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1、
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高考大題專攻練
12.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(B組)
大題集訓(xùn)練，練就慧眼和規(guī)范，占領(lǐng)高考制勝點(diǎn)！
1.已知函數(shù)f(x)=ln(2ax+a2-1)-ln(x2+1)，其中a∈R. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)92494448
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)是否存在a的值，使得f(x)在[0，+∞)上既存在最大值又存在最小值？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】(1)f(x)=ln(2ax+a2-1)-ln(x2+1)
=ln.
設(shè)
2、g(x)=，g′(x)=-.
①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)無(wú)意義，所以a≠0.
②當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?
令g′(x)=0，得x1=-a，x2=，g(x)與g′(x)的情況如表：
x
(-∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，+∞)
g′(x)
-
0
+
0
-
g(x)
↘
g(x1)
↗
g(x2)
↘
-(-a)=>0，所以>-a.
-=-<0，所以<.
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
單調(diào)遞減區(qū)間是.
③當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?令g′(x)=0，得x1=-a，x2=，g(x)與g′(x)的情況如表：
x
(-
3、∞，x2)
x2
(x2，x1)
x1
(x1，+∞)
g′(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
g(x2)
↘
g(x1)
↗
-(-a)=<0，所以<-a.
-=->0，所以>.
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
單調(diào)遞減區(qū)間是.
(2)①當(dāng)a>0時(shí)，由(1)可知，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f(x)在[0，+∞)上存在最大值f=lna2.
下面研究最小值：
由于f(x)的定義域?yàn)?
(ⅰ)若≥0，即01時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)
4、遞增，
所以f(x)在上存在最小值f(0)；
因?yàn)閒(x)在上單調(diào)遞減，
所以f(x)在上不存在最小值.
所以，要使f(x)在[0，+∞)上存在最小值，
只可能是f(0)=ln(g(0)).
計(jì)算整理g(x)-g(0)=-(a2-1)
=.
要使f(x)在[0，+∞)上存在最小值，
只需x∈[0，+∞)，g(x)-g(0)≥0.
因?yàn)閤2+1>0，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x∈[0，+∞)時(shí)，(1-a2)x+2a≥0恒成立.
設(shè)h(x)=(1-a2)x+2a，則只需或
解得0≤a≤1，這與a>1相矛盾，
所以f(x)在[0，+∞)上沒(méi)有最小值，不合題意.
②當(dāng)a<0時(shí)，由于f(x
5、)的定義域?yàn)?
(ⅰ)若≤0，即-1≤a<0時(shí)，f(x)在[0，+∞)上沒(méi)有意義，也不存在最大值和最小值.
(ⅱ)若>0，即a<-1時(shí)，由(1)可知f(x)在上單調(diào)遞減，f(x)存在最大值，但不存在最小值.
綜上，不存在a的值，使得f(x)在[0，+∞)上既存在最大值又存在最小值.
2.已知函數(shù)f(x)=aex+(2-e)x(a為實(shí)數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線y=f(x)在x=0處的切線與直線(3-e)x-y+10=0平行. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)92494449
(1)求實(shí)數(shù)a的值，并判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，+∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)-1>xln(x+1
6、).
【解析】(1)f′(x)=aex+2-e，由題設(shè)，可知曲線y=f(x)在x=0處的切線的斜率k=f′(0)=a+2-e=3-e，解得a=1，
所以f(x)=ex+(2-e)x，
所以x≥0時(shí)，f′(x)=ex+2-e≥e0+2-e>0，
所以f(x)在區(qū)間[0，+∞)內(nèi)為增函數(shù)，
又f(0)=1>0，所以f(x)在區(qū)間[0，+∞)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn).
(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)-1>xln(x+1)等價(jià)于>ln(x+1)，記g(x)=ex-(x+1)，
則g′(x)=ex-1，當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)>0，
所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，
所以g(x)>g
7、(0)=0，即ex>x+1，兩邊取自然對(duì)數(shù)，得x>ln(x+1)(x>0)，
所以要證明>ln(x+1)(x>0)，只需證明≥x(x>0)，
即證明當(dāng)x>0時(shí)，ex-x2+(2-e)x-1≥0，①
設(shè)h(x)=ex-x2+(2-e)x-1，則h′(x)=ex-2x+2-e，
令φ(x)=ex-2x+2-e，
則φ′(x)=ex-2，當(dāng)x∈(0，ln2)時(shí)，φ′(x)<0；
當(dāng)x∈(ln2，+∞)時(shí)，φ′(x)>0.
所以φ(x)在區(qū)間(0，ln2)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln2，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，又φ(0)=3-e>0，φ(1)=0，00；
當(dāng)x∈(x0，1)時(shí)，φ(x)<0，所以h(x)在區(qū)間(0，x0)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(x0，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，
又h(0)=h(1)=0，所以h(x)=ex-x2+(2-e)x-1≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，取等號(hào)，即①式成立.
所以f(x)-1>xln(x+1).
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