高考數(shù)學復習：第七章 ：第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)回扣主干知識提升學科素養(yǎng)

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1、△+△2019年數(shù)學高考教學資料△+△ 第五節(jié)　直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 【考綱下載】 1．能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關性質(zhì)和判定定理． 2．能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關空間圖形的位置關系的簡單命題．理解直線與平面所成的角、二面角的概念． [來源:數(shù)理化網(wǎng)] 1．直線與平面垂直 (1)直線和平面垂直的定義 直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直． (2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理 [來源:] 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 一條直線與一個平面

2、內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 ?l⊥α 性質(zhì)定理 垂直于同一個平面的兩條直線平行 ?a∥b 2.直線與平面所成的角 (1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．如圖所示，∠PAO就是斜線AP與平面α所成的角． (2)線面角θ的范圍：θ∈. 3．二面角的有關概念 (1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角． 4．平面與平面垂直的判定定理 文字語言

3、 圖形語言 符號語言 判定定理 一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直 ?α⊥β 性質(zhì)定理 兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直 ?l⊥α 　　 1．若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那另一條與此平面是否垂直？ 提示：垂直． 2．如果兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線一定平行嗎？ 提示：不一定．可能平行、相交或異面． 3．垂直于同一平面的兩平面是否平行？ 提示：不一定．可能平行，也可能相交． 4．垂直于同一條直線的兩個平面一定平行嗎？[來源:] 提示：平行．可由線面垂直的性質(zhì)及面面平行的判定定理推導出

4、． 1．(教材習題改編)給出下列四個命題： ①垂直于同一平面的兩條直線相互平行； ②垂直于同一平面的兩個平面相互平行； ③若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行； ④若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，那么這條直線垂直于這個平面． 其中真命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B　①④正確． 2．已知直線a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，則b與α的位置關系為(　　) A．b?α B．b∥α C．b?α或b∥α D．b與α相交

5、解析：選C　∵a⊥b，a⊥α，∴b∥α或b?α. 3．(教材習題改編)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB、PC，PA、AC、BD，則一定互相垂直的平面有(　　) A．8對 B．7對 C．6對 D．5對 解析： 選B　由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7對． 4．已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的____

6、____條件(填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”)． 解析：設α∩β＝l，則當m?α，且m⊥l時，有m⊥β，否則m不垂直β，故α⊥β ?/ m⊥β；反之，若m?α，m⊥β，則α⊥β. 答案：必要不充分 5.如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為________． 解析：∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC. 又BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC， ∴BC⊥平面PAC， ∴BC⊥PC. 故△PAB，△PAC，△BAC，△BCP都是直角三角形． 答案：4 答題模板(五) 空間位置關

7、系的證明 [典例]　(2013浙江高考) (15分)如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝，PA＝，∠ABC＝120，G為線段PC上的點． (1)證明：BD⊥平面APC；[來源:] (2)若G為PC的中點，求DG與平面APC所成的角的正切值； (3)若G滿足PC⊥平面BGD，求的值． [快速規(guī)范審題] 第(1)問 1．審結(jié)論，明解題方向 觀察所求結(jié)論，證明BD⊥平面APC證明BD與平面APC內(nèi)的兩相交直線垂直或證明BD所在的平面與平面APC垂直，且BD與交線垂直． 2．審條件，挖解題信息 觀察條件，AB＝BC，AD＝CD，

8、PA⊥平面ABCD，線面垂直的判定定理,BD⊥平面APC. 3．建聯(lián)系，找解題突破口 AB＝BC，AD＝CDBD⊥AC，PA⊥平面ABCD線面垂直的判定定理,BD⊥平面APC. 第(2)問 1．審結(jié)論，明解題方向 觀察所求結(jié)論，DG與平面APC所成的角的正切值射影定理,DG與平面APC所成的角． 2．審條件，挖解題信息 觀察條件，AB＝BC＝2，∠ABC＝120余弦定理,AC＝2比例關系,OC＝勾股定理,OD＝2. 3．建聯(lián)系，找解題突破口 在Rt△OGD中三角函數(shù)定義,tan∠OGD＝. 第(3)問[來源:] 1．審結(jié)論，明解題方向 觀察所求結(jié)論，PG、GC的值．

9、2．審條件，挖解題信息 觀察條件，PC⊥平面BGDOG?平面BGD,PC⊥OG勾股定理,PC的值． 3．建聯(lián)系，找解題突破口 PC⊥平面BGDOG?平面BGD,PC⊥OG勾股定理,PC的值 GC的值―→的值． [準確規(guī)范答題] (1)證明：設點O為AC與BD的交點． 由AB＝BC，AD＝CD，得BD是線段AC的中垂線， 所以O為AC的中點，BD⊥AC. ?2分 又因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD. 又PA∩AC＝A，PA，AC?平面APC， 所以BD⊥平面APC.

10、 ?4分 (2)連接OG.由(1)可知，OD⊥平面APC， 則DG在平面 APC內(nèi)的射影為OG， 所以∠OGD是DG與平面APC所成的角． ?5分 由題意得OG＝PA＝. 在△ABC中，AC＝ ＝ ＝2， 所以OC＝AC＝. ?7分 在Rt△OCD中，OD＝＝＝2. 在Rt△OGD中，tan ∠OGD＝＝.

11、 所以DG與平面APC所成的角的正切值為. ?10分 (3)因為PC⊥平面BGD，OG?平面BGD，所以PC⊥OG.在Rt△PAC中，PC＝＝＝， 所以GC＝＝＝. ?13分 從而PG＝，所以＝. ?15分 [答題模板速成] 證明空間線面位置關系的一般步驟： 第一步　審清題意 分析條件，挖掘題目中平行與垂直關系 第二步　明確方向 確定問題方向，選擇證明平行或垂直的方法，必要時添加輔助線 第三步　給出證明 利用平行垂直關系的判定或性質(zhì)給出問題的證明 第四步　反思回顧 查看關鍵點、易漏點，檢查使用定理時定理成立的條件是否遺漏，符號表達是否準確 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品