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第一節(jié) 函數(shù)及其表示
考點(diǎn)一
函數(shù)的定義域
[例1] (1)(2014南昌模擬)函數(shù)f(x)=的定義域是( )
A. B.
C. D.
(2)已知函數(shù)f(x2-1)的定義域?yàn)閇0,3],則函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)開_______.
[自主解答] (1)由題意得解得x>-且x≠1.[來源:]
(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x2-1)的定義域?yàn)閇0,3],所以-1≤x2-1≤8,故函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-1,8].
[答案] (1)D (2)[-1,8]
【互動(dòng)探究】
本例(2)改為:f(x
2、)的定義域?yàn)閇0,3],求y=f(x2-1)的定義域.
解:因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇0,3],所以0≤x2-1≤3,即1≤x2≤4,解得1≤x≤2或-2≤x≤-1,故函數(shù)y=f(x2-1)的定義域?yàn)閇-2,-1]∪[1,2].
【方法規(guī)律】
1.簡單函數(shù)定義域的求法
求函數(shù)的定義域,其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含運(yùn)算有意義為準(zhǔn)則,列出不等式或不等式組,然后求出它們的解集即可.
2.抽象函數(shù)的定義域
(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b],則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a,b],則f(x)的定
3、義域?yàn)間(x)在x∈[a,b]時(shí)的值域.
1.(2014廣州模擬)如果函數(shù)f(x)=ln(-2x+a)的定義域?yàn)?-∞,1),則實(shí)數(shù)a的值為( )[來源:]
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析:選D ∵-2x+a>0,∴x<,∴=1,∴a=2.
2.已知f(x)的定義域是[0,4],則f(x+1)+f(x-1)的定義域是________.
解析:由f(x)的定義域?yàn)閇0,4],得解得1≤x≤3,即函數(shù)f(x+1)+f(x-1)的定義域?yàn)閇1,3].
答案:[1,3]
考點(diǎn)二
求函數(shù)解析式
[例2] (1)已知f(2x+1
4、)=4x2+2x+1,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是二次函數(shù),且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式;
(3)已知f(x)滿足2f(x)+f=3x,求f(x)的解析式.
[自主解答] (1)令t=2x+1,則x=(t-1),
所以,f(t)=42+2(t-1)+1=(t-1)2+(t-1)+1=t2-t+1.
即f(x)=x2-x+1.
(2)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(0)=0,知c=0,f(x)=ax2+bx.
又f(x+1)=f(x)+x+1,
所以a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,
即ax
5、2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1.
所以所以a=b=.
因此f(x)=x2+x.
(3)由2f(x)+f=3x,得2f+f(x)=.
由得f(x)=2x-(x≠0).
【方法規(guī)律】
求函數(shù)解析式的常用方法
(1)配湊法:由已知條件f(g(x))=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表達(dá)式.
(2)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),則可用待定系數(shù)法.
(3)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式,可用換元法,此時(shí)要注意新元的取值范圍.
(4)解方程組法:已知關(guān)于f(x)與f或f(-x
6、)的表達(dá)式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組,通過解方程組求出f(x).
求下列兩個(gè)函數(shù)的解析式:
(1)f(+1)=x+2;
(2)定義在(-1,1)內(nèi),且函數(shù)f(x)滿足2f(x)-f(-x)=lg(x+1).
解:(1)法一:設(shè)t=+1,則x=(t-1)2(t≥1).
代入原式,有
f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.
∴f(x)=x2-1(x≥1).
法二:∵x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1,
∴f(+1)=(+1)2-1(+1≥1),
即f(x)=x2-1(x≥1).
(2)當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),
7、
有2f(x)-f(-x)=lg(x+1),①
以-x代替x得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).②
由①②消去f(-x),得
f(x)=lg(x+1)+lg(1-x),x∈(-1,1).
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)三 分 段 函 數(shù)
1.分段函數(shù)是一類重要的函數(shù),是高考的命題熱點(diǎn),多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn),試題難度不大,多為容易題或中檔題.
2.高考對分段函數(shù)的考查主要有以下幾個(gè)命題角度:
(1)已知分段函數(shù)解析式,求函數(shù)值(或最值);
(2)已知分段函數(shù)解析式與方程,求參數(shù)的值;
(3)已知分段函數(shù)解析式,求解不等式;
(4)已知分段函數(shù)解析式,判斷
8、函數(shù)的奇偶性;
(5)新定義運(yùn)算,分段函數(shù)與方程的交匯問題.
[例3] (1)(2012江西高考)函數(shù)f(x)=則f(f(10))=( )
A.lg 101 B.2
C.1 D.0
(2)(2014青島模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是( )
A.[-1,2] B.[0,2]
C.[1,+∞) D.[0,+∞)
(3)已知實(shí)數(shù)a≠0,函數(shù)f(x)=若f(1-a)=f(1+a),則a的值為________.
[自主解答] (1)f(10)=lg 10=1
9、,f(f(10))=f(1)=12+1=2.
(2)當(dāng)x≤1時(shí),21-x≤2,解得x≥0,
又因?yàn)閤≤1,所以0≤x≤1;
當(dāng)x>1時(shí),1-log2x≤2,解得x≥,
又因?yàn)閤>1,所以x>1.
故x的取值范圍是[0,+∞).
(3)①當(dāng)1-a<1,即a>0時(shí),1+a>1,由f(1-a)=f(1+a),得2(1-a)+a=-(1+a)-2a,
解得a=-(舍去);
②當(dāng)1-a>1,即a<0時(shí),1+a<1,
由f(1-a)=f(1+a),得2(1+a)+a=-(1-a)-2a,
解得a=-,符合題意.
綜上所述,a=-.
[答案] (1)B (2)D (3)-
10、分段函數(shù)問題的常見類型及解題策略
(1)求函數(shù)值.弄清自變量所在區(qū)間,然后代入對應(yīng)的解析式,求“層層套”的函數(shù)值,要從最內(nèi)層逐層往外計(jì)算.
(2)求函數(shù)最值.分別求出每個(gè)區(qū)間上的最值,然后比較大?。?
(3)解不等式.根據(jù)分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定,代入相應(yīng)的解析式求解,但要注意取值范圍的大前提.
(4)求參數(shù).“分段處理”,采用代入法列出各區(qū)間上的方程.
(5)奇偶性.利用奇函數(shù)(偶函數(shù))的定義判斷.
1.(2014南平模擬)定義ab=設(shè)函數(shù)f(x)=ln xx,則f(2)+f=( )
A.4ln 2 B.-4ln 2
C.2
11、 D.0-[來源:]
解析:選D 由題意可得f(x)=所以f(2)+f=2ln 2+2ln=0.
2.(2014永州模擬)設(shè)Q為有理數(shù)集,函數(shù)f(x)=g(x)=,則函數(shù)h(x)=f(x)g(x)( )
A.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)
B.是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)
C.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)
D.既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)
解析:選A 當(dāng)x∈Q時(shí),-x∈Q,∴f(-x)=f(x)=1;當(dāng)x∈?RQ時(shí),-x∈?RQ,∴f(-x)=f(x)=-1.
綜上,對?x∈R,都有f(-x)=f(x),故函數(shù)f(x)為偶函數(shù).
∵g(-x)===-=-g(x),
∴函數(shù)g(x)為奇函數(shù),[
12、來源:]
∴h(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)(-g(x))=-f(x)g(x)=-h(huán)(x),
∴函數(shù)h(x)=f(x)g(x)是奇函數(shù).
又因?yàn)閔(1)=f(1)g(1)=,h(-1)=f(-1)g(-1)=1=,∴h(-1)≠h(1),
∴函數(shù)h(x)不是偶函數(shù).
綜上可知,h(x)是奇函數(shù)但不是偶函數(shù).
3.(2014日照模擬)已知函數(shù)f(x)=2x-,且g(x)=則函數(shù)g(x)的最小值是________.
解析:因?yàn)間(x)=所以函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,0)上單調(diào)遞減,故函數(shù)g(x)的最小值為g(0)=20-=0.
答案:0[來源:]
13、———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————
4個(gè)準(zhǔn)則——函數(shù)表達(dá)式有意義的準(zhǔn)則
函數(shù)表達(dá)式有意義的準(zhǔn)則一般有:(1)分式中的分母不為0;(2)偶次根式的被開方數(shù)非負(fù);(3)y=x0要求x≠0;(4)對數(shù)式中的真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不等于1.
4種方法——函數(shù)解析式的求法
求函數(shù)解析式常用的方法有:(1)配湊法;(2)待定系數(shù)法;(3)換元法;(4)解方程組法.具體內(nèi)容見例2[方法規(guī)律].
4個(gè)注意點(diǎn)——求函數(shù)定義域應(yīng)注意的問題
(1)如果沒有特別說明,函數(shù)的定義域就是能使解析式有意義的所有實(shí)數(shù)x的集合.
(2)不要對解析式進(jìn)行化簡變形,以免定義域發(fā)生變化.
(3)當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí),定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合.
(4)定義域是一個(gè)集合,要用集合或區(qū)間表示,若用區(qū)間表示數(shù)集,不能用“或”連接,而應(yīng)該用并集符號(hào)“∪”連接.
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