金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專(zhuān)題整合突破 專(zhuān)題三 三角函數(shù)與解三角形 第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) Word版含解析

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1、 專(zhuān)題三　三角函數(shù)與解三角形 第一講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 必記公式] 1．三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù) y＝sinx y＝cosx y＝tanx 圖象 單 調(diào) 性 在－＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)上單調(diào)遞增；在＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)上單調(diào)遞減 在－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減 在－＋kπ，＋kπ (k∈Z)上單調(diào)遞增 對(duì) 稱(chēng) 性 對(duì)稱(chēng)中心： (kπ，0)(k∈Z)； 對(duì)稱(chēng)軸： x＝＋kπ(k∈Z) 對(duì)稱(chēng)中心： (k∈Z)； 對(duì)稱(chēng)軸： x＝kπ(k∈Z)

2、 對(duì)稱(chēng)中心： (k∈Z) 2.三角函數(shù)的兩種常見(jiàn)圖象變換 重要結(jié)論] 1．三角函數(shù)的奇偶性 (1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)是奇函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)，是偶函數(shù)?φ＝kπ＋(k∈Z)； (2)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)是奇函數(shù)?φ＝kπ＋(k∈Z)，是偶函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)； (3)函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)是奇函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)． 2．三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性 (1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得； (2)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸由ωx＋φ＝k

3、π(k∈Z)解得，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得； (3)函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心由ωx＋φ＝(k∈Z)解得． 失分警示] 1．忽視定義域 求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值(值域)以及作圖象等問(wèn)題時(shí)，要注意函數(shù)的定義域． 2．重要圖象變換順序 在圖象變換過(guò)程中，注意分清是先相位變換，還是先周期變換．變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長(zhǎng)度和方向． 3．忽視A，ω的符號(hào) 在求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意A和ω的符號(hào)，若ω<0，需先通過(guò)誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化為正的．

4、4．易忽略對(duì)隱含條件的挖掘，擴(kuò)大角的范圍導(dǎo)致錯(cuò)誤． 考點(diǎn)　三角函數(shù)的定義域、值域(最值)　　 典例示法 典例1　　(1)20xx·合肥一模]函數(shù)y＝lg (2sinx－1)＋的定義域是________． 解析]　由題意，得即 首先作出sinx＝與cosx＝表示的角的終邊(如圖所示)． 由圖可知劣弧和優(yōu)弧的公共部分對(duì)應(yīng)角的范圍是，2kπ＋(k∈Z)． 所以函數(shù)的定義域?yàn)?k∈Z)． 答案]　(k∈Z) (2)已知函數(shù)f(x)＝－sin＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R. ①求f(x)的最小正周期； ②求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解

5、]?、賔(x)＝－sin2x－cos2x＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝2sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. ②由①知f(x)＝2sin. 因?yàn)閤∈， 所以2x－∈， 則sin∈. 所以f(x)在上最大值為2，最小值為－2. 1．三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解． 2．三角函數(shù)值域(最值)的三種求法 (1)直接法：利用sinx，cosx的值域． (2)化一法：化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫(xiě)出函數(shù)的值域(最值)．

6、 (3)換元法：把sinx或cosx看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題． 針對(duì)訓(xùn)練 20xx·天津高考]已知函數(shù)f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解　(1)由已知，有 f(x)＝－ ＝－cos2x ＝sin2x－cos2x＝sin. 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)解法一：因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，f＝－，f＝－，f＝.所以，f(x)在區(qū)間－，]上的最大值為，最小值為－. 解法二：由x∈得2x－∈，故當(dāng)2x－＝－，x＝－時(shí)，

7、f(x)取得最小值為－，當(dāng)2x－＝，x＝時(shí)，f(x)取最大值為. 考點(diǎn)　三角函數(shù)的性質(zhì)　　 典例示法 典例2　　20xx·山東棗莊質(zhì)檢]已知函數(shù)f(x)＝sin＋sin－2cos2，x∈R(其中ω＞0)． (1)求函數(shù)f(x)的值域； (2)若函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝－1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． 解]　(1)f(x)＝sinωx＋cosωx＋sinωx－cosωx－(cosωx＋1) ＝2－1 ＝2sin－1 由－1≤sin≤1， 得－3≤2sin－1≤1， 所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,1]． (2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)的

8、圖象和性質(zhì)可知， f(x)的周期為π，所以＝π，即ω＝2. 所以f(x)＝2sin－1， 再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (k∈Z)． 1．求解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)問(wèn)題的三種意識(shí) (1)轉(zhuǎn)化意識(shí)：利用三角恒等變換將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式． (2)整體意識(shí)：類(lèi)比y＝sinx的性質(zhì)，只需將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整體代入求解． ①令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得對(duì)稱(chēng)軸方程． ②令ωx＋φ＝kπ(k∈

9、Z)，可求得對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)． ③將ωx＋φ看作整體，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，注意ω的符號(hào)． (3)討論意識(shí)：當(dāng)A為參數(shù)時(shí)，求最值應(yīng)分情況討論A>0，A<0. 2．求解三角函數(shù)的性質(zhì)的三種方法 (1)求單調(diào)區(qū)間的兩種方法 ①代換法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ為常數(shù)，A≠0，ω＞0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，令ωx＋φ＝z，則y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得． ②圖象法：畫(huà)出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求其單調(diào)區(qū)間． (2)判斷對(duì)稱(chēng)中心與對(duì)稱(chēng)軸：利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱(chēng)軸一定經(jīng)過(guò)

10、圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)這一性質(zhì)，通過(guò)檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷． (3)三角函數(shù)周期的求法 ①利用周期定義． ②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為. ③利用圖象． 針對(duì)訓(xùn)練 1．20xx·湖南高考]已知ω＞0，在函數(shù)y＝2sinωx與y＝2cosωx的圖象的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為2，則ω＝________. 答案　 解析　由題意，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)間的最短距離即相鄰的兩交點(diǎn)間的距離，設(shè)相鄰的兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2＝(

11、x2－x1)2＋(y2－y1)2，其中|y2－y1|＝－(－)＝2，|x2－x1|為函數(shù)y＝2sinωx－2cosωx＝2sin的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離，恰好為函數(shù)最小正周期的一半，所以(2)2＝2＋(2)2，ω＝. 2．20xx·北京高考]設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f＝f＝－f，則f(x)的最小正周期為_(kāi)_______． 答案　π 解析　由f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f＝－f知，f(x)有對(duì)稱(chēng)中心，由f＝f知f(x)有對(duì)稱(chēng)軸x＝(＋π)＝π.記f(x)的最小正周期為T(mén)，則T≥－，即T

12、≥π.故π－＝＝，解得T＝π. 考點(diǎn)　三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用　　 典例示法 題型1　利用圖象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 典例3　　函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是(　　) A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， 解析]　從圖中讀出此函數(shù)的周期情況為T(mén)＝·＝－＝，所以ω＝2.又讀出圖中最高點(diǎn)坐標(biāo)為，代入解析式f(x)＝2sin(2x＋φ)，得到2＝2sin，所以2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，則φ＝2kπ－. 因?yàn)椋?lt;φ<，所以令k＝0，得到φ＝－，故選A. 答案]　A 題型2　函數(shù)

13、y＝Asin(ωx＋φ)的圖象變換 典例4　　20xx·山東高考]要得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需將函數(shù)y＝sin4x的圖象(　　) A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位 C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位 解析]　因?yàn)閥＝sin＝sin，所以只需將y＝sin4x的圖象向右平移個(gè)單位，即可得到函數(shù)y＝sin的圖象，故選B. 答案]　B 題型3　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用 典例5　　20xx·太原一模]已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若將其圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)的圖象

14、(　　) A．關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 解析]　∵f(x)的最小正周期為π，∴＝π，ω＝2，∴f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后得到g(x)＝sin＝sin的圖象，又g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， ∴－＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|<，∴<，∴k＝－1，φ＝－，∴f(x)＝sin，當(dāng)x＝時(shí)，2x－＝－，∴A，C錯(cuò)誤，當(dāng)x＝時(shí)，2x－＝，∴B正確，D錯(cuò)誤． 答案]　B 本例中條件不變，若平移后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則f(x)的圖象又關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱(chēng)？(　　) 答案　D 解析　g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則－

15、＋φ＝＋kπ，k∈Z，可求φ＝，∴f(x)＝sin，2x＋＝kπ，可得x＝－，令k＝1，則x＝，故選D. 1．函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋B的確定方法 2.三角函數(shù)圖象平移問(wèn)題處理策略 (1)看平移要求：首先要看題目要求由哪個(gè)函數(shù)平移得到哪個(gè)函數(shù)，這是判斷移動(dòng)方向的關(guān)鍵點(diǎn)． (2)看移動(dòng)方向：移動(dòng)的方向一般記為“正向左，負(fù)向右”，看y＝Asin(ωx＋φ)中φ的正負(fù)和它的平移要求． (3)看移動(dòng)單位：在函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)中，周期變換和相位變換都是沿x軸方向的，所以ω和φ之間有一定的關(guān)系，φ是初相，再經(jīng)過(guò)ω的壓縮，最后移動(dòng)的單位是. 3．研究三角函數(shù)圖象

16、與性質(zhì)的常用方法 (1)求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值及判斷三角函數(shù)的奇偶性，往往是在定義域內(nèi)，先化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，盡量化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后再求解． (2)對(duì)于形如y＝asinωx＋bcosωx型的三角函數(shù)，要通過(guò)引入輔助角化為y＝sin(ωx＋φ)，的形式來(lái)求． 全國(guó)卷高考真題調(diào)研] 1．20xx·全國(guó)卷Ⅱ]若將函數(shù)y＝2sin2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)稱(chēng)軸為(　　) A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z) C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z) 答案　B 解析　函數(shù)y＝2sin2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，

17、得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝2sin，令2＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以所求對(duì)稱(chēng)軸的方程為x＝＋(k∈Z)，故選B. 2．20xx·全國(guó)卷Ⅰ]函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 答案　D 解析　由圖象可知＋φ＝＋2mπ，＋φ＝＋2mπ，m∈Z，所以ω＝π，φ＝＋2mπ，m∈Z，所以函數(shù)f(x)＝cos＝cos的單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，即2k－<x<2k＋，k∈Z，故選D. 其它省市高考題借

18、鑒] 3．20xx·北京高考]將函數(shù)y＝sin圖象上的點(diǎn)P向左平移s(s>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P′.若P′位于函數(shù)y＝sin2x的圖象上，則(　　) A．t＝，s的最小值為 B．t＝，s的最小值為 C．t＝，s的最小值為 D．t＝，s的最小值為 答案　A 解析　因?yàn)辄c(diǎn)P在函數(shù)y＝sin的圖象上，所以t＝sin＝sin＝.又P′在函數(shù)y＝sin2x的圖象上，所以＝sin，則2＝2kπ＋或2＝2kπ＋，k∈Z，得s＝－kπ＋或s＝－kπ－，k∈Z.又s>0，故s的最小值為.故選A. 4．20xx·陜西高考]如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近

19、似滿(mǎn)足函數(shù)y＝3sin＋k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 答案　C 解析　由題圖可知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8. 5．20xx·湖南高考]將函數(shù)f(x)＝sin2x的圖象向右平移φ個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象．若對(duì)滿(mǎn)足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，則φ＝(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，滿(mǎn)足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨設(shè)此時(shí)y＝f(x)和y＝g(

20、x)分別取得最大值與最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此時(shí)|x1－x2|＝＝，又0<φ<，故φ＝，選D. 6．20xx·湖北高考]某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 (1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式； (2)將y＝f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)θ(θ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象．若y＝g(x)圖象的一

21、個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，求θ的最小值． 解　(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 且函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝5sin. (2)由(1)知f(x)＝5sin， 得g(x)＝5sin. 因?yàn)閥＝sinx的對(duì)稱(chēng)中心為(kπ，0)，k∈Z. 令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z. 由于函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z. 由θ>0可知，當(dāng)k＝1時(shí)，θ取得最小值. 一、選擇題 1．20

22、xx·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè)]下列函數(shù)中，以為最小正周期的奇函數(shù)是(　　) A．y＝sin2x＋cos2x B．y＝sin C．y＝sin2xcos2x D．y＝sin22x－cos22x 答案　C 解析　A中，y＝sin2x＋cos2x＝sin，為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)；B中，y＝sin＝cos4x，為偶函數(shù)，故B錯(cuò)；C中，y＝sin2xcos2x＝sin4x，最小正周期為且為奇函數(shù)，故C正確；D中，y＝sin22x－cos22x＝－cos4x ，為偶函數(shù)，故D錯(cuò)，選C. 2．20xx·唐山統(tǒng)考]將函數(shù)y＝cos2x－sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函

23、數(shù)為g(x)，則g(x)＝(　　) A．2sin2x B．－2sin2x C．2cos D．2sin 答案　A 解析　因?yàn)閥＝cos2x－sin2x＝2sin＝－2sin2x－，將其圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(x)＝－2sin＝－2sin(2x－π)＝2sin2x的圖象，所以選A. 3．20xx·武昌調(diào)研]已知函數(shù)f(x)＝2sin－1(ω＞0)的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合，則ω的最小值是(　　) A．3 B. C. D. 答案　A 解析　將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后得到圖象的函數(shù)解析式為2sin－1＝2sin－1，所以＝2kπ，k∈Z，

24、所以ω＝3k，k∈Z，因?yàn)棣兀?，k∈Z，所以ω的最小值為3，故選A. 4．20xx·沈陽(yáng)質(zhì)檢]某函數(shù)部分圖象如圖所示，它的函數(shù)解析式可能是(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝－cos 答案　C 解析　不妨令該函數(shù)解析式為y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)，由圖知A＝1，＝－＝，于是＝，即ω＝，是函數(shù)的圖象遞減時(shí)經(jīng)過(guò)的零點(diǎn)，于是×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ可以是，選C. 5．20xx·廣州模擬]已知sinφ＝，且φ∈，函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離等于，則f的值

25、為(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　由函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離等于，得到其最小正周期為π，所以ω＝2，f＝sin＝cosφ＝－＝－. 6．20xx·重慶測(cè)試]設(shè)x0為函數(shù)f(x)＝sinπx的零點(diǎn)，且滿(mǎn)足|x0|＋f＜33，則這樣的零點(diǎn)有(　　) A．61個(gè) B．63個(gè) C．65個(gè) D．67個(gè) 答案　C 解析　依題意，由f(x0)＝sinπx0＝0得，πx0＝kπ，k∈Z，x0＝k，k∈Z.當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，f＝sin＝sin＝－1，|x0|＋f＝|k|－1＜33，|k|＜34，滿(mǎn)足這樣條件的奇

26、數(shù)k共有34個(gè)；當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，f＝sin＝sin＝1，|x0|＋f＝|k|＋1＜33，|k|＜32，滿(mǎn)足這樣條件的偶數(shù)k共有31個(gè)．綜上所述，滿(mǎn)足題意的零點(diǎn)共有34＋31＝65個(gè)，選C. 二、填空題 7．函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)的部分圖象如圖所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)＝________. 答案　 解析　由題圖可知，＝－＝，則T＝π，ω＝2，又∵＝，∴f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)， 即sin＝1，得φ＝，∴f(x)＝sin. 而x1＋x2＝－＋＝，∴f(x1＋x2)＝f＝sin＝sin＝. 8．20xx·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè)]為得

27、到函數(shù)y＝sin的圖象，可將函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，或向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度(m，n均為正數(shù))，則|m－n|的最小值是________． 答案　 解析　由題意可知，m＝＋2k1π，k1為非負(fù)整數(shù)，n＝－＋2k2π，k2為正整數(shù)，∴|m－n|＝，∴當(dāng)k1＝k2時(shí)，|m－n|min＝. 9．20xx·湖南岳陽(yáng)質(zhì)檢]已知函數(shù)f(x)＝sin的圖象向左平移個(gè)單位后與函數(shù)g(x)＝sin的圖象重合，則正數(shù)ω的最小值為_(kāi)_______． 答案　 解析　將f(x)＝sin的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)f1(x)＝sin的圖象． 又f1(x)＝sin的圖象與g(x)＝

28、sinωx＋的圖象重合，故ωx＋ω＋＝2kπ＋ωx＋，k∈Z.所以ω＝12k－(k∈Z)．又ω＞0，故當(dāng)k＝1時(shí)，ω取得最小值，為12－＝. 三、解答題 10．20xx·山東高考]已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函數(shù)f(x)＝a·b，且y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)和點(diǎn). (1)求m，n的值； (2)將y＝f(x)的圖象向左平移φ(0＜φ＜π)個(gè)單位后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若y＝g(x)圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1，求y＝g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． 解　(1)由題意知f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.

29、因?yàn)閥＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)和， 所以 即解得 (2)由(1)知 f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin. 由題意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin. 設(shè)y＝g(x)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為(x0,2)， 由題意知x＋1＝1，所以x0＝0， 即到點(diǎn)(0,3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0,2)． 將其代入y＝g(x)得sin＝1， 因?yàn)?＜φ＜π，所以φ＝， 因此g(x)＝2sin＝2cos2x. 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z， 所以函數(shù)y＝g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z. 11．20xx·天津五區(qū)縣調(diào)考]已知函數(shù)f(x)＝

30、sinxcosx－cos2x＋(x∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)函數(shù)f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到g(x)的圖象，求函數(shù)y＝g(x)在x∈0，π]上的最大值及最小值． 解　(1)f(x)＝sinxcosx－cos2x＋＝sin2x－cos2x＝sin 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)函數(shù)f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位，得g(x)＝sin， 因?yàn)閤∈0，π]得：x－∈， 所以sin∈ 所以當(dāng)x＝0

31、時(shí)，g(x)＝sin有最小值－， 當(dāng)x＝時(shí)，g(x)＝sin有最大值1. 12．20xx·福建質(zhì)檢]已知函數(shù)f(x)＝sinxcosx＋cos2x. (1)若tanθ＝2，求f(θ)的值； (2)若函數(shù)y＝g(x)的圖象是由函數(shù)y＝f(x)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到，且g(x)在區(qū)間(0，m)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的最大值． 解　(1)因?yàn)閠anθ＝2， 所以f(θ)＝sinθcosθ＋cos2θ＝sinθcosθ＋(2cos2θ－1)＝sinθcosθ＋cos2θ－＝－＝－＝. (2)由已知得 f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin. 依題意，得g(x)＝sin， 即g(x)＝sin. 因?yàn)閤∈(0，m)，所以2x－∈. 又因?yàn)間(x)在區(qū)間(0，m)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以2m－≤，即m≤，故實(shí)數(shù)m的最大值為.