《《步步高學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)》2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2【配套備課資源】第二章23（二）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《步步高學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)》2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2【配套備課資源】第二章23（二）（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2.3 數(shù)學(xué)歸納法(二)
一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
1． 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ (n∈N*)，驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是 ( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
2． 用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2＋1對(duì)于n≥n0的自然數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取 ( )
A．2 B．3 C．5 D．6
3． 已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，證明不等式f(2n)>時(shí)，f(2k＋1)比f(wàn)(2k)多的項(xiàng)數(shù)是
( )
A．2k－1項(xiàng)
2、 B．2k＋1項(xiàng)
C．2k項(xiàng) D．以上都不對(duì)
4． 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋>(n∈N*)的過(guò)程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時(shí)，下列說(shuō)法正確的是 ( )
A．增加了一項(xiàng)
B．增加了兩項(xiàng)和
C．增加了B中的兩項(xiàng)，但又減少了一項(xiàng)
D．增加了A中的一項(xiàng)，但又減少了一項(xiàng)
5． 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an (n∈N*)．依次計(jì)算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表達(dá)式為_(kāi)_______________．
二、能力提升
6． 用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”
3、，要利用歸納假設(shè)證n＝k＋1時(shí)的情況，只需展開(kāi) ( )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
7． k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則(k＋1)棱柱的對(duì)角面?zhèn)€數(shù)f(k＋1)為 ( )
A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1
C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2
8． 對(duì)于不等式≤n＋1 (n∈N*)，某學(xué)生的證明過(guò)程如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，≤1＋1，不等式成立．
②假設(shè)n＝k (n∈N*)時(shí)，不等式成立，即≤k＋1，則n＝k＋1時(shí)，＝<＝＝(k＋1)＋
4、1，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，上述證法 ( )
A．過(guò)程全部正確
B．n＝1驗(yàn)證不正確
C．歸納假設(shè)不正確
D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確
9． 用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋>－.假設(shè)n＝k時(shí)，不等式成立．則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是____________________________________________．
10．證明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．
11．求證：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．
12．已知數(shù)列{an}中，a1＝－，其前n項(xiàng)和Sn滿足an＝Sn＋＋2(n≥2)，計(jì)算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表
5、達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．
三、探究與拓展
13．試比較2n＋2與n2的大小(n∈N*)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．
答案
1．D 2．C 3．C 4．C
5．Sn＝
6．A 7．A 8．D
9.＋＋…＋＋＋>－
10．證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，62－1＋1＝7能被7整除．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，62k－1＋1能被7整除．
那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1
＝36(62k－1＋1)－35.
∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
由(1)，(2)知命題成
6、立．
11．證明 (1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝＋＋＋>，不等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)命題成立，
即＋＋…＋>.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋(＋＋－)>＋(＋＋－)>＋(3－)＝，
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立．
由(1)和(2)可知，原不等式對(duì)一切n≥2，n∈N*均成立．
12．解 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.
∴Sn＝－(n≥2)．
則有：S1＝a1＝－，
S2＝－＝－，
S3＝－＝－，
S4＝－＝－，
由此猜想：Sn＝－(n∈N*)．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝－＝a1，
猜想
7、成立．
(2)假設(shè)n＝k(k∈N*)猜想成立，
即Sk＝－成立，
那么n＝k＋1時(shí)，
Sk＋1＝－＝－
＝－＝－.
即n＝k＋1時(shí)猜想成立．
由(1)(2)可知，對(duì)任意正整數(shù)n，
猜想結(jié)論均成立．
13．證明 當(dāng)n＝1時(shí)，21＋2＝4>n2＝1，
當(dāng)n＝2時(shí)，22＋2＝6>n2＝4，
當(dāng)n＝3時(shí)，23＋2＝10>n2＝9，
由n＝4時(shí)，24＋2＝18>n2＝16，
由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝21＋2＝4，右邊＝1，
所以左邊>右邊，所以原不等式成立．
當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4，
所以左邊>右邊；
當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9，
所以左邊>右邊．
(2)假設(shè)n＝k(k≥3且k∈N*)時(shí)，
不等式成立，
即2k＋2>k2.
那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
2k＋1＋2＝22k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2.
又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．
根據(jù)(1)和(2)，原不等式對(duì)于任何n∈N*都成立．
《步步高學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)》2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2【配套備課資源】第二章23（二）
