁]

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1、 湖南省衡陽市2011年中考數(shù)學試卷 一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，滿分30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．） 1、（2011?衡陽）15的相反數(shù)是（　　） A、15 B、5 C、﹣5 D、﹣15 考點：相反數(shù)。 專題：計算題。 分析：根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可． 解答：解：根據(jù)相反數(shù)的定義有：15的相反數(shù)是﹣15． 故選D． 點評：本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“﹣”號；一個正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，一個負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0． 2、（2011?衡陽）某市在一次扶貧助殘活動中，共捐款318580

2、0元，將3185800元用科學記數(shù)法表示（保留兩個有效數(shù)字）為（　?。? A、3.1106元 B、3.1105元 C、3.2106元 D、3.18106元 考點：科學記數(shù)法與有效數(shù)字。 分析：科學記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值是易錯點，由于1 048 576有7位，所以可以確定n=7﹣1=6．有效數(shù)字的計算方法是：從左邊第一個不是0的數(shù)字起，后面所有的數(shù)字都是有效數(shù)字． 用科學記數(shù)法表示的數(shù)的有效數(shù)字只與前面的a有關(guān)，與10的多少次方無關(guān)． 解答：解：3185800≈3.2106． 故選C． 點評：此題考查科學記數(shù)法的表示方法

3、，以及用科學記數(shù)法表示的數(shù)的有效數(shù)字的確定方法． 3、（2011?衡陽）如圖所示的幾何體的主視圖是（　?。? A、 B、 C、 D、 考點：簡單組合體的三視圖。 分析：找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在主視圖中． 解答：解：從正面看易得第一層有3個正方形，第二層最中間有一個正方形． 故選B． 點評：本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖，難度適中． 4、（2011?衡陽）下列幾個圖形是國際通用的交通標志，其中不是中心對稱圖形的是（　?。? A、 B、 C、 D、 考點：中心對稱圖形；生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。 分析：根據(jù)中心對

4、稱圖形的定義解答． 解答：解：根據(jù)中心對稱圖形的概念，知：A、B、C都是中心對稱圖形；D不是中心對稱圖形． 故選D． 點評：本題考查中心對稱圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形． 5、（2011?衡陽）下列計算，正確的是（　?。? A、（2x2）3=8x6 B、a6a2=a3 C、3a2?2a2=6a2 D、（13）03=0 考點：同底數(shù)冪的除法；冪的乘方與積的乘方；單項式乘多項式；零指數(shù)冪。 專題：計算題。 分析：冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘；根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減；同

5、底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加． 解答：解：A、（2x2）3=8x6，冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘；故本選項正確； B、a6a2=a3，同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減；故本選項錯誤； C、3a2?2a2=6a4，同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加；故本選項錯誤； D、（13）03=13=3，任何數(shù)的零次冪（0除外）都是1；故本選項錯誤； 故選A． 點評：本題考查同底數(shù)冪的除法，合并同類項，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方很容易混淆，一定要記準法則才能做題． 6、（2011?衡陽）函數(shù)y=x+3x﹣1中自變量x的取值范圍是（　?。? A、x≥﹣3 B、x≥﹣3且x≠1 C、x≠1

6、D、x≠﹣3且x≠1 考點：函數(shù)自變量的取值范圍。 專題：計算題。 分析：本題主要考查自變量的取值范圍，函數(shù)關(guān)系中主要有二次根式和分式兩部分．根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，就可以求解． 解答：解：∵x+3≥0， ∴x+3≥0， ∴x≥﹣3， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， ∴自變量x的取值范圍是：x≥﹣3且x≠1． 故選：B． 點評：此題主要考查了函數(shù)自變量的取值范圍，一般從三個方面考慮：（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負． 7

7、、（2011?衡陽）下列說法正確的是（　?。? A、在一次抽獎活動中，“中獎概率是1100”表示抽獎100次就一定會中獎 B、隨機拋一枚硬幣，落地后正面一定朝上 C、同時擲兩枚均勻的骰子，朝上一面的點數(shù)和為6 D、在一副沒有大小王的撲克牌中任意抽一張，抽到的牌是6的概率是113 考點：概率的意義。 分析：概率是表征隨機事件發(fā)生可能性大小的量，是事件本身所固有的不隨人的主觀意愿而改變的一種屬性．了解了概率的定義，然后找到正確答案． 解答：解：A、概率是針對數(shù)據(jù)非常多時，趨近的一個數(shù)，所以概率是1100，也不能夠說明是抽100次就能抽到獎．故本選項錯誤． B、隨機拋一枚硬幣，落地

8、后正面怎么一定朝上呢，應該有兩種可能，故本選項錯誤． C、同時擲兩枚均勻的骰子，朝上一面的點數(shù)和有多種可能性，故本選項錯誤． D、在一副沒有大小王的撲克牌中任意抽一張，抽到6的概率是113． 故選D． 點評：本題解決的關(guān)鍵是理解概率的意義，以及怎樣算出概率． 8、（2011?衡陽）如圖所示，在平面直角坐標系中，菱形MNPO的頂點P的坐標是（3，4），則頂點M、N的坐標分別是（　?。? A、M（5，0），N（8，4） B、M（4，0），N（8，4） C、M（5，0），N（7，4） D、M（4，0），N（7，4） 考點：菱形的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)。 專題：數(shù)形結(jié)合。

9、分析：此題可過P作PE⊥OM，根據(jù)勾股定理求出OP的長度，則M、N兩點坐標便不難求出． 解答：解：過P作PE⊥OM， ∵頂點P的坐標是（3，4）， ∴OE=3，PE=4， ∴OP=32+42=5， ∴點M的坐標為（5，0）， ∵5+3=8， ∴點N的坐標為（8，4）． 故選A． 點評：此題考查了菱形的性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)和點P的坐標，作出輔助線是解決本題的突破口． 9、（2011?衡陽）如圖所示，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC=5cm，則坡面AB的長是（　?。? A、10m B、103m C、15m D、53m 考點：解直角三角形的應用-坡度坡

10、角問題。 專題：幾何綜合題。 分析：由河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1：3，可得到∠BAC=30，所以求得AB=2BC，得出答案． 解答：解：河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1：3， 即BCAC=33， ∴∠BAC=30， ∴AB=2BC=25=10， 故選：A． 點評：此題考查的是解直角三角形的應用，關(guān)鍵是先由已知得出∠BAC=30，再求出AB． 10、（2011?衡陽）某村計劃新修水渠3600米，為了讓水渠盡快投入使用，實際工作效率是原計劃工作效率的1.8倍，結(jié)果提前20天完成任務(wù)，若設(shè)原計劃每天修水渠x米，則下面所列方程正確的是（　　） A、3600x=36001.8x

11、 B、36001.8x﹣20=3600x C、3600x﹣36001.8x=20 D、3600x+36001.8x=20 考點：由實際問題抽象出分式方程。 分析：本題需先根據(jù)題意設(shè)出原計劃每天修水渠x米，再根據(jù)已知條件列出方程即可求出答案． 解答：解：設(shè)原計劃每天修水渠x米，根據(jù)題意得： 3600x﹣36001.8x=20． 故選C． 點評：本題主要考查了如何由實際問題抽象出分式方程，在解題時要能根據(jù)題意找出等量關(guān)系列出方程是本題的關(guān)鍵． 二、填空題（本大題共8各小題，每小題3分，滿分24分．） 11、（2011?衡陽）計算：12+3=　33． 考點：二次根式的加減法。

12、 分析：本題考查了二次根式的加減運算，應先化為最簡二次根式，再合并同類二次根式． 解答：解：原式=23+3=33． 點評：同類二次根式是指幾個二次根式化簡成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式． 二次根式的加減運算，先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并． 合并同類二次根式的實質(zhì)是合并同類二次根式的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)不變． 12、（2011?衡陽）某一個十字路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒．當你抬頭看信號燈時，是黃燈的概率是112． 考點：概率公式。 分析：根據(jù)題意可得：在1分鐘內(nèi)，紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，故抬頭

13、看信號燈時，是黃燈的概率是560=112． 解答：解：P（黃燈亮）=112． 故本題答案為：112． 點評：本題考查隨機事件概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=mn． 13、（2011?衡陽）若m﹣n=2，m+n=5，則m2﹣n2的值為　10?。? 考點：平方差公式；有理數(shù)的乘法。 專題：計算題。 分析：首先把多項式m2﹣n2利用平方差公式分解因式，然后代入已知條件即可求出其值． 解答：解：∵m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）， 而m+n=5，m﹣n=2， ∴m2﹣n2=52=10． 故答案為10．

14、 點評：本題主要考查了公式法分解因式．先利用平方差公式把多項式分解因式，然后代入已知數(shù)據(jù)計算即可解決問題． 14、（2011?衡陽）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同一種零件，并且每天產(chǎn)量相等，在6天中每天生產(chǎn)零件中的次品數(shù)依次是：甲：3、0、0、2、0、1；乙：1、0、2、1、0、2．則甲、乙兩臺機床中性能較穩(wěn)定的是　乙?。? 考點：方差。 專題：計算題。 分析：先計算出甲乙的平均數(shù)，甲的平均數(shù)=乙的平均數(shù)=1，再根據(jù)方差的計算公式分別計算出它們的方差，然后根據(jù)方差的意義得到方差小的性能較穩(wěn)定． 解答：解：甲的平均數(shù)=16（3+0+0+2+0+1）=1， 乙的平均數(shù)=16（1+0+2+1+0+2

15、）=1， ∴S2甲=16[（3﹣1）2+3（0﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2]=43 S2乙=16[（2（1﹣1）2+2（0﹣1）2+2（2﹣1）2]=23， ∴S2甲＞S2乙， ∴乙臺機床性能較穩(wěn)定． 故答案為乙． 點評：本題考查了方差的計算公式和意義：一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，其平均數(shù)為x，則這組數(shù)據(jù)的方差S2=1n[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2]；方差反映一組數(shù)據(jù)在其平均數(shù)左右的波動大小，方差越大，波動就越大，越不穩(wěn)定，方差越小，波動越小，越穩(wěn)定． 15、（2011?衡陽）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸的交點坐標為（2，0），則下列說

16、法： ①y隨x的增大而減??； ②b＞0； ③關(guān)于x的方程kx+b=0的解為x=2． 其中說法正確的有?、佗冖邸。ò涯阏J為說法正確的序號都填上）． 考點：一次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)與一元一次方程。 專題：綜合題。 分析：根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合一次函數(shù)的圖形進行解答． 解答：解：①因為一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限，所以y隨x的增大而減小，故本項正確 ②因為一次函數(shù)的圖形與y的軸的交點在正半軸上，所以b＞0，故本項正確 ③因為一次函數(shù)的圖象與x軸的交點為（2，0），所以當y=0時，x=2，即關(guān)于x的方程kx+b=0的解為x=2，故本項正確 故答案為①②③．

17、 點評：本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)與一元一次方程，關(guān)鍵是要熟練掌握一次函數(shù)的所有性質(zhì) 16、（2011?衡陽）如圖，⊙O的直徑CD過弦EF的中點G，∠EOD=40，則∠FCD的度數(shù)為　20?。? 考點：圓周角定理；垂徑定理。 專題：幾何圖形問題。 分析：根據(jù)垂徑定理得出弧DE等于弧DF，再利用圓周角定理得出∠FCD=20． 解答：解：∵⊙O的直徑CD過弦EF的中點G， ∴ED=DF， ∴∠DCF=12∠EOD， ∵∠EOD=40， ∴∠FCD=20， 故答案為：20． 點評：此題主要考查了垂徑定理以及圓周角定理的推論，靈活應用相關(guān)定理是解決問題

18、的關(guān)鍵． 17、（2011?衡陽）如圖所示，在△ABC中，∠B=90，AB=3，AC=5，將△ABC折疊，使點C與點A重合，折痕為DE，則△ABE的周長為　7?。? 考點：翻折變換（折疊問題）；勾股定理。 專題：探究型。 分析：先根據(jù)勾股定理求出BC的長，再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出AE=CE，進而求出△ABE的周長． 解答：解：∵在△ABC中，∠B=90，AB=3，AC=5， ∴BC=AC2﹣AB2=52﹣32=4， ∵△ADE是△CDE翻折而成， ∴AE=CE， ∴AE+BE=BC=4， ∴△ABE的周長=AB+BC=3+4=7． 故答案為：7． 點評：本題考查的

19、是圖形翻折變換的性質(zhì)，即折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等． 18、（2011?衡陽）如圖1所示，在矩形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿BC、CD、DA運動至點A停止，設(shè)點P運動的路程為x，△ABP的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，那么△ABC的面積是　10?。? 考點：動點問題的函數(shù)圖象。 分析：本題需先結(jié)合函數(shù)的圖象求出AB、BC的值，即可得出△ABC的面積． 解答：解：根據(jù)題意可得：AB=5，BC=4， ∴△ABC的面積是：1245=10． 故答案為：10． 點評：本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，在解

20、題時要能根據(jù)函數(shù)的圖象求出線段的長度從而得出三角形的面積是本題的關(guān)鍵． 三、解答題（本大題共9小題，滿分66分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．） 19、（2011?衡陽）先化簡，再求值．（x+1）2+x（x﹣2）．其中x=﹣12． 考點：整式的混合運算—化簡求值。 專題：計算題。 分析：本題需先把要求的式子進行化簡整理，再把x的值代入即可求出結(jié)果． 解答：解：（x+1）2+x（x﹣2） =x2+2x+1+x2﹣2x =2x2+1 當x=﹣12時 原式=2（﹣12）2+1 =32 點評：本題主要考查了整式的混合運算，在解題時要注意運算順序和乘法公式的綜合應用是本

21、題的關(guān)鍵． 20、（2011?衡陽）解不等式組&x﹣3≤0&3（x﹣1）﹣2（2x﹣1）＜1，并把解集在數(shù)軸上表示出來． 考點：解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集。 專題：計算題；數(shù)形結(jié)合。 分析：首先解每個不等式，確定兩個不等式的解集的公共部分即可確定不等式組的解集． 解答：解：解第一個不等式得：x≤3； 解第二個不等式得：x＞﹣2． 故不等式組的解集是：﹣2＜x≤3． 點評：把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就

22、要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示． 21、（2011?衡陽）如圖，在△ABC中，AD是中線，分別過點B、C作AD及其延長線的垂線BE、CF，垂足分別為點E、F．求證：BE=CF． 考點：全等三角形的判定與性質(zhì)。 專題：證明題。 分析：利用CF∥BE和D是BC邊的中點可以得到全等條件證明△BDE≌△CDF，從而得出結(jié)論． 解答：證明：∵D是BC邊上的中點， ∴BD=CD， 又∵分別過點B、C作AD及其延長線的垂線BE、CF ∴CF∥BE， ∴∠E=∠CFD，∠DBE=∠FCD ∴△BDE≌△CFD， ∴CF=BE． 點

23、評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，難易程度適中，是一道很典型的題目． 22、（2011?衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？ 考點：二元一次方程組的應用。 專題：應用題；方程思想。 分析：由題意得出兩個相等關(guān)系為：甲、乙兩種蔬菜共10畝和共獲利18000元，依次列方程組求解． 解答：解：設(shè)甲、乙兩種蔬菜各種植了x、y畝，依題意得： &x+y=10&2000x+1500y=18000， 解得：&x=6&y=4， 答：李大叔去年甲、乙兩種蔬菜

24、各種植了6畝、4畝． 點評：此題考查的是二元一次方程組的應用，關(guān)鍵是確定兩個相等關(guān)系列方程組求解． 23、（2011?衡陽）我國是世界上嚴重缺水的國家之一，2011年春季以來，我省遭受了嚴重的旱情．某校為了組織“節(jié)約用水從我做起”活動，隨機調(diào)查了本校120名同學家庭月人均用水量和節(jié)水措施情況，如圖1、圖12是根據(jù)調(diào)查結(jié)果做出的統(tǒng)計圖的一部分． 請根據(jù)信息解答下列問題： （1）圖1中淘米水澆花所占的百分比為　16%??； （2）圖1中安裝節(jié)水設(shè)備所在的扇形的圓心角度數(shù)為　108??； （3）補全圖2； （4）如果全校學生家庭總?cè)藬?shù)為3000人，根據(jù)這120名同學家庭月人均用水量，估

25、計全校學生家庭月用水總量是多少噸？ 考點：條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖。 專題：數(shù)形結(jié)合。 分析：（1）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的特點可知，用1減去其他3種節(jié)水措施所占的百分比即可解答． （2）用安裝節(jié)水設(shè)備所在的扇形的百分比乘360度，即可得出正確答案． （3）根據(jù)隨機調(diào)查了本校120名同學家庭可知總數(shù)為120，減去其他4組的戶數(shù)得出答案，再畫圖即可解答． （4）先求出這120名同學家庭月人均用水量，再用樣本估計總體的方法即可解答． 解答：解：（1）淘米水澆花所占的百分比為1﹣30%﹣44%﹣11%=16%． （2）安裝節(jié)水設(shè)備所在的扇形的圓心角度數(shù)為36030%=108．

26、 （3）如圖 （4）（110+242+320+432+516）1201200， =3620噸． 即全校學生家庭月用水總量是3620噸． 點評：本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用．讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小． 24、（2011?衡陽）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且與OA的延長線交于點D． （1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系并說明理由； （2）若∠ACB=120，OA=2．求CD的長． 考點：切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理；圓周角

27、定理。 專題：綜合題。 分析：（1）連接OC，證明OC⊥DC，利用經(jīng)過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線判定切線即可； （2）利用等弧所對的圓心角相等和題目中的已知角得到∠D=30，利用解直角三角形求得CD的長即可． 解答：解：（1）CD與⊙O相切； 證明：連接OC， ∵CA=CB， ∴OC⊥AB， ∵CD∥AB， ∴OC⊥CD， ∵OC是半徑， ∴CD與⊙O相切． （2）∵CA=CB，∠ACB=120， ∴∠DOC=60 ∴∠D=30， ∵OA=2， ∴CD=23 點評：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，角的大小及線段長度的求法，要求學生掌握常見的

28、解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡單的方法解題． 25、（2011?衡陽）如圖，已知A，B兩點的坐標分別為A(0，)，B(2，0)直線AB與反比例函數(shù)的圖像交與點C和點D（-1，a）． (1)求直線AB和反比例函數(shù)的解析式； (2)求∠ACO的度數(shù)； (3)將△OBC繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角（α為銳角），得到△OB′C′，當α為多少度時OC′⊥AB，并求此時線段AB′的長． 考點：反比例函數(shù)綜合題。 專題：綜合題。 分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，把A（0，2），B（2，0）分別代入，得到a，b方程組，解出a，b，得到直線AB的解析式；把D點坐標代入直線AB的解析式

29、，確定D點坐標，再代入反比例函數(shù)解析式確定m的值； （2）由y=﹣x+2和y=﹣33x聯(lián)立解方程組求出C點坐標（3，﹣），利用勾股定理計算出OC的長，得到OA=OC；在Rt△OAB中，利用勾股定理計算AB，得到∠OAB=30，從而得到∠ACO的度數(shù)； （3）由∠ACO=30，要OC′⊥AB，則∠COC′=90﹣30=60，即α=60，得到∠BOB′=60，而∠OBA=60，得到△OBB′為等邊三角形，于是有B′在AB上，BB′=2，即可求出AB′． 解答：解：(1)設(shè)直線AB的解析式為，將A(0，)，B(2，0)代入解析式中，得，解得．∴直線AB的解析式為；將D（-1，a）代入得，∴點D

30、坐標為（-1，），將D（-1，）代入中得，∴反比例函數(shù)的解析式為． (2)解方程組得，，∴點C坐標為（3，）， 過點C作CM⊥軸于點M，則在Rt△OMC中， ，，∴，∴， 在Rt△AOB中，=，∴， ∴∠ACO=． (3)如圖，∵OC′⊥AB，∠ACO=30， ∴= ∠COC′=90－30=60，∠BOB′==60， ∴∠AOB′=90－∠BOB′=30，∵ ∠OAB=90－∠ABO=30， ∴∠AOB′=∠OAB， ∴AB′= OB′=2． 答：當α為60度時OC′⊥AB，并求此時線段AB′的長為2． 點評：本題考查了利用待定系數(shù)法求圖象的解析式．也考查了點在

31、函數(shù)圖象上，點的橫縱坐標滿足函數(shù)圖象的解析式和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系． 26、（2011?衡陽）如圖，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），點P是AB邊上的任意一點（不與點A、B重合），連接PD，過點P作PQ⊥PD，交直線BC于點Q． （1）當m=10時，是否存在點P使得點Q與點C重合？若存在，求出此時AP的長；若不存在，說明理由； （2）連接AC，若PQ∥AC，求線段BQ的長（用含m的代數(shù)式表示）； （3）若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍． 考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；

32、等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)。 專題：探究型。 分析：（1）假設(shè)存在一點P，使點Q與點C重合，再設(shè)AP的長為x，利用勾股定理即可用x表示出DP、PC的長，再在Rt△PCD中利用勾股定理即可求出x的值； （2）連接AC，設(shè)BP=x，則AP=m﹣x，由相似三角形的判定定理得出△PBQ∽△ABC，△APD∽△BQP，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可求出BQ的表達式； （3）連接DQ，把四邊形PQCD化為兩個直角三角形，再用m表示出PD及CQ的長，利用三角形的面積公式即可解答． 解答：解：（1）存在點P． 假設(shè)存在一點P，使點Q與點C重合，如圖1所示，設(shè)AP的長為x，則BP=1

33、0﹣x， 在Rt△APD中，DP2=AD2+AP2，即DP2=42+x2， 在Rt△PBC中，PC2=BC2+PB2，即DP2=42+（10﹣x）2， 在Rt△PCD中，CD2=DP2+PC2，即102=42+x2+42+（10﹣x）2， 解得x=2或8， 故當m=10時，存在點P使得點Q與點C重合，此時AP=2或8； （2）連接AC，設(shè)BP=x，則AP=m﹣x， ∵PQ∥AC， ∴△PBQ∽△ABC， ∴BQBC=BPAB，即BQ4=xm①， ∵DP⊥PQ， ∴∠APD+∠BPQ=90， ∵∠APD+∠ADP=90，∠BPQ+∠PQB=90， ∴∠APD=∠BQ

34、P， ∴△APD∽△BQP， ∴ADPB=APBQ，即4x=m﹣xBQ②， ①②聯(lián)立得，BQ=4m2﹣64m2； （3）連接DQ， 設(shè)AP=x，由（1）知在Rt△APD中，DP2=AD2+AP2，即DP2=42+x2， 在Rt△PBC中，PC2=BC2+PB2，即DP2=42+（m﹣x）2， 若△PQD為等腰三角形，則42+x2=42+（m﹣x）2， 解得x=m2， ∵BQ=4m2﹣64m2， ∴CQ=4﹣4m2﹣64m2=64m2， ∴S四邊形DPQC=S△DPQ+S△DCQ， 即S=12m2m2+1264m2m=m3+2568m（m＞4）． 點評：本題考查

35、的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵． 27、（2011?衡陽）已知拋物線y=12x2﹣mx+2m﹣72． （1）試說明：無論m為何實數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點． （2）如圖，當拋物線的對稱軸為直線x=3時，拋物線的頂點為點C，直線y=x﹣1與拋物線交于A、B兩點，并與它的對稱軸交于點D． ①拋物線上是否存在一點P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由； ②平移直線CD，交直線AB于點M，交拋物線于點N，通過怎樣的平移能使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行

36、四邊形． 考點：二次函數(shù)綜合題。 專題：代數(shù)幾何綜合題。 分析：（1）從函數(shù)的判別式出發(fā)，判別式總大于等于3，而證得； （2）①由直線y=x﹣1與拋物線交于A、B兩點，求得點A，代入拋物線解析式得m，由直線AD的斜率與直線PC的斜率相等，求得點P坐標； ②求得MN的坐標，從MN與CD的位置關(guān)系解得． 解答：解：（1）該函數(shù)的判別式=m2﹣4m+7=（m﹣2）2+3≥3 ∴該拋物線與x軸總有兩個不同的交點． （2）由直線y=x﹣1與拋物線交于A、B兩點， ∴點A（1，0） 代入二次函數(shù)函數(shù)式則m=3 ∴二次函數(shù)式為：y=12x2﹣3x+52 當拋物線的對稱軸為直線x=

37、3時，則y=﹣2， 即頂點C為（3，﹣2）， 把x=3代入直線y=x﹣1則y=2， 即點D（3，2） 則AD=AC=22 設(shè)點P（x，12x2﹣3x+52） 由直線AD的斜率與直線PC的斜率相等 則12x2﹣3x+52+2x﹣3=1 解得：x=3或x=5 則點P（3，2）（與點D重合舍去）或（5，0） 經(jīng)檢驗點（5，0）符合， 所以點P（5，0） ②設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將A（1，0），D（3，2）代入得直線AB：y=x﹣1， 設(shè)M（a，a﹣1），N（a，12a2﹣3a+52）， 當以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，MN=CD，即|（a﹣1）﹣（12a2﹣3a+52）|=4， 解得a=417或3或5， ∴把直線CD向右平移1+17個單位或2個單位，向左平移17﹣1個單位，能使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形． 點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，求得判別式總大于等于3，而證得；求得點A，代入拋物線解析式得m，由直線AD的斜率與直線PC的斜率相等，而解得；平移后得到的情況，得到M，N的坐標而解得． 15