高中數學（北師大版）選修2-2教案：第4章 拓展資料：定積分與曲邊梯形的面積

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1、 定積分與曲邊梯形的面積 我們知道定積分的幾何意義：當函數在區(qū)間[a,b]上恒為正時，定積分的幾何意義是以曲線為曲邊梯形的面積.一般情況下，定積分的幾何意義是介于x軸、函數的圖象以及直線x=a、x=b之間各部分面積的代數和，在x軸上方的面積取正號，在x軸下方的面積取負號.所以求曲邊梯形的面積是定積分在幾何中的重要應用，把求平面圖形的面積問題轉化為求定積分問題，充分體現了數形結合的數學思想．求解此類題常常用到以下技巧． 一、巧選積分變量 求平面圖形面積時，要注意選擇積分變量，以使計算簡便． 例1 求拋物線與直線圍成的平面圖形的面積． 解析：如圖1，解方程組得兩曲線的交點為、

2、． 方法一：選取橫坐標為積分變量，則圖中陰影部分的面積應該是兩部分之和，即 　　 ． 方法二：選取縱坐標為積分變量，則圖中陰影部分的面積可據公式求得，即 　　． 點評：從上述兩種解法可以看出，對積分比對積分計算簡捷．因此，應用定積分求平面圖形面積時，積分變量的選取是至關重要的．但同時也要注意對積分時，積分函數應是，本題須將條件中的曲線方程、直線方程化為 - 1 - / 3 、的形式，然后求得積分．另外還要注意的是對面積而言，不管選用哪種積分變量去積分，面積是不會變的，即定積分的值不會改變． 二、巧用對稱性 在求平面圖形面積時，利用函數所對應曲線的對稱性解題，也是簡化計算

3、過程的常用手段． 例2 求由三條曲線，，所圍圖形的面積． 解析：如圖2，因為，是偶函數，根據對稱性，只算出軸右邊的圖形的面積再兩倍即可． 解方程組和得交點坐標、、、． 方法一：選擇為積分變量，則 ． 方法二：可以選擇為積分變量，求解過程請同學們自己完成． 點評：對稱性的應用和積分變量的選取都影響著計算過程的繁簡程度． 三、分割計算 例3　求由拋物線及其在點和點處兩條切線所圍成的圖形的面積． 解析：由，得， ∴，過點的切線方程為； ，過點的切線方程為． 又可求得兩切線交點的橫坐標為，故所求面積 ． 點評：本題求圖形的面積，適當的分割是關鍵，故求出兩切線交點，過交點作軸的垂線，將圖形分割成兩部分，分別用定積分求解．同學們應注意掌握這種分割的處理方法． 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！