高一數(shù)學人教A版必修1學業(yè)分層測評23 函數(shù)模型的應用實例 Word版含解析

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1、（人教版）精品數(shù)學教學資料 學業(yè)分層測評（二十三） 函數(shù)模型的應用實例 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(副)的函數(shù)解析式為y＝5x＋4 000，而手套出廠價格為每副10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為(　　) A．200副 B．400副 C．600副 D．800副 【解析】　由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日產(chǎn)手套至少800副時才不虧本． 【答案】　D 2．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為(　　) 【導學號：97

2、030143】 A. B. C. D.－1 【解析】　設年平均增長率為x，則有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2， 解得x＝－1. 【答案】　D 3．某種細胞在正常培養(yǎng)過程中，時刻t(單位：分)與細胞數(shù)n(單位：個)的部分數(shù)據(jù)如下表： t 0 20 60 140 n 1 2 8 128 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，推測繁殖到1 000個細胞時的時刻t最接近于(　　) A．200 B．220 C．240 D．260 【解析】　由表中數(shù)據(jù)可以看出，n與t的函數(shù)關(guān)系式為n＝2，令n＝1 000，則2＝1 000，而210＝1 024，所以繁殖到1 000個細胞時，時

3、刻t最接近200分鐘，故應選A. 【答案】　A 4．若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，設質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是(　　) A．y＝ B．y＝(0.957 6)100x C．y＝x D．y＝1－(0.042 4) 【解析】　設鐳一年放射掉其質(zhì)量的t%，則有95.76%＝1(1－t)100，t＝(0.957 6)， ∴y＝(1－t)x＝(0.957 6). 【答案】　A 5．根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)＝(A，c為常數(shù))．已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30 min，組裝第A件產(chǎn)品用時15 min，那么c和

4、A的值分別是(　　) A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16 【解析】　由題意知，組裝第A件產(chǎn)品所需時間為＝15，故組裝第4件產(chǎn)品所需時間為＝30，解得c＝60.將c＝60代入＝15，得A＝16. 【答案】　D 二、填空題 6．某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3 km(不超過3 km按起步價付費)；超過3 km但不超過8 km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8 km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了________km. 【解析】　設出租車行駛x

5、km時，付費y元， 則y＝ 由y＝22.6，解得x＝9. 【答案】　9 7．(2016深圳高一檢測)物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時間t后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta稱為環(huán)境溫度，h稱為半衰期．現(xiàn)有一杯用88 ℃熱水沖的速溶咖啡，放在24 ℃的房間中，如果咖啡降到40 ℃需要20分鐘，那么此杯咖啡從40 ℃降溫到32 ℃時，還需要________分鐘． 【解析】　設物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時間t后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta稱為環(huán)境溫度，h稱為半衰期．現(xiàn)有一杯用88 ℃熱水沖的速溶咖啡，放

6、在24 ℃的房間中，如果咖啡降到40 ℃需要20分鐘，可得Ta＝24，T0＝88，T＝40，可得：40－24＝(88－24)，解得h＝10，此杯咖啡從40 ℃降溫到32 ℃時，可得：32－24＝(40－24)，解得t＝10. 【答案】　10 8．(2016鄭州模擬)為了在“十一”黃金周期間降價促銷，某超市對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額：①如果不超過200元，則不予優(yōu)惠；②如果超過200元，但不超過500元，則按標價給予9折優(yōu)惠；③如果超過500元，其中500元按第②條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予7折優(yōu)惠．辛云和她母親兩次去購物，分別付款168元和423元，假設她們一次性購

7、買上述同樣的商品，則應付款額為________元． 【解析】　依題意，價值為x元商品和實際付款數(shù)f(x)之間的函數(shù)關(guān)系式為 f(x)＝ 當f(x)＝168時，由1680.9≈187<200，故此時x＝168；當f(x)＝423時，由4230.9＝470∈(200,500]，故此時x＝470.∴兩次共購得價值為470＋168＝638(元)的商品，∴5000.9＋(638－500)0.7＝546.6(元)，故若一次性購買上述商品，應付款額為546.6元． 【答案】　546.6 三、解答題 9．(2016西安模擬)如圖3210所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE＝4米

8、，CD＝6米．為合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個矩形BNPM，使點P在邊DE上． 圖3210 (1)設MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，求該函數(shù)的解析式及定義域； (2)求矩形BNPM面積的最大值． 【解】　(1)作PQ⊥AF于Q， 所以PQ＝(8－y)米， EQ＝(x－4)米． 又△EPQ∽△EDF， 所以＝，即＝. 所以y＝－x＋10， 定義域為{x|4≤x≤8}． (2)設矩形BNPM的面積為S平方米， 則S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50， S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其圖象開口向下，對稱軸為x＝10，所以當x∈[4,

9、8]時，S(x)單調(diào)遞增． 所以當x＝8米時，矩形BNPM的面積取得最大值，為48平方米． 10．有時可用函數(shù)f(x)＝描述學習某學科知識的掌握程度．其中x表示某學科知識的學習次數(shù)(x∈N*)，f(x)表示對該學科知識的掌握程度，正實數(shù)a與學科知識有關(guān). 【導學號：97030144】 (1)證明：當x≥7時，掌握程度的增長量f(x＋1)－f(x)總是下降； (2)根據(jù)經(jīng)驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區(qū)間分別為(115,121]，(121,127]，(127,133]．當學習某學科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應的學科． 【解】　(1)證明：當x≥7時，f(x＋1)－f(

10、x)＝， 而當x≥7時，函數(shù)y＝(x－3)(x－4)單調(diào)遞增，且(x－3)(x－4)＞0，故函數(shù)f(x＋1)－f(x)單調(diào)遞減，所以當x≥7時，掌握程度的增長量f(x＋1)－f(x)總是下降． (2)由題意可知0.1＋15ln ＝0.85，整理得＝e0.05， 解得a＝6＝20.506＝123,123∈(121,127]，由此可知，該學科是乙學科． [能力提升] 1．一個高為H，盛水量為V0的水瓶的軸截面如圖3211所示，現(xiàn)以均勻速度往水瓶中灌水，直到灌滿為止，如果水深h時水的體積為V，則函數(shù)V＝f(h)的圖象大致是(　　) 圖3211 【解析】　水深h越大，水的體積V就

11、越大，故函數(shù)V＝f(h)是一個增函數(shù)，一開始增長越來越快，后來增長越來越慢，圖象是先凹后凸的，曲線斜率是先增大后變小的． 【答案】　D 2．某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算，計算公式為y＝x∈N，其中，x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為(　　) 【導學號：97030145】 A．15 B．40 C．25 D．130 【解析】　若4x＝60，則x＝15＞10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿足題意；若1.5x＝60，則x＝40＜100，不合題意．故擬錄用人數(shù)為25人． 【答案】　C 3．某地區(qū)發(fā)生里氏8.0級特大地震

12、．地震專家對發(fā)生的余震進行了監(jiān)測，記錄的部分數(shù)據(jù)如下表： 強度(J) 1.61019 3.21019 4.51019 6.41019 震級(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4 注：地震強度是指地震時釋放的能量． 地震強度(x)和震級(y)的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y＝alg x＋b(其中a，b為常數(shù))．利用散點圖可知a的值等于________．(取lg 2＝0.3進行計算) 圖3212 【解析】　由記錄的部分數(shù)據(jù)可知 x＝1.61019時，y＝5.0， x＝3.21019時，y＝5.2. 所以5.0＝alg (1.61019)＋b，① 5．2＝alg (

13、3.21019)＋b，② ②－①得0.2＝alg ，0.2＝alg 2. 所以a＝＝＝. 【答案】　 4．某企業(yè)為打入國際市場，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn)，已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表：(單位：萬美元) 項目類別 年固定成本 每件產(chǎn)品成本 每件產(chǎn)品銷售價 每年最多可生產(chǎn)的件數(shù) A產(chǎn)品 20 m 10 200 B產(chǎn)品 40 8 18 120 其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，m是待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料決定，預計m∈[6,8]，另外，年銷售x件B產(chǎn)品時需上交0.05x2萬美元的特別關(guān)稅，假設生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當年銷售出

14、去． (1)求該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤y1，y2與生產(chǎn)相應產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出其定義域； (2)如何投資才可獲得最大年利潤？請設計相關(guān)方案． 【解】　(1)y1＝10x－(20＋mx)＝(10－m)x－20,0≤x≤200，且x∈N， y2＝18x－(8x＋40)－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40，0≤x≤120且x∈N. (2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，∴y1＝(10－m)x－20為增函數(shù)，又0≤x≤200，x∈N. ∴x＝200時，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤(10－m)200－20＝1 980－200m(萬美元)， y2＝－0.05x2＋10x－40＝－0.05(x－100)2＋4 60,0≤x≤120，x∈N. ∴x＝100時，生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤460(萬美元)， (y1)max－(y2)max＝1 980－200m－460＝1 520－200m， 當6≤m＜7.6時，(y1)max－(y2)max＞0， 當m＝7.6時，(y1)max－(y2)max＝0， 當7.6＜m≤8時，(y1)max－(y2)max＜0， ∴當6≤m＜7.6，投資A產(chǎn)品200件可獲得最大利潤， 當7.6＜m≤8，投資B產(chǎn)品100件可獲得最大利潤， m＝7.6生產(chǎn)A產(chǎn)品與B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤．