高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三章 ：第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例突破熱點題型

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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 高頻考點 考點一 測量距離問題　　 1．測量距離問題是高考的?？純?nèi)容，既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中，屬中檔題． 2．高考對此類問題的考查常有以下兩個命題角度：[來源:] (1)測量問題；[來源:] (2)行程問題． [例1]　(1)(2011上海高考)在相距2千米的A，B兩點處測量目標(biāo)C，若∠CAB＝75，∠CBA＝60，則A，C兩點之間的距離是________千米． (2)(2013江蘇高考) 如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿

2、索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量，cos A＝，cos C＝. ①求索道AB的長； ②問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？ ③為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ [自主解答]　(1)如圖，∠C＝180－60－75＝45. 由正弦定理＝，得AC＝AB＝2＝ 千米． (2)①在△AB

3、C中，因為cos A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝. 從而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝. 由正弦定理＝， 得AB＝sin C＝＝1 040 m. 所以索道AB的長為1 040 m. ②假設(shè)乙出發(fā)t min后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(100＋50t) m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2130t(100＋50t)＝200(37t2－70t＋50)， 因0≤t≤，即0≤t≤8，故當(dāng)t＝ min時，甲、乙兩游客距離最短．

4、 ③由正弦定理＝， 得BC＝sin A＝＝500 m. 乙從B出發(fā)時，甲已走了50(2＋8＋1)＝550 m，還需走710 m才能到達(dá)C. 設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在，(單位：m/min)范圍內(nèi)． [答案]　(1) 測量距離問題的常見類型及解題策略 (1)測量問題．首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解． (2)行程問題．首先根據(jù)題意畫出圖形，建立三角函數(shù)模型，然后運用正、余弦定理求解． 1

5、． 如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B望對岸的標(biāo)記物C，測得∠CAB＝30，∠CBA＝75，AB＝120 m，則這條河的寬度為________． 解析：∵∠CAB＝30，∠CBA＝75，∴∠ACB＝75，∴AB＝AC， ∴河寬為AC＝60 m. 答案：60 m 2.如圖，某觀測站C在城A的南偏西20的方向，從城A出發(fā)有一條走向為南偏東40的公路，在C處觀測到距離C處31 km的公路上的B處有一輛汽車正沿公路向A城駛?cè)?，行駛?0 km后到達(dá)D處，測得C，D兩處的距離為21 km，這時此車距離A城多少千米？ 解：在△BCD中，BC＝31 km，BD＝20 km，CD＝2

6、1 km，由余弦定理得cos∠BDC＝＝＝－，所以cos∠ADC＝，sin∠ADC＝， 在△ACD中，由條件知CD＝21 km，A＝60， 所以sin∠ACD＝sin(60＋∠ADC)＝＋＝.[來源:] 由正弦定理＝，所以AD＝＝15 km， 故這時此車距離A城15千米. 考點二 測量高度問題 　[來源:數(shù)理化網(wǎng)] [例2]　某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40 m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0，求塔高． [自主解答]　如圖所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD＝40 m，此時∠DBF＝45.過點B作BE⊥CD于E，則∠AEB＝

7、30. 在△BCD中，CD＝40 m，∠BCD＝30，∠DBC＝135， 由正弦定理，得＝， 則BD＝＝20. ∠BDE＝180－135－30＝15. 在Rt△BED中， BE＝BDsin 15＝20＝10(－1) m. 在Rt△ABE中，∠AEB＝30， 則AB＝BEtan 30＝(3－) m. 故塔高為(3－)米． 【互動探究】 在本例條件下，若該人行走的速度為6 km/h，則該人到達(dá)測得仰角最大的地方時，走了幾分鐘？ 解：設(shè)該人走了x m時到達(dá)測得仰角最大的地方，則xtan 30＝(40－x)tan 15， 即＝＝tan 15＝tan(45－30)＝2－3.

8、解得x＝10(3－)． 又v＝6 km/h＝100 m/min， 故所用時間t＝＝ min. 即該人到達(dá)測得仰角最大的地方時，走了 分鐘．　　　　 【方法規(guī)律】 解決高度問題的注意事項 (1)在解決有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角)是一個關(guān)鍵． (2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯． (3)高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，若是空間的問題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合． 如圖，在山頂

9、鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角為α＝60，在塔底C處測得A處的俯角為β＝45，已知鐵塔BC部分的高為24 m，則山高CD＝________m. 解：由已知條件可得tan∠BAD＝，tan∠CAD＝，則tan ∠BAC＝tan(60－45)＝＝＝＝＝2－，解得CD＝(36＋12) m. 答案：36＋12 考點三 測量角度問題 　 [例3]　某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小

10、時與輪船相遇． (1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由． [自主解答]　(1)法一：設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，則 S＝ ＝＝ ， 故當(dāng)t＝時，Smin＝10，v＝＝30 海里/小時， 即小艇以30 海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最?。? 法二：若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向．設(shè)小艇與輪船在C處相遇，如圖所示． 在Rt△OAC中，OC＝2

11、0cos 30＝10，AC＝20sin 30＝10，又AC＝30 t，OC＝vt，故t＝＝，v＝＝30 海里/小時． 即小艇以30 海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最?。? (2) 設(shè)小艇與輪船在B處相遇，如圖所示則[來源:] v2t2＝400＋900t2－22030tcos(90－30)， 即v2＝900－＋. ∵0＜v≤30，∴900－＋≤900， 即－≤0，解得t≥. 又t＝時，v＝30. 故v＝30時，t取得最小值，且最小值等于. 此時，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可設(shè)計航行方案如下： 航行方向為北偏東30，航行速度為30海里/小時，這樣

12、，小艇能以最短時間與輪船相遇． 【方法規(guī)律】 解決測量角度問題的注意事項 (1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義． (2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步． (3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用． 如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cos θ的值． 解：如題中圖所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝1

13、20，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120＝2 800?BC＝20. 由正弦定理，得＝?sin∠ACB＝sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝. 由θ＝∠ACB＋30，得cos θ＝cos(∠ACB＋30)＝cos∠ACBcos 30－sin∠ACBsin 30＝. ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個步驟——解三角形應(yīng)用題的一般步驟 　 2種情形——解三角形應(yīng)用題的兩種情形 　(1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解． 2個注意點——解三角形應(yīng)用題應(yīng)注意的問題 　(1)畫出示意圖后要注意尋找一些特殊三角形，如等邊三角形、直角三角形、等腰三角形等，這樣可以優(yōu)化解題過程． (2)解三角形時，為避免誤差的積累，應(yīng)盡可能用已知的數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))，少用間接求出的量． 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品