高考數(shù)學(xué)理二輪專題復(fù)習(xí)限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練：第一部分 專題六 解析幾何 163 Word版含答案

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練十七　圓錐曲線的綜合問題　 解答題(本題共5小題，每小題12分，共60分) 1．(20xx高考全國卷Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C：＋y2＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足＝. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x＝－3上，且＝1，證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. 解：(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)， 則N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)． 由＝得x0＝x，y0＝y(tǒng). 因?yàn)镸(x0，y0)在C上，所

2、以＋＝1. 因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝2. (2)由題意知F(－1,0)．設(shè)Q＝(－3，t)，P(m，n)， 則＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)． 由＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1， 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0. 所以＝0，即⊥. 又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. 2．(20xx黑龍江哈爾濱模擬)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)分別為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，點(diǎn)P在橢圓C上，滿足|PF1|＝7|PF2|，tan∠F1PF2＝4.

3、(1)求橢圓C的方程． (2)已知點(diǎn)A(1,0)，試探究是否存在直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，且使得|AD|＝|AE|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由． 解：(1)由|PF1|＝7|PF2|，PF1＋PF2＝2a得PF1＝，PF2＝，由cos2∠F1PF2＝＝＝，又由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝，所以a＝2， 故所求C的方程為＋y2＝1. (2)假設(shè)存在直線l滿足題設(shè)，設(shè)D(x1，y1)，E(x2，y2)，將y＝kx＋m代入＋y2＝1并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝－16(m2－

4、4k2－1)＞0，得4k2＋1＞m2①，又x1＋x2＝－設(shè)D，E中點(diǎn)為M(x0，y0)，M，kAMk＝－1，得m＝－②，將②代入①得4k2＋1＞，化簡得20k4＋k2－1＞0?(4k2＋1)(5k2－1)＞0，解得k＞或k＜－，所以存在直線l，使得|AD|＝|AE|，此時(shí)k的取值范圍為∪. 3．(20xx廣州五校聯(lián)考)已知雙曲線M：－＝1(a＞0，b＞0)的上焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，B為虛軸的端點(diǎn)，離心率e＝，且S△ABF＝1－.拋物線N的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F. (1)求雙曲線M和拋物線N的方程． (2)設(shè)動直線l與拋物線N相切于點(diǎn)P，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，則以PQ為直徑的圓是否恒

5、過y軸上的一個定點(diǎn)？如果經(jīng)過，試求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，如要不經(jīng)過，試說明理由． 解：(1)在雙曲線M中，c＝，由e＝，得＝， 解得a＝b，故c＝2b. 所以S△ABF＝(c－a)b＝(2b－b)b＝1－， 解得b＝1. 所以a＝，c＝2. 所以雙曲線M的方程為－x2＝1，其上焦點(diǎn)為F(0,2)， 所以拋物線N的方程為x2＝8y. (2)由(1)知y＝x2，故y′＝x，拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－2.設(shè)P(x0，y0)，則x0≠0，且直線l的方程為 y－y0＝x0(x－x0)， 即y＝x0x－x. 由得 所以Q. 假設(shè)存在點(diǎn)R(0，y1)，使得以PQ為直徑的圓恒過該點(diǎn)，也就是＝0

6、對任意的x0，y0恒成立． 又＝(x0，y0－y1)，＝， 由＝0， 得x0＋(y0－y1)(－2－y1)＝0， 整理得－2y0－y0y1＋2y1＋y＝0， 即(y＋2y1－8)＋(2－y1)y0＝0.(☆) 由于(☆)式對滿足y0＝x(x0≠0)的任意x0，y0恒成立，所以解得y1＝2. 故存在y軸上的定點(diǎn)R(0,2)，使得以PQ為直徑的圓恒過該點(diǎn)． 4．已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)2的坐標(biāo)滿足圓Q方程(x－)2＋(y－1)2＝1，且圓心Q滿足|QF1|＋|QF2|＝2a. (1)求橢圓C1的方程． (2)過點(diǎn)P(0,1)的直線l1交

7、橢圓C1于A，B兩點(diǎn)，過P與l1垂直的直線l2交圓Q于C，D兩點(diǎn)，M為線段CD中點(diǎn)，求△MAB面積的取值范圍． 解：(1)方程(x－)2＋(y－1)2＝1為圓，此圓與x軸相切，切點(diǎn)為F2(，0)，所以c＝，即a2－b2＝2，且F2(，0)，F(xiàn)1(－，0)，|QF1|＝＝＝3， 又|QF1|＋|QF2|＝3＋1＝2a. 所以a＝2，b2＝a2－c2＝2，所以橢圓C1的方程為＋＝1. (2)當(dāng)l1平行x軸時(shí)，l2與圓Q無公共點(diǎn)，從而△MAB不存在； 所以設(shè)l1：x＝t(y－1)，則l2：tx＋y－1＝0. 由消去x得(t2＋2)y2－2t2y＋t2－4＝0，則|AB|＝|y1－y2|＝

8、. 又圓心Q(，1)到l2的距離d1＝＜1得t2＜1. 又MP⊥AB，QM⊥CD，所以M到AB的距離即Q到AB的距離，設(shè)為d2，即d2＝＝. 所以△MAB面積S＝|AB|d2＝， 令u＝∈[2，)，則S＝f(u)＝＝∈. 所以△MAB面積的取值范圍為. 5．(20xx山東濰坊模擬)如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線C1：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)，且拋物線C1上點(diǎn)P處的切線與圓C2：x2＋y2＝1相切于點(diǎn)Q. (1)當(dāng)直線PQ的方程為x－y－＝0時(shí)，求拋物線C1的方程； (2)當(dāng)正數(shù)p變化時(shí)，記S1，S2分別為△FPQ，△FOQ的面積，求的最小值． 解：(1)設(shè)點(diǎn)P，由

9、x2＝2py(p＞0)得，y＝，求導(dǎo)得y′＝. 因?yàn)橹本€PQ的斜率為1，所以＝1且x0－－＝0， 解得p＝2， 所以拋物線C1的方程為x2＝4y. (2)因?yàn)辄c(diǎn)P處的切線方程為：y－＝(x－x0)， 即2x0x－2py－x＝0， 根據(jù)切線又與圓相切，得＝1， 化簡得x＝4x＋4p2， 由4p2＝x－4x＞0，得|x0|＞2. 由方程組 解得Q， 所以|PQ|＝|xP－xQ| ＝＝ ＝＝(x－2)． 點(diǎn)F到切線PQ的距離是d＝＝ ＝＝， 所以S1＝|PQ|d＝(x－2)， S2＝|OF||xQ|＝， 所以＝＝＝ ＝＋＋3≥2＋3， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取“＝”號， 即x＝4＋2，此時(shí)，p＝， 所以的最小值為3＋2.