萬變不離其宗：高中數(shù)學課本典例改編之必修二、三：專題六 概率 Word版含解析

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1、 一、題之源：課本基礎知識 1．概率與頻率 (1)在相同的條件S下重復n次試驗,觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率． (2)對于給定的隨機事件A,由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)． 2．事件的關系與運算 定義 符號表示 包含關系 如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B?A(或A?B) 相等關系 若B?A且A?B,那么稱事件A與事件B相等 A＝B 并事

2、件(和事件) 若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(積事件) 若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B為不可能事件,那么稱事件A與事件B互斥 A∩B＝? 對立事件 若A∩B為不可能事件,A∪B為必然事件,那么稱事件A與事件B互為對立事件 A∩B＝?且A∪B＝Ω 3.概率的幾個基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1． (2)必然事件的概率：P(A)＝1． (3)不可能事件的概率：P(A)＝

3、0． (4)概率的加法公式 如果事件A與事件B互斥,則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)對立事件的概率 若事件A與事件B互為對立事件,則A∪B為必然事件．P(A∪B)＝1,P(A)＝1－P(B)． 4．基本事件的特點 (1)任何兩個基本事件都是互斥的． (2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)． 5．古典概型 (1)特點： ①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個,即有限性． ②每個基本事件發(fā)生的可能性相等,即等可能性． (2)概率公式： P(A)＝． 6．幾何概型 如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣

4、的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型． 7．幾何概型的概率公式 P(A)＝ 二、題之本：思想方法技巧 1.概率與頻率的關系 (1)頻率是一個隨機數(shù),在試驗前是不能確定的. (2)概率是一個確定數(shù),是客觀存在的,與試驗次數(shù)無關. (3)頻率是概率的近似值,隨著試驗次數(shù)的增加,頻率一般會越來越接近概率,因而概率是頻率的穩(wěn)定值. 2.互斥事件、對立事件的判定方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件是兩個不可能同時發(fā)生的事件； ②對立事件首先是互斥事件,且必有一個發(fā)生. (2)利用集合的觀點來判斷 設事件A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A,B, ①事件A與B互斥,即集合A

5、∩B＝?； ②事件A與B對立,即集合A∩B＝?,且A∪B＝I(全集),也即A＝?IB或B＝?IA； ③對互斥事件A與B的和A＋B,可理解為集合A∪B. 3.求復雜的互斥事件的概率的方法 一是直接法,將所求事件的概率分解為一些彼此互斥事件概率的和,運用互斥事件的求和公式計算；二是間接法,先求此事件的對立事件的概率,再用公式P(A)＝1－P(A),即運用逆向思維的方法(正難則反)求解,應用此公式時,一定要分清事件的對立事件到底是什么事件,不能重復或遺漏.特別是對于含“至多”“至少”等字眼的題目,用第二種方法往往顯得比較簡便. 4.古典概型是概率論中最簡單而又直觀的模型,在概率論的發(fā)展初期

6、曾是主要研究對象,許多概率的運算法則都是在古典概型中得到證明的(遂謂之“古典”).要判斷一個試驗是否為古典概型,只需要判斷這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性和等可能性. 5.求古典概型的概率 (1)對于事件A的概率的計算,關鍵是要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m.因此必須解決以下三個方面的問題：第一,本試驗是否是等可能的；第二,本試驗的基本事件數(shù)有多少個；第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少個. (2)如果基本事件的個數(shù)比較少,可用列舉法把古典概型試驗所含的基本事件一一列舉出來,然后再求出事件A中的基本事件數(shù),利用公式P(A)＝求出事件A的概率,這是一個形象直

7、觀的好方法,但列舉時必須按照某一順序做到不重不漏. (3)如果基本事件個數(shù)比較多,列舉有一定困難時,也可借助兩個計數(shù)原理及排列組合知識直接計算m,n,再運用公式P(A)＝求概率. (4)較為簡單的問題可以直接使用古典概型概率公式計算,較為復雜的概率問題的處理方法有： ①轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解； ②采用間接法,先求事件A的對立事件A的概率,再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率. 6.幾何概型是古典概型的補充和推廣,它要求隨機試驗的基本事件空間包含無窮多個元素,每個基本事件由在幾何空間(一維、二維、三維)中的某一區(qū)域G內(nèi)隨機而取的點的位置來確定；而“基本事

8、件發(fā)生或出現(xiàn)是等可能的”這一要求,兩種概率模型是高度統(tǒng)一的. 7.高考對與長度有關的幾何概型的考查主要有以下四個命題角度： (1)與線段長度有關的幾何概型； (2)與時間有關的幾何概型； (3)與不等式有關的幾何概型； (4)與距離有關的幾何概型． 8.解決幾何概型問題,注意把握好以下幾點： (1)能正確區(qū)分古典概型與幾何概型. 例1：在區(qū)間上任意取一個整數(shù)x,則x不大于3的概率為________. 例2：在區(qū)間上任意取一個實數(shù)x,則x不大于3的概率為________. 例1的基本事件總數(shù)為有限個11,不大于3的基本事件有4個,此為古典概型,故所求概率為.例2的基本事件總數(shù)

9、為無限個,屬于幾何概型,所求概率為. (2)準確分清幾何概型中的測度. 例1：在等腰Rt△ABC中,∠C＝90,在直角邊BC上任取一點M,求∠CAM＜30的概率. 例2：在等腰Rt△ABC中,∠C＝90,在∠CAB內(nèi)過點A作射線交線段BC于點M,求∠CAM＜30的概率. 例1中的測度定性為線段長度,當∠CAM0＝30,CM0＝AC＝CB.滿足條件的點M等可能的分布在線段CM0上,故所求概率等于＝.例2中的測度定性為角度,過點A作射線與線段CB相交,這樣的射線有無數(shù)條,均勻分布在∠CAB內(nèi),∠CAB＝45.所以所求概率等于＝＝. (3)科學設計變量,數(shù)形結(jié)合解決問題. 例1：某人

10、午覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機,想聽電臺整點報時,求他等待時間不多于10分鐘的概率. 例2：某人午覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了,求表停的分鐘數(shù)與實際分鐘數(shù)差異不超過5分鐘的概率. 例1是《必修3》P136的例題,此題中的變量(單變量)可看作是時間的長度,故所求概率為＝.例2容易犯解例1形成的定勢思維的錯誤,得到錯誤答案＝.原因在于沒有認清題中的變量,本題的變量有兩個：手表停的分鐘數(shù)和實際分鐘數(shù),都可取內(nèi)的任意時刻,故所求概率需用到面積型幾何概型,由|x－y|≤5結(jié)合線性規(guī)劃知識可解,所求概率為＝.通過這兩道例題我們也可以看出,單變量多用線型測度,多變量需用面積(或體積)型測度.在畫好幾何圖形后,

11、利用數(shù)形結(jié)合思想解題. 9.幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點的試驗,如果一個隨機試驗有無限多個等可能的基本結(jié)果,每個基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點來表示,而所有基本結(jié)果對應于一個區(qū)域Ω,這時,與試驗有關的問題可考慮利用幾何概型解決. 三、題之變：課本典例改編 1. 原題（必修3第127頁例3）改編 將一骰子拋擲兩次,所得向上點數(shù)分別為和,則函數(shù) 在上為增函數(shù)的概率是 . 【解析】本題考察了古典概型概率的求法及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識.易得函數(shù) 的

12、增區(qū)間為和,由已知可得,,故 .拋兩次的骰子的所有可能種數(shù)為36種,則滿足條件的有30種,所以所求概率為. 2. 原題（必修3第130頁練習第3題）改編 甲、乙兩校各有3名教師報名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名,寫出所有可能的結(jié)果,并求選出的2名教師性別相同的概率；(2)若從報名的6名教師中任選2名,寫出所有可能的結(jié)果,并求選出的2名教師來自同一學校的概率. 【解析】（1）從甲校和乙校報名的教師中各任選1名,所有可能的結(jié)果為（甲男1,乙男）、（甲男2,乙男）、（甲男1,乙女1）、（甲男1,乙女2）、（甲男2,乙女1）、（甲男2,乙女2）

13、、（甲女,乙女1）,(甲女,乙女2),（甲女,乙男）,共9種；選出的2名教師性別相同的結(jié)果有（甲男1,乙男）、（甲男2,乙男）、（甲女,乙女1）、（甲女,乙女2）共4種所以選出的2名教師性別相同的概率為 . 3. 原題（必修3第134頁習題3.2B組第3題）改編 假設每個人在任何一個月出生是等可能的,則三個人中至少有兩個人生日在同一個月的概率為 . 【解析】方法一：－；方法二：. 4. 原題（必修3第140頁例4）改編 如圖,直線與拋物線交于A、B兩點,分別作AC、BD垂直x軸于C、D兩點,從梯形ABDC中任取一點,則該點落在陰影部分的概率為_______

14、_；利用隨即模擬方法也可以計算圖中陰影部分面積,若通過1000次試驗產(chǎn)生了落在梯形ABDC內(nèi)的1000個點,則可估計落 在陰影部分內(nèi)的點的個數(shù)大約有________個. 5. 原題（必修3第140頁練習第1題）改編 如圖所示,墻上掛有邊長為a的正方形木板,它的四個角的空白部分都是以正方形的頂點為圓心,為半徑的圓弧與正方形的邊所圍成的.某人向此板投標,假設每次都能擊中木板,且擊中木板上每個點的可能性都一樣,則它擊中某人向此板投標,假設每次都能擊中木板,且擊中木板上每個點的可能性都一樣, 則它擊中陰影部分的概率是 . 【解析】本題考查幾何概型的概率的計算,因為正方形的面積為,而陰影部分的面積不易直接計算,所以先計算空白部分的面積為,從而得陰影部分的面積為.根據(jù)幾何概型的概率公式,可得 . 6. 原題（必修3第142頁習題3.3A組第3題）改編 一個路口的紅綠燈,紅燈的時間為30秒,黃燈的時間為5秒,綠燈的時間為40秒,當你到達路口時,不需要等待就可以過馬路的概率為 . 【解析】概率為.