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1、第8章完備度量空間(簡介)
§ 8.1 度量空間的完備化
定義8.1.1 設(shè)(X, p )是一個度量空間.X中的一個序列如果對于任意給定
的實數(shù)& >0,存在整數(shù)N>0,使得當i,j>N時，有 ,則稱序列；；■：■ 是一 一個
Cauchy 序列.
如果X中的每一個Cauchy序列都收斂，則稱度量空間(X, p )是一個完備的度量空間
易見度量空間中的每一個收斂序列都是 Cauchy序列,但反之不然.
例8.1.1 實數(shù)空間R是一個完備的度量空間.(證略)
有理數(shù)集Q作為實數(shù)空間R的度量子空間卻不是完備度量空間，因為任何一個在R中收
斂于無
2、理數(shù)的有理數(shù)序列在這個子空間中均不收斂. (完備性不可遺傳)
完備性也不是一個拓撲不變性質(zhì).
例我們在R中引入一個新的度量 d,其定義為：
容易驗證d確實是R中的一個度量，并且與R的通常度量P等價.因此實數(shù)集合R在這 兩個不同的度量之下，恒同映射是一個同胚.(即(R, p )與(R,d)是同胚空間).然而(R, p )
是一個完備度量空間，而(R,d)卻不是.因為其中的序列 ''■■'''I是一個Cauchy序列，然而卻
不收斂.
v “ N丄
驗證如下
時.（設(shè) i<j）,
丫" u,取 s ,則當 i,j
3、>N
J _ J
i _ J
1訃丨1+丨川
1" 1 + j
所以，* ；二是個Cauchy序列?但對于任意取定的
x,取 i=x+p,p>x 時
(1 + x)(l + x + p)
> (\ + x) 2p
是個確定的數(shù)?即不論你取定怎樣的 x,當i比2x大時,x、i的距離總是大于固定的數(shù)
]
[ + 這說明■ 是不收斂于x的.
定理8.1.1 完備度量空間中的每一個閉的度量子空間都是完備度量空間. (閉遺
傳)
引理8.1.2 設(shè)(X, p )是一個度量空間 鳥—二?如果Y中的每一個Cauchy序列都
在X
4、中收斂，則Y的閉包J中的每一個Cauchy序列也都在X中收斂.
推論8.1.3 設(shè)(X, p )是一個度量空間.Y是X的一個稠密子集?如果 Y中的每一 個Cauchy序列都在X中收斂，則X是一個完備度量空間.
定理8.1.4 n維歐氏空間^和Hilbert空間H都是完備度量空間.
定義8.1.2 設(shè)(X, p )和(Y,d)是兩個度量空間,f: X t Y.如果對于任意 x,y €X有
d(f(x),f(y))= p (x,y),則稱映射f是一個保距映射，如果存在一個從 X到Y(jié)的滿的保距映射 則稱度量空間(X, p )與度量空間(Y,d)同距.
定義8.1.3
設(shè)X是一個度量空間，
5、X*是一個完備度量空間. 如果X與X*的一個稠密的 度量子空間同距，則稱完備度量空間 X*是度量空間X的一個完備化.
定理8.1.5 每一個度量空間都有完備化.
定理8.1.6 每一個度量空間的任意兩個完備化同距.
§ 8.2 度量空間的完備性與緊致性
定義8.2.1 設(shè)(X, p )是一個度量空間，£ >0是一個實數(shù).X的有限子集A稱為一個&
網(wǎng),如果對于任何x€X有p (x,A)< £ .如果對于任何實數(shù) & >0,X有一個£網(wǎng),則稱度量空
間 (X, p ) 是完全有界的．
一個度量空間是完全有界明顯蘊涵著它是有界的．反之不然 , 例如包含著無限多個點的 離散度量空間是有界的但不是完全有界的
定理8.2.1 設(shè)(X, p )是一個度量空間,則(X, p )是緊致的當且僅當(X, p )是一個 完全有界的完備度量空間．
《點集拓撲學(xué)》第8章完備度量空間
