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1、精品資料·人教版初中數(shù)學(xué)
25.2 列舉法求概率
教學(xué)目標(biāo):
知識與技能目標(biāo):學(xué)習(xí)用列表法、畫樹形圖法計算概率,并通過比較概率大小作出合理的決策。
過程與方法目標(biāo),經(jīng)歷實驗、列表、統(tǒng)計、運算、設(shè)計等活動,學(xué)生在具體情境中分析事件,計算其發(fā)生的概率。滲透數(shù)形結(jié)合,分類討論,由特殊到一般的思想,提高分析問題和解決問題的能力。
情感與態(tài)度目標(biāo),通過豐富的數(shù)學(xué)活動,交流成功的經(jīng)驗,體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索和創(chuàng)造,體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,培養(yǎng)積極思維的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
教學(xué)重點:習(xí)運用列表法或樹形圖法計算事件的概率。
教學(xué)難點:能根據(jù)不同情況選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM行列舉,解決較復(fù)雜事件概率的
2、計算問題。
教學(xué)過程
1.創(chuàng)設(shè)情景,發(fā)現(xiàn)新知
教材是通過P151—P152的例5、例6來介紹列表法和樹形圖法的。
例5(教材P151):同時擲兩個質(zhì)地均勻的骰子,計算下列事件的概率:
(1) 兩個骰子的點數(shù)相同;(2) 兩個骰子的點數(shù)的和是9;(3) 至少有一個骰子的點數(shù)為2。
這個例題難度較大,事件可能出現(xiàn)的結(jié)果有36種。若首先就拿這個例題給學(xué)生講解,大多數(shù)學(xué)生理解起來會比較困難。所以在這里,我將新課的引入方式改為了一個有實際背景的轉(zhuǎn)盤游戲(前一課已有例2作基礎(chǔ))。
(1)創(chuàng)設(shè)情景
引例:為活躍聯(lián)歡晚會的氣氛,組織者設(shè)計了以下轉(zhuǎn)盤游戲:A、B兩個帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分成三個面
3、積相等的扇形,轉(zhuǎn)盤A上的數(shù)字分別是1,6,8,轉(zhuǎn)盤B上的數(shù)字分別是4,5,7(兩個轉(zhuǎn)盤除表面數(shù)字不同外,其他完全相同)。每次選擇2名同學(xué)分別撥動A、B兩個轉(zhuǎn)盤上的指針,使之產(chǎn)生旋轉(zhuǎn),指針停止后所指數(shù)字較大的一方為獲勝者,負(fù)者則表演一個節(jié)目(若箭頭恰好停留在分界線上,則重轉(zhuǎn)一次)。作為游戲者,你會選擇哪個裝置呢?并請說明理由。
1
6
8
A
4
5
7
B
圖2 聯(lián)歡晚會游戲轉(zhuǎn)盤
4、
【設(shè)計意圖】 選用這個引例,是基于以下考慮:以貼近學(xué)生生活的聯(lián)歡晚會為背景,創(chuàng)設(shè)轉(zhuǎn)盤游戲引入,能在最短時間內(nèi)激發(fā)學(xué)生的興趣,引起學(xué)生高度的注意力,進入情境。
(2)學(xué)生分組討論,探索交流
在這個環(huán)節(jié)里,首先要求學(xué)生分組討論,探索交流。然后引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,即:
“停止轉(zhuǎn)動后,哪個轉(zhuǎn)盤指針?biāo)笖?shù)字較大的可能性更大呢?”
由于事件的隨機性,我們必須考慮事件發(fā)生概率的大小。此時我首先引導(dǎo)學(xué)生觀看轉(zhuǎn)盤動畫,同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)這個游戲涉及A、B兩轉(zhuǎn)盤, 即涉及2個因素,與前一課所講授單轉(zhuǎn)盤概率問題(教材P148例2)相比,可能產(chǎn)生的結(jié)果數(shù)目增多
5、了,列舉時很容易造成重復(fù)或遺漏。怎樣避免這個問題呢?
實際上,可以將這個游戲分兩步進行。 于是,指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造表格
(3)指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造表格
A B
4
5
7
1
6
8
首先考慮轉(zhuǎn)動A盤:指針可能指向1,6,8三個數(shù)字中的任意一個,可能出現(xiàn)的結(jié)果就會有3個。接著考慮轉(zhuǎn)動B盤:當(dāng)A盤指針指向1時,B盤指針可能指向4、5、7三個數(shù)字中的任意一個,這是列舉法的簡單情況。當(dāng)A盤指針指向6或8時,B盤指針同樣可能指向4、5、7三個數(shù)字中的任意一個。一共會產(chǎn)生9種不同的結(jié)果。
【設(shè)計意圖】 這樣既分散了難點,又激發(fā)了學(xué)生興趣,滲透了轉(zhuǎn)
6、化的數(shù)學(xué)思想。
(4)學(xué)生獨立填寫表格,通過觀察與計算,得出結(jié)論(即列表法)
A B
4
5
7
1
(1,4)
(1,5)
(1,7)
6
(6,4)
(6,5)
(6,7)
8
(8,4)
(8,5)
(8,7)
從表中可以發(fā)現(xiàn):A盤數(shù)字大于B盤數(shù)字的結(jié)果共有5種。
∴P(A數(shù)較大)= , P(B數(shù)較大)=. ∴P(A數(shù)較大)> P(B數(shù)較大)
∴選擇A裝置的獲勝可能性較大。
在學(xué)生填寫表格過程中,注意向?qū)W生強調(diào)數(shù)對的有序性。
由于游戲是分兩步進行的,我們也可用其他的方法來列舉。即先轉(zhuǎn)動A盤,可能出現(xiàn)1,6,8三種結(jié)
7、果;第二步考慮轉(zhuǎn)動B盤,可能出現(xiàn)4,5,7三種結(jié)果。
1
6
8
開始
A裝置
4
5
7
4
5
7
4
5
7
B裝置
(5)解法二:
由圖知:可能的結(jié)果為: (1,4),(1,5),(1,7),
(6,4),(6,5),(6,7),
?。?,4),(8,5),(8,7)。共計9種。
∴P(A數(shù)較大)= , P(B數(shù)較大)=.
∴P(A數(shù)較大)> P(B數(shù)較大)
∴選擇A裝置的獲勝可能
8、性較大。
然后,引導(dǎo)學(xué)生對所畫圖形進行觀察:若將圖形倒置,你會聯(lián)想到什么?這個圖形很像一棵樹,所以稱為樹形圖(在幻燈片上放映)。列表和樹形圖是列舉法求概率的兩種常用的方法。
【設(shè)計意圖】自然地學(xué)生感染了分類計數(shù)和分步計數(shù)思想。
2.自主分析,再探新知
通過引例的分析,學(xué)生對列表法和樹形圖法求概率有了初步的了解,為了幫助學(xué)生熟練掌握這兩種方法,我選用了下列兩道例題(本節(jié)教材P151—P152的例5和例6)。
例1:同時擲兩個質(zhì)地均勻的骰子,計算下列事件的概率:
(1) 兩個骰子的點數(shù)相同;
(2) 兩個骰子的點數(shù)的和是9;
(3) 至少有一個骰子的點數(shù)為2。
例1是教材上一道“
9、擲骰子”的問題,有了引例作基礎(chǔ),學(xué)生不難發(fā)現(xiàn):引例涉及兩個轉(zhuǎn)盤,這里涉及兩個骰子,實質(zhì)都是涉及兩個因素。于是,學(xué)生通過類比列出下列表。
第2個
第1個
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5
10、,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
由上表可以看出,同時擲兩個骰子,可能出現(xiàn)的結(jié)果有36個,它們出現(xiàn)的可能性相等。由所列表格可以發(fā)現(xiàn):
(1)滿足兩個骰子的點數(shù)相同(記為事件A)的結(jié)果有6個,即(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),所以P(A)==。
[滿足條件的結(jié)果在表格的對角線上]
(2)滿足兩個骰子的點數(shù)的和是9(記為事件B)的結(jié)果有4個,即(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),所以P(B)==。
[滿足條件的結(jié)果在(3,6)和(
11、6,3)所在的斜線上]
(3)至少有一個骰子的點數(shù)為2(記為事件C)的結(jié)果有11個,所以P(C)=。
[滿足條件的結(jié)果在數(shù)字2所在行和2所在的列上]
接著,引導(dǎo)學(xué)生進行題后小結(jié):
當(dāng)一個事件要涉及兩個因素并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時,通常采用列表法。運用列表法求概率的步驟如下:
①列表 ;
②通過表格計數(shù),確定公式P(A)=中m和n的值;
③利用公式P(A)=計算事件的概率。
分析到這里,我會問學(xué)生:“例1題目中的“擲兩個骰子”改為“擲三個骰子”,還可以使用列表法來做嗎?”由此引出下一個例題。
例2: 甲口袋中裝有2個相同的球,它們分別寫有字母A和B;乙口袋中3個相同的球,
12、它們分別寫有字母C、D和E;丙口袋中2個相同的球,它們分別寫有字母H和I。從三個口袋中各隨機地取出1個球。
(1)取出的三個球上恰好有1個、2個和3個元音字母的概率分別為多少?
(2)取出的三個球上全是輔音字母的概率是多少?
例2與前面兩題比較,有所不同:要從三個袋子里摸球,即涉及到3個因素。此時同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)用列表法就不太方便,可以嘗試樹形圖法。
本游戲可分三步進行。分步畫圖和分類排列相關(guān)的結(jié)論是解題的關(guān)鍵。
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
甲
乙
丙
從圖形
13、上可以看出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12個,即:
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
H
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
B
C
I
(幻燈片上用顏色區(qū)分)
這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。
(1)只有一個元音字母的結(jié)果(黃色)有5個,即ACH,ADH,BCI,BDI,BEH,所以;
有兩個元音的結(jié)果(白色)有4個,即ACI,ADI,AEH,BEI,所以;
全部為元音字母的結(jié)果(綠色)只有1個,即AEI ,所以。
(2)全是輔音字母的結(jié)果(紅色)
14、共有2個,即BCH,BDH,所以。
通過例2的解答,很容易得出題后小結(jié):
當(dāng)一次試驗要涉及3個或更多的因素時,通常采用“畫樹形圖”。運用樹形圖法
求概率的步驟如下:(幻燈片)
①畫樹形圖 ;
②列出結(jié)果,確定公式P(A)=中m和n的值;
③利用公式P(A)=計算事件概率。
接著我向?qū)W生提問:到現(xiàn)在為止,我們所學(xué)過的用列舉法求概率分為哪幾種情況? 列表法和畫樹形圖法求概率有什么優(yōu)越性?什么時候使用“列表法”方便,什么時候使用“樹形圖法”更好呢?
【設(shè)計意圖】 通過對上述問題的思考,可以加深學(xué)生對新方法的理解,更好的認(rèn)識到列表法和畫樹形圖法求概率的優(yōu)越性在于能夠直觀、快捷、準(zhǔn)確地
15、獲取所需信息,有利于學(xué)生根據(jù)實際情況選擇正確的方法。
3.應(yīng)用新知,深化拓展
為了檢驗學(xué)生對列表法和畫樹形圖法的掌握情況,提高應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力,在此我選擇了教材P154課后練習(xí)作為隨堂練習(xí)。
(1)經(jīng)過某十字路口的汽車,它可能繼續(xù)前行,也可能向左或向右,如果這三種可能性大小相同。三輛汽車經(jīng)過這個十字路口,求下列事件的概率:
①三輛車全部繼續(xù)前行;
②兩輛車向右轉(zhuǎn),一輛車向左轉(zhuǎn);
③至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)。
[隨堂練習(xí)(1)是一道與實際生活相關(guān)的交通問題,可用樹形圖法來解決。]
(2)在6張卡片上分別寫有1——6的整數(shù),隨機地抽取一張后放回,再隨機地抽取一張,那么第二次取出
16、的數(shù)字能夠整除第一次取出的數(shù)字的概率是多少?
通過解答隨堂練習(xí)(2),學(xué)生會發(fā)現(xiàn)列出的表格和例1的表格完全一樣。不同的是:變換了實際背景,設(shè)置的問題也不一樣。這時,我提出:我們是否可以根據(jù)這個表格再編一道用列舉法求概率的題目來呢?
為了進一步拓展思維,我向?qū)W生提出了這樣一個問題,供學(xué)生課后思考:
在前面的引例中,轉(zhuǎn)盤的游戲規(guī)則是不公平的,你能把它改成一個公平的游戲嗎?
【設(shè)計意圖】 以上問題的提出和解決有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),做到舉一反三,融會貫通。
4.歸納總結(jié),形成能力
我將引導(dǎo)學(xué)生從知識、方法、情感三方面來談一談這節(jié)課的收獲。要求每個學(xué)生在組內(nèi)交流,派小組代表發(fā)言。
17、【設(shè)計意圖】 通過這個環(huán)節(jié),可以提高學(xué)生概括能力、表達能力,有助于學(xué)生全面地了解自己的學(xué)習(xí)過程,感受自己的成長與進步,增強自信,也為教師全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況、因材施教提供了重要依據(jù)。
5.布置作業(yè),鞏固提高
考慮到學(xué)生的個體差異,為促使每一個學(xué)生得到不同的發(fā)展,同時促進學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)進行反思,在第五個環(huán)節(jié)“布置作業(yè),鞏固提高”里作如下安排:
(1)必做題:書本P154/ 3,P155/ 4,5
(2)選做題:
①請設(shè)計一個游戲,并用列舉法計算游戲者獲勝的概率。
②研究性課題:通過調(diào)查學(xué)校周圍道路的交通狀況,為交通部門提出合理的建議等。
【設(shè)計意圖】 通過教學(xué)實踐作業(yè)和社會實踐活動,引導(dǎo)學(xué)生靈活運用所學(xué)知識,讓學(xué)生把動腦、動口、動手三者結(jié)合起來,啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,培養(yǎng)協(xié)作精神和科學(xué)的態(tài)度。