【世紀金榜】高三文科數(shù)學總復習專項強化訓練(二)三角函數(shù)與平面向量的綜合應用

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1、 溫馨提示： 此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。 專項強化訓練(二) 三角函數(shù)與平面向量的綜合應用 一、選擇題 1.(2015·濟寧模擬)已知向量a=(1,),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,則 tanθ=(　　) A. B. C.- D.- 【解析】選B.因為a∥b, 所以sinθ-cosθ=0, 即sinθ=cosθ.故tanθ=. 2.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量m=(2sin B,-), n=(cos2B,2co

2、s2-1),且m∥n,則銳角B的值為　(　　) A. B. C. D. 【解題提示】根據(jù)m∥n,轉化為B的三角函數(shù)值后求解. 【解析】選D.因為m∥n, 所以2sinB(2cos2-1)=-cos2B, 所以sin2B=-cos2B,即tan2B=-. 又因為B為銳角,所以2B∈(0,π). 所以2B=,所以B=. 3.(2015·臨沂模擬)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),則a與b一定滿足(　　) A.a與b的夾角等于α-β B.a⊥b C.a∥b D.(a+b)⊥(a-b) 【解題提示】欲求a與b滿

3、足的關系,先利用平面向量數(shù)量積公式,判斷a與b是否有垂直或者平行的關系,再結合選項判斷. 【解析】選D.因為a·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(α-β),這表明這兩個向量的夾角的余弦值為cos(α-β). 同時,也不能得出a與b的平行和垂直關系. 因為計算得到(a+b)·(a-b)=0, 所以(a+b)⊥(a-b). 故選D. 4.已知a=,b=(cosθ,sinθ),θ∈(0,π),則|a-b|的取值范圍 是(　　) A.(0,1) B.(0,1] C.(0,) D.(0,] 【解析】選C.因為a-b=,

4、 所以|a-b|= = ==, 因為θ∈(0,π),所以∈,cos∈(0,1). 故|a-b|∈(0,). 5.(2015·鄭州模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,cosC=,·=-2且a+b=5,則c等于(　　) A. B. C.4 D. 【解題提示】由已知cosC=,·=-2,利用數(shù)量積公式得到ab=8,再利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC可求c. 【解析】選A.由已知cosC=,·=-2, 得b·a·cos(π-C)=-2?b·a·cos

5、C=2, 所以ab=8, 利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5. 所以c=. 故選A. 二、填空題 6.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m∥n,m⊥p,則△ABC的形狀是　　　　. 【解題提示】利用向量關系轉化為邊角關系后,再邊化角可解. 【解析】由m∥n可得,b=2ccosA. 由正弦定理可得sinB=2sinCcosA, 即sin(A+C)=2sinCcosA. 從而sinAcosC+cosAs

6、inC=2sinCcosA, 故sinAcosC-cosAsinC=0. 即sin(A-C)=0,又-π<A-C<π, 所以A-C=0,即A=C. 由m⊥p可得c-2bcosA=0, 從而sinC-2sinBcosA=0, 故sin(A+B)-2sinBcosA=0. 即sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B. 所以A=B=C. 故三角形為等邊三角形. 答案:等邊三角形 7.(2015·銀川模擬)已知正三角形OAB中,點O為原點,點B的坐標是(-3,4),點A在第一象限,向量m=(-1,0),記向量m

7、與向量的夾角為α,則sinα的值為　　　　. 【解析】設向量與x軸正向的夾角為β,則α+β=π+=,且有sinβ=, cosβ=-,sinα=sin(π-α)=sin=sinβ-cosβ=×-×=. 答案: 8.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2cos2cosB-sin(A-B)sinB+ cos(A+C)=-,若a=4,b=5,則在方向上的投影為　　　　. 【解題提示】利用已知條件先轉化求得cosA,再利用正余弦定理可解. 【解析】由2cos2cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-,得[cos(A-B)+1]

8、cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-, 即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-. 則cos(A-B+B)=-, 即cosA=-. 由0<A<π,得sinA=, 由正弦定理,有=, 所以,sinB==. 由題知a>b,則A>B,故B=, 根據(jù)余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×, 解得c=1或c=-7(舍去). 故向量在方向上的投影為||cosB=. 答案: 三、解答題 9.(2015·晉中模擬)已知向量a=(sin x,),b=(cos x,-1). (1)若(a+b)⊥(a

9、-b),求cos2x的值. (2)若a∥b,求cos2x-sin2x的值. 【解析】(1)因為(a+b)⊥(a-b), a+b=(sin x+cos x,-), a-b=(sin x-cos x,), 所以(a+b)·(a-b)=sin2x-cos2x-=0, 即cos2x=-. (2)因為a∥b, 所以-sin x-cos x=0, 即tan x=-, 所以cos2x-sin2x= == =. 10.已知向量a=（sin(x+),sin x）,b=(cos x,-sin x),函數(shù)f(x)=m(a·b+sin2x),m為正實數(shù). (1)求函數(shù)f

10、(x)的最小正周期及單調遞減區(qū)間. (2)將函數(shù)f(x)的圖象的縱坐標保持不變,橫坐標擴大到原來的兩倍,然后再向右平移個單位得到y(tǒng)=g(x)的圖象,試探討:當x∈[0,π]時,函數(shù)y=g(x)與y=1的圖象的交點個數(shù). 【解析】(1)f(x)=m(a·b+sin2x) =m[sin(x+)cos x-sin2x+sin2x] =m(cos2x-sin2x+sin2x) =2msin(2x+). 由m>0知,函數(shù)f(x)的最小正周期T=π. 又2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z), 解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z). 所以函數(shù)的遞減區(qū)間是[kπ+,kπ+](k∈

11、Z). (2)將函數(shù)f(x)的圖象橫坐標擴大到原來的兩倍, 得y=2msin(x+), 再向右平移個單位, 得y=2msin[(x-)+], 所以:g(x)=2msin x. 由0≤x≤π及m>0得0≤g(x)≤2m, 所以當0<m<時,y=g(x)與y=1無交點. 當m=時,y=g(x)與y=1有唯一公共點, 當m>時,y=g(x)與y=1有兩個公共點. 11.(2015·保定模擬)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC-),且m⊥n. (1)求A的大小.

12、(2)現(xiàn)給出下列四個條件:①a=1;②b=2sinB;③2c-(+1)b=0;④B=45°.試從中再選擇兩個條件以確定△ABC,求出你所確定的△ABC的面積. 【解析】(1)因為m⊥n, 所以-cosBcosC+sinBsinC-=0, 即cosBcosC-sinBsinC=-,cos(B+C)=-, 因為A+B+C=180°, 所以cos(B+C)=-cosA, 所以cosA=,又0°<A<180°, 所以A=30°. (2)選擇①③可確定△ABC. 因為A=30°,a=1,2c-(+1)b=0, 由

13、余弦定理12=b2+-2b·bcos30°, 整理得b2=2,b=,c=. 所以S△ABC=bcsinA=××× =. 【一題多解】(2)選擇①④可確定△ABC. 因為A=30°,a=1,B=45°, 所以C=105°. 因為sin105°=sin(60°+45°) =sin60°cos45°+cos60°sin45°=, 由正弦定理=, 得b===, 所以S△ABC=absinC=×1××=.

14、 12.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),其中0<α<x<π. (1)若α=,求函數(shù)f(x)=b·c的最小值及相應x的值. (2)若a與b的夾角為,且a⊥c,求tan2α的值. 【解析】(1)因為b=(cosx,sinx), c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα), α=,所以f(x)=b·c =cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα =2sinxcosx+(sinx+cosx). 令t=sinx+cosx,

15、 則2sinxcosx=t2-1,且-1<t<. 則y=t2+t-1=-, -1<t<, 所以t=-時,ymin=-, 此時sinx+cosx=-, 即sin=-, 因為<x<π,所以<x+<π, 所以x+=π,所以x=. 所以函數(shù)f(x)的最小值為-, 相應x的值為. (2)因為a與b的夾角為, 所以cos= =cosαcosx+sinαsinx =cos(x-α). 因為0<α<x<π,所以0<x-α<π, 所以x-α=. 因為a⊥c,所以cosα(sinx+2sinα)+sinα(cosx+2cosα)=0, 所以sin(x+α)+2sin2α=0, 即sin+2sin2α=0. 所以sin2α+cos2α=0, 所以tan2α=-. 關閉Word文檔返回原板塊