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第一節(jié) 函數(shù)及其表示
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1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念.
2.在實際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析式法)表示函數(shù).
3.了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應用.
1.函數(shù)的概念
一般地,設A,B是兩個非空數(shù)集,如果按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)與之對應;那么就稱:f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作y=f(x),x∈A.
2.函數(shù)的三要素
函數(shù)由定義域、值域、對應關系三個要素構(gòu)成,對函
2、數(shù)y=f(x),x∈A,其中
(1)定義域:自變量x的取值范圍.
(2)值域:函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}.
3.函數(shù)的表示方法
表示函數(shù)的常用方法有:解析式法、圖象法、列表法.
4.分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域內(nèi),對于自變量的不同取值區(qū)間,有著不同的對應法則,這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)雖然由幾部分組成,但它表示的是一個函數(shù).
5.映射的概念
設A、B是兩個非空的集合,如果按照確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y和x對應,那么就稱對應f:A→B叫做從集合A到集合B的一個映射.
1.函數(shù)概念中的“集合A、B”與映射概念
3、中的“集合A、B”有什么區(qū)別?
提示:函數(shù)概念中的A、B是兩個非空數(shù)集,而映射中的集合A、B是兩個非空的集合即可.
2.函數(shù)是一種特殊的映射,映射一定是函數(shù)嗎?
提示:不一定.
3.已知函數(shù)f(x)與g(x).[來源:]
(1)若它們的定義域和值域分別相同,則f(x)=g(x)成立嗎?
(2)若它們的定義域和對應關系分別相同,則f(x)=g(x)成立嗎?
提示:(1)不成立;(2)成立.
1.下列各圖形中是函數(shù)圖象的是( )
解析:選D 由函數(shù)的定義可知選項D正確.[來源:]
2.下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是( )
A.f(x)=|x|,g(x)=
4、B.f(x)=,g(x)=()2
C.f(x)=,g(x)=x+1
D.f(x)=,g(x)=
解析:選A 對于A,g(x)==|x|,且定義域相同,所以A項表示同一函數(shù);對于B、C、D,函數(shù)定義域都不相同.[來源:]
3.(2013江西高考)函數(shù)y= ln(1-x)的定義域為( )
A.(0,1) B.[0,1)
C.(0,1] D.[0,1]
解析:選B 要使函數(shù)y=ln(1-x)有意義,需即0≤x<1.
4.(2014青島模擬)設函數(shù)f(x)=則f的值為________.
解析:由題易知,f(2)=4,=,故f=
5、f=1-2=.
答案:
5.(教材習題改編)A={x|x是銳角},B=(0,1),從A到B的映射是“求余弦”,與A中元素60相對應的B中的元素是________;與B中元素相對應的A中的元素是________.
解析:當x=60時,y=cos 60=;當x∈(0,90),cos x=時,x=30.
答案: 30
數(shù)學思想(一)
分類討論在分段函數(shù)中的應用
由于分段函數(shù)在不同定義區(qū)間上具有不同的解析式,在處理分段函數(shù)問題時應對不同的區(qū)間進行分類求解,然后整合,這恰好是分類討論的一種體現(xiàn).
[典例] (2014西城模擬)設函數(shù)f(x)=若f(-2)=f(0),f(-1)=-3
6、,則方程f(x)=x的解集為________.[來源:]
[解題指導] 本題可由條件f(-2)=f(0)及f(-1)=-3求出f(x)的解析式,但在解方程f(x)=x時應分x≤0和x>0兩種情況討論.
[解析] 當x≤0時,f(x)=x2+bx+c,因為f(-2)=f(0),f(-1)=-3,則解得
故f(x)=
當x≤0時,由f(x)=x,得x2+2x-2=x,
解得x=-2或x=1(1>0,舍去).
當x>0時,由f(x)=x,得x=2.
所以方程f(x)=x的解集為{-2,2}.
[答案] {-2,2}
[題后悟道] 解決分段函數(shù)問題的關鍵是“對號入座”,即根據(jù)自變量取值的范圍,準確確定相應的對應法則,代入相應的函數(shù)解析式,轉(zhuǎn)化為一般的函數(shù)在指定區(qū)間上的問題,解完之后應注意檢驗自變量取值范圍的應用.總之,解決分段函數(shù)的策略就是“分段函數(shù),分段解決”,亦即應用分類討論思想解決.
設函數(shù)f(x)=若f(a)+f(-1)=2,則a= ( )
A.-3 B.3 [來源:]
C.-1 D.1
解析:選D 因為f(-1)==1,所以f(a)=1,當a≥0時,=1,所以a=1;當a<0時,=1,所以a=-1.
故a=1.
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