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1、1 / 17 第八節(jié)函數(shù)的圖象 備考方向要明了 怎么考 高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查主要以選擇題或填空題的形式考 查函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用. 1. 對(duì)圖象的判斷主要有以下兩種： （1）根據(jù)所給函數(shù)解析 式，利用其與基本初等函數(shù)的關(guān)系以及它們之間的變化規(guī)律， 根據(jù)圖象變換得出所求函數(shù)的圖象，如 2012 年四川 T5,新課 標(biāo)全國(guó) T10 等. 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)（如：奇偶性、單調(diào)性、周期性等 ）或函數(shù) 圖象的特殊點(diǎn)得出所求函數(shù)的圖象，如 2012 年山東 T9 等. 2. 圖象的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面： 求函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間， 求參數(shù)的取值范圍，判斷非常規(guī)解的個(gè)數(shù)等，如 2012 年福建 T15,天津 T
2、14 等. 歸納知識(shí)整合 1禾 U 用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象 其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線(xiàn). 首先：確定函數(shù)的定義域；化簡(jiǎn)函數(shù)解析式； 討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、 周期性、對(duì)稱(chēng)性等）. 其次：列表（尤其注意特殊點(diǎn)、 零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等），描點(diǎn), 連線(xiàn). 2 利用圖象變換法作函數(shù)的圖象 （1）平移變換: 考什么 1. 在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不 同的需要選擇圖象法、列表 法、2 / 17 y=f（x）a ，左移 y = f(x a)； 3 / 17 y=和心下移移：個(gè)單位立y=f(x)+b. 伸縮變換: 01,縮短為原來(lái)的 一、A1，伸為原來(lái)的A倍 Af/ x y= f (x
3、) 0A0)對(duì)稱(chēng)，那么其圖象如何變換才能使它變?yōu)?奇函數(shù)？其解析式變?yōu)槭裁? 提示：向左平移a個(gè)單位即可；解析式變?yōu)?y= f(x+ a). 自測(cè)牛刀小試 1. (教材習(xí)題改編)汽車(chē)經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車(chē)，若把這 解析：選 B 汽車(chē)在啟動(dòng)、加速行駛的過(guò)程中，路程變化越來(lái)越快，圖象呈下凸趨勢(shì);y = f (x)與函數(shù)y 一過(guò)程中汽車(chē)行駛的路程 4 / 17 勻速行駛過(guò)程，圖象呈直線(xiàn)上升趨勢(shì)； 減速行駛過(guò)程，路程變化越來(lái)越慢，圖象呈上凸趨勢(shì). 2函數(shù)y= x|x|的圖象經(jīng)描點(diǎn)確定后的形狀大致是 ( ) 2 x , x0 解析：選 A y= x|x| = 0, x= 0 為奇
4、函數(shù)，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng). x , x 1, 0 x1, 如圖(3). 識(shí)圖與辨圖 I 1 = J cos 6 x 例 2 (1)(2012 山東高考)函數(shù)y = x x的圖象大致為(2 xT! = _ x+ 8 / 17 cos 6 x 自主解答(1) y = f (x) = 2 cos 6x , , 亠 cos 6 x 0 時(shí)，y = f (x) = 2_ x趨近 1 故 y = f (2 x) = x 2 法二：當(dāng) x = 0 時(shí)，一f (2 x) = f(2) = 1 ;當(dāng) x= 1 時(shí)，一f(2 x) = f (1) = 1. 觀(guān)察各選項(xiàng)，可知應(yīng)選 B. 答案(1)D (2)B
5、_ I I _ 尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法 (1) 知圖選式： 從圖象的左右、上下分布，觀(guān)察函數(shù)的定義域、值域； 從圖象的變化趨勢(shì)，觀(guān)察函數(shù)的單調(diào)性； 從圖象的對(duì)稱(chēng)性方面，觀(guān)察函數(shù)的奇偶性； 從圖象的循環(huán)往復(fù)，觀(guān)察函數(shù)的周期性. 利用上述方法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，篩選正確的選項(xiàng). (2) 知式選圖： 從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置;11 2 A T 1 O / 2 工 1 X r 1 1 1 O -1 1/2 D + ,排除選項(xiàng) B;當(dāng)x趨近時(shí), y= f (x) |0 畔趨近 2 - 2 0,排除選項(xiàng) C. 法一：由y= f(x)的圖象知f (x
6、)= x w 1, xw 2. 當(dāng) x 0,2 時(shí)，2-x 0,2 ，所以 f(2 - x)= 1 xw 1, 2 x xw 2, 2-x，二 f( x) = 2 函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除選項(xiàng) A;當(dāng)x從正方向趨近 圖象應(yīng)為 B. 9 / 17 從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化 趨勢(shì); 從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性. 從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù). 利用上述方法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，篩選正確選項(xiàng). 解析：選 C 當(dāng)x= 0 時(shí)，y = 0,由此排除選項(xiàng) A;當(dāng)x= 2 n時(shí)，y= n 0,由此排除選項(xiàng) D. 解析：選 B 由函數(shù)圖象可得，函數(shù) f(x)為偶函數(shù)，且x0 時(shí)，函數(shù)f(x)
7、的單調(diào)性為 先減后增，最小值為正，極小值點(diǎn)小于 1，分別對(duì)選項(xiàng)中各個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，并求其導(dǎo)函數(shù)等于 0 的正根，可分別得 1, -彳，2,1，由此可得僅函數(shù)f(x) = x2 ln | x|符合條件. lx 1| 例 3 (2012 天津高考)已知函數(shù)y=的圖象與函數(shù) y= kx 2 的圖象恰有兩 口注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型， 當(dāng)選項(xiàng)無(wú)法排除時(shí), 代特殊值，或從某些量上尋找突破 II x 2.函數(shù) y= 2 2sin 3. (2013 杭州模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所 示, 析式可能是( ) 2 f (x) = x 2ln | x| 2 f (x) = x ln | x| A. B. C.
8、 f(x) = |x| 2ln | x| D. f(x) = |x| In | x| x的圖象大致是( 函數(shù)圖象的應(yīng)用 10 / 17 x I 個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 11 / 17 自主解答先去掉絕對(duì)值符號(hào)，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象， 數(shù)形結(jié)合求解. 時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn). 答案(0,1) U (1,4) 若將“ y = kx 2”改為“ y = kx”，k的取值范圍是什么? X + 1, x1 或 x 1, 解：函數(shù)可表示為 y=弋 圖象為如圖所示的 x 1, K x1, 實(shí)線(xiàn)部分，數(shù)形結(jié)合可知，要使兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則 k (0,1) U (1,2). _ I I _ 1. 利
9、有函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì) 從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱(chēng)性，分析函數(shù)的奇偶 性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等 2. 利用函數(shù)的圖象研究方程根的個(gè)數(shù) 有關(guān)方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)； 利用此法也可由解的個(gè) 數(shù)求參數(shù)值. C. ( s, 2) U (1,2 D. 2, 1 a, a b1, 2 函數(shù) f (x) = (x 2) ?(x 1) -2 x 2, 1w x2, x 1, x2. 根據(jù)絕對(duì)值的意義, X + 1 x1 或 x 1 X 1 X1 在直角坐標(biāo)系中作出該函數(shù)的圖象, 如圖中實(shí)線(xiàn)所示.根據(jù)圖象可知, 當(dāng) 0k1
10、或 1k0，且 1, f(x) = x2 ax，當(dāng) x ( 1,1)時(shí)，均有 f(x)，則實(shí)數(shù) a 的取 值范圍是 _ . 1 1 解析：由題知，當(dāng)x ( 1,1)時(shí)，f(x) = x2 ax2 即x2-ax.在同一坐標(biāo)系中分別作 2 1 x 出二次函數(shù)y = x22，指數(shù)函數(shù)y = ax的圖象, 要使指數(shù)函數(shù)的圖象均在二次函數(shù)圖象的上方，需 一 1 實(shí)數(shù)a的取值范圍是寸av 1 或 1 v aw 2. 答案：1 卩(1,2 y j 通法一 1 個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)圖象變換中的易錯(cuò)點(diǎn) 在解決函數(shù)圖象的變換問(wèn)題時(shí)，要遵循“只能對(duì)函數(shù)關(guān)系式中的 寫(xiě)出每一次的變換所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯(cuò). 3 個(gè)
11、關(guān)鍵點(diǎn)一一正確作出函數(shù)圖象的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點(diǎn): (1)正確求出函數(shù)的定義域； 熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、 1 冪函數(shù)、形如y = x+ -的函數(shù); x (3) 掌握平移變換、伸縮變換、對(duì)稱(chēng)變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來(lái) 幫助我們簡(jiǎn)化作圖過(guò)程. 3 種方法識(shí)圖的方法 對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、 對(duì)稱(chēng)性等方面來(lái) 獲取圖中所提供的信息，解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法有： (1)定性分析法， 也就是通過(guò)對(duì)問(wèn)題 進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì)，利用這一特征來(lái)分析
12、解決問(wèn)題；(2) 定量計(jì)算法，也就是通過(guò)定量的計(jì)算來(lái)分析解決問(wèn)題； (3)函數(shù)模型法， 也就是由所提供的 圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來(lái)分析解決問(wèn)題 歸納領(lǐng)悟 x, y變換”的原則, 14 / 17 易誤警示一一作圖不準(zhǔn)確或數(shù)與形不吻合致誤 15 / 17 1已知函數(shù)f (x)= |2x 1| , x2 ；3 實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ) A. (1,3) 若方程f (x) a= 0 有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則 1 典例(2011 新課標(biāo)全國(guó)卷)函數(shù)y= 1x的圖象與函數(shù) y = 2sin n x( 2 x 4) I x 也關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱(chēng)；因此兩圖象的交點(diǎn)也一定關(guān)于點(diǎn) (1
13、,0)成中心對(duì)稱(chēng)，再結(jié)合圖象(如圖所示)可知兩圖象在2,4 上有 8個(gè)交點(diǎn)，因此 8 個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和 X1+ X2+ , + xs = 4X 2= 8. 答案D 易誤辨析 1 如果作出的函數(shù)圖象比較粗糙，極易造成區(qū)間 (1,2)上的兩個(gè)交點(diǎn)遺漏，從而誤選 B. 1 f3 、 2 如果作函數(shù) y= 的圖象不夠準(zhǔn)確，只注意到圖象過(guò)點(diǎn) ，1 ,極易忽視區(qū)間 1 x 2 ， 3 2 上的交點(diǎn)，從而誤選 C. 1 3. 如果不能正確地挖掘函數(shù) y = 及y = 2sin n x( 2 x 4)的圖象均關(guān)于點(diǎn)(1,0) 1 x 對(duì)稱(chēng)，從而無(wú)法求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和. 4 解決此類(lèi)問(wèn)題，避免在解題過(guò)程中出現(xiàn)
14、失誤，應(yīng)關(guān)注以下幾點(diǎn)： (1)平時(shí)涉及函數(shù)圖象的問(wèn)題時(shí)，要規(guī)范準(zhǔn)確地畫(huà)出圖象，切忌不用尺規(guī)草草完成. (2) 加強(qiáng)通過(guò)解析式分析其圖象的對(duì)稱(chēng)性、周期性等性質(zhì)的訓(xùn)練以提高解決這類(lèi)問(wèn)題的 能力. (3) 訓(xùn)練由圖分析其函數(shù)性質(zhì)的解題技巧. 變式訓(xùn)練 4 y 1 3 八2 JV A/V -2 -1耳 V A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析由題意知 1 一 1 6A Kf/fe H W lib 且關(guān)于 y=1x= .的圖象是雙曲線(xiàn)， 點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱(chēng)，又 y= 2si n n x 的周期為 T= 2n =2, 且 的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于 (7t 16 / 17 解析：選 D 因
15、為方程f（x） a = 0 的根，即是直線(xiàn)y = a與函數(shù)f（x）= x 12 1| , x2, 圍是（0,1） c的大小關(guān)系是 _ . 解析：由 2 + x= 0,得 2 = x, 分別作出y = 2x, y= x的圖象，如圖（1）, 兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為 a,可得a0. 同理，對(duì)于方程 log 2X = 2 x，可得圖（2）, 得 1b2； 1 對(duì)于方程 log 宕=x，可得圖（3），得 0c1, 所以acb. 一、選擇題（本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分） x2 xo 的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫(huà)出函數(shù)圖象進(jìn)行觀(guān)察可以得知, a的取值范 2.已知a, 筋血園匍餃謝禍嗚蔬囲恿迢
16、陋廚曲 b, c依次是方程 a, b, 答案：acb ZHINHNG JIAHCB (1) 17 / 17 解析：選 B 當(dāng)x0時(shí)，只需把y = 2x的圖象在y軸 右側(cè)的部分向下平移 1 個(gè)單位即可，故大致圖象為 B.18 / 17 n n 2.函數(shù)y=啞1 x| x log 2 | x| 解析：選 C 由于 9 | 1 log 2 | x| d ，所以函數(shù)y = z. log 2 | x| x 是奇 曰*函數(shù)，其圖象關(guān) 于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)當(dāng)x0 時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可知函數(shù)圖象先增后減，結(jié)合選項(xiàng)可知選 C. 3. (2013 太原模擬)已知函數(shù) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x) = 3
17、x + m(m 為常數(shù))，則函數(shù) 解析：選 B 由函數(shù)f (x)是定義在 R 上的奇函數(shù)知，函數(shù) f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)且關(guān)于原 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故可排除 得 m= 1,即當(dāng) A C,由f(x)在0,+)上為增函數(shù)，可排除 D,由題意知，f(0) = 0, x 一 x x0 時(shí)，f (x) = 3 1;設(shè) x0, f (x) = f( x) = (3 1) =3x+ 1.故 f(x)= 3x 1 x 0, I x . 4.已知函數(shù)y = f(x)與y= g(x)的圖象如圖所示，則函數(shù) y = f(x) g(x)的圖象可能是 解析：選 A 觀(guān)察圖象可知，y = f(x)有兩個(gè)零點(diǎn) 的大致圖象是( 19 /
18、 17 X1 = , X2=2,且 y= g(x)在 x = 0 時(shí)，函數(shù)值不存在，所以函數(shù) y= f(x) g(x)在x= 0 時(shí)，函數(shù)值也不存在，故可以排除選20 / 17 當(dāng) 4 三kX11 時(shí)，f(X2) f(x( X2 xi)ab B.少 ba C. acb D. bac 解析：選 D 由題意得f(x +1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則f (x)的圖象關(guān)于x= 1 對(duì)稱(chēng), 滿(mǎn)足 f (x) = f (2 x)，二 a= f 2 = f |2 .又由已知得 f(x)在(1 ,+s)上為減函數(shù)， f (2) f j| f(3)，即 bac. 6.設(shè)函數(shù)f(x)才 x x, x0, =2, 1.
19、5 = 1，若直線(xiàn) y= k(x + 1)( k0)與函數(shù)y = f (x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn), 的取值范圍是( A. B. 0, D. ， 解析: 選 D 依題意作出函數(shù)f(x) =x x， f x +1 x 0, x0 的圖象如圖所示，貝U a + b+ c= _ 21 / 17 將其坐標(biāo)代入可得 c=1, 1 13 所以 a+ b+ c= 2 + 2 + -=. 3 3 答案：亍 & (2013 鹽城模擬)若關(guān)于x的不等式 2 x2|x a|至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，則實(shí)數(shù) a的 取值范圍是 _ . 解析：在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù) f (x) = 2 x2, g(x) = | xa| 的圖象，
20、如圖所示.若 aw 0,則其臨界情況為折線(xiàn) g(x) = |x a| 與拋物線(xiàn) f (x) = 2 x2 相切，由 2 x2 = x a 可得 x2 + x a 2=0, 9 由 = 1 + 4(a+ 2) = 0,解得a=;若a0,則其臨界情況 4 為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為(0,2)，此時(shí)a = 2.結(jié)合圖象可知，實(shí)數(shù) a的取值范圍是 一 4, 2 . _ _ 2 9.已知函數(shù) y = f(x)( x R)滿(mǎn)足 f (x +1) = f (x-1)，且 x 1,1時(shí)，f (x) = x ,貝 U 函數(shù)y= f (x)與y = log 5X的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 _ . 解析：根據(jù)f(x+ 1) =
21、f(x 1)，得f (x) = f(x+ 2)，則函數(shù)f(x)是以 2 為周期的函數(shù)， 分別作出函數(shù)y = f(x)與y = log 5X的圖象(如圖)，可知函數(shù)y=f(x)與y= log 5X的圖象的交 點(diǎn)個(gè)數(shù)為 4. 答案：4 三、解答題(本大題共 3 小題，每小題 12 分，共 36 分) 10 .已知函 數(shù) f (x) = x| m-x|( x R)，且 f (4) = 0. 求實(shí)數(shù)m的值; 作出函數(shù)f (x)的圖象;解析：由圖象可求得直線(xiàn)的方程為 又函數(shù)y = log c x+ 9 的圖象過(guò)點(diǎn) (0,2) 9 22 / 17 (3) 根據(jù)圖象指出f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間； 根據(jù)圖象寫(xiě)
22、出不等式f(x)0 的解集; 求當(dāng) x 1,5)時(shí)函數(shù)的值域. 解：(1) f(4) = 0 , 4|mn 4| = 0, 即 m= 4. (2) f(x) = x|4 -x| x x 4 x 2 2 4, x4, x x 4 x 2 + 4, x0 的解集為x|0 x4. (5) T f(5) = 54, 由圖象知，函數(shù)在1,5)上的值域?yàn)?,5). 11當(dāng)x (1,2)時(shí)，不等式(x 1)2logax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 2 解：設(shè) f (x) = (x 1) , g(x) = log ax, 在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出 f (x)與g(x)的圖象， 要使x (1,2)時(shí)，不等式(x
23、1)2log ax恒成立，只需函數(shù)f (x)的圖象在g(x)的圖象下 方即可. 當(dāng) 0a1 時(shí)，如圖，使 x (1,2)時(shí)，不等式(x 1)2log ax恒成立，只需f(2) g(2), 即(2 1)2log a2,解得 1a2. 綜上可知，11 時(shí)，T2n,當(dāng) o|a|2n . 1 a| 經(jīng)觀(guān)察圖中的振幅 A與周期的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)， A 中 0a2n , B中，a1, T2 n , C 中, a= 0，故 D 不正確. 3.作出下列函數(shù)的圖象. 2 (1) y = |x 2|( x+ 1) ; (2)y= |x 2|x| 3|. O 2 * I) 2.已知a是實(shí)數(shù)，則函數(shù) 25 / 17 解：(1)函數(shù)化為禺 26 / 17 圖象如圖(1)所示. 2 2 (2) y= x 2x y= x 2|x 2x = f (x) . f (x)疋奇
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