文科 第六章 數(shù)列 第1節(jié) 等差數(shù)列與等比數(shù)列

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1、第6章 數(shù)列 第1節(jié) 等差數(shù)列與等比數(shù)列 題型70 等差、等比數(shù)列的通項及基本量的求解 1. (2013安徽文7）設(shè)為等差數(shù)列的前項和，，，則（ ）. A. B. C. D. 1.分析 借助等差數(shù)列前項和公式及通項公式的性質(zhì)，計算數(shù)列的公差，進(jìn)而得到的值. 解析 由等差數(shù)列性質(zhì)及前項和公式，得，所以. 又，所以公差，所以.故選A. 2. （2013遼寧文14）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是的前項和.若是方 程的兩個根，則 . 2. 解析：因為，是方程的兩個根，且數(shù)列是遞增

2、的等比數(shù)列，所 以，，，所以. 3. （2013四川文16）在等比數(shù)列中，，且為和的等差中項，求數(shù)列的首項、公比及前項和. 3．分析 由已知列出兩個含和的方程并求解，再借助等比數(shù)列求和公式得． 解析 設(shè)該數(shù)列的公比為． 由已知，得所以解得（舍去） 故首項，公比.所以數(shù)列的前項和. 4. （2013山東文20）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項和． 4.分析 （1）由于已知是等差數(shù)列，因此可考慮用基本量表示已知等式，進(jìn)而求 出的通項公式.（2）先求出，進(jìn)而求出的通項公式，再用錯位相減法求的 前項和. 解析 （1）

3、設(shè)等差數(shù)列的前項為，公差為. 由，，得 解得因此. （2）由已知， 當(dāng)時，； 當(dāng)時，.所以. 由（1）知，所以. 所以. . 兩式相減，得，所以. 5.（2013浙江19）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且成等比數(shù)列. （1）求，； （2）若，求 5.分析 （1）用把表示出來，利用成等比數(shù)列列方程即可解出， 進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項公式寫出.（2）根據(jù)（1）及確定數(shù)列的通項公式，確定 的符號，以去掉絕對值符號，這需要對的取值范圍進(jìn)行分類討論. 解析（1）由題意得，，由，為公差為的等差數(shù)

4、列得， ，解得或.所以或.（2）設(shè)數(shù)列的前項和為. 因為，由（1）得，，所以當(dāng)時， ； 當(dāng)時，. 綜上所述， 6.（2014重慶文2）在等差數(shù)列中，，則（ ）. 7.（2014江蘇7）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則的值是 ． 8.（2014新課標(biāo)Ⅰ文17）（本小題滿分12分） 已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根. （1）求的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和. 9. （2014山東文19）（本小題滿分12分） 在等差數(shù)列中，已知公差，是與的等比中項. （1）求數(shù)列的通項

5、公式； （2）設(shè)，記，求. 10.（2014福建文17）（本小題滿分12分） 在等比數(shù)列中，. （1）求； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項和. 11.（2014浙江文19）已知等差數(shù)列的公差，設(shè)的前項和為，，. （1）求及； （2）求的值，使得. 12.（2015北京文5）執(zhí)行如果所示的程序框圖，輸出的值為（ ）. A.3 B. 4 C.5 D.6 12.解析 解法一:執(zhí)行程序框圖， ，， ，， ，， ，， 輸出.故選B. 解法二：由算法圖知是一個以3為首項

6、，為公比的等比數(shù)列，即，解得. 13.（2015全國文7）已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則（ ）. A. B. C. D. 13.解析 解法一：由，，知， 解得.所以.故選B. 解法二：由，即，可得. 又公差，所以，即，解得. 則.故選B. 14.（2015全國1文13）在數(shù)列中，，為的前n項和.若，則 . 14.解析 由，得，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列. ，得. 15.（2015全國Ⅱ文9）已知等比數(shù)列滿足，，則（ ）. A.

7、 B. C. D. 15.解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)得，即，則 .所以有， 所以.故 .故選C. 16.（2015陜西文13）中位數(shù)為的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為，則該數(shù)列的 首項為________. 16.解析 若這組數(shù)有個，則，，又， 所以；若這組數(shù)有個，則，， 又，所以. 17.（2016江蘇8）已知是等差數(shù)列，是其前項和.若，，則的值是 . 17.20解析 設(shè)公差為，則由題意可得，解得，則. 18.（2016全國甲文17）等差數(shù)列中，，. （1）求的通項公式； （2）設(shè)，

8、求數(shù)列的前項和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，. 18.解析 （1），解得，所以（）. （2） . 19.（2017江蘇9）等比數(shù)列的各項均為實數(shù)，其前項的和為，已知，，則 ． 19.解析 解法一：由題意等比數(shù)列公比不為，由，因此，得． 又，得，所以．故填． 解法二（由分段和關(guān)系）：由題意，所以，即．下同解法一． 20.（2017全國1文17）記為等比數(shù)列的前項和.已知，. （1）求的通項公式； （2）求，并判斷，，是否成等差數(shù)列. 20.解析 （1）由題意設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為， 則，從而，即， 整理得，因此，所以， 數(shù)列的通項

9、公式為． （2）由（1）知， 因此 ． 所以，，成等差數(shù)列． 21.（2017全國2文17）已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，，，. （1）若，求的通項公式； （2）若，求. 21.解析 (1)設(shè)的公差為，的公比為. 由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式可得，解得， 故的通項公式為. (2)由(1)及已知得，解得或. 所以或. 22.（2017北京文15）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，． （1）求的通項公式； （2）求和：． 22解析 （1）設(shè)的公差為， ，所以，所以. （2） 設(shè)的公比為，=，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以. 題型71

10、 等差、等比數(shù)列的求和問題的拓展 1.（2013廣東文11） 設(shè)數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則 ． 1.分析 由首項和公比寫出等比數(shù)列的前項，然后代入代數(shù)式求值.也 可以構(gòu)造新數(shù)列，利用其前項和公式求解. 解析 方法一：. 方法二：因為，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故所求代數(shù)式的值為. 2.（2015安徽理13） 已知在數(shù)列中，，，則數(shù)列的 前9項和等于 . 2.解析 由題意可得，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列， 所以.又滿足上式，所以， 所以.所以. 題型72 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 1. （2013遼寧文4 ）

11、下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個命題： 數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列是遞增數(shù)列；數(shù)列是遞增數(shù)列； 其中的真命題為 A. B. C. D. 1.分析 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判定. 解析 因為，所以，所以是真命題．因為，但是的符號不知道，所以是假命題.同理是假命題． 由，所以是真命題．故選D. 2. （2013江西文12）某住宅小區(qū)計劃植樹不少于棵，若第一天植棵，以后每天植樹 的棵樹是前一天的倍，則需要的最少天數(shù)（）等于 . 2.解析 每天植樹的棵數(shù)構(gòu)成以為首項，為公比的

12、等比數(shù)列，其前項和 .由，得.由于， 則，即. 3. （2013江蘇14） 在正項等比數(shù)列中，，，則滿足 的最大正整數(shù)的值為 . 3. 分析 首先由已知條件求出的公比與首項，然后根據(jù)求和公式和通項公式將不等式的 兩邊求出，用表示，得到關(guān)于的不等式，然后對不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求得的取值范圍并 進(jìn)行估算和驗證，從而得到的最大值. 解析 設(shè)的公比為，則由已知可得解得 于是，. 由可得，整理得. 由可得，即， 解得，即，可以驗證當(dāng)時滿足，時不滿足，故的最大值為12. 4.(2013重慶文12） 若成等差數(shù)列，則

13、 . 4.分析 利用等差數(shù)列的有關(guān)知識先求出公差再運算求解. 解析 由題意得該等差數(shù)列的公差，所以. 5. (2013陜西文17）設(shè)表示數(shù)列的前項和. （1）若是等差數(shù)列，推導(dǎo)的計算公式； （2）若，且對所有正整數(shù)，有.判斷是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論. 5.分析 利用等差數(shù)列的性質(zhì)倒序相加求和；等比數(shù)列的證明通過定義進(jìn)行. 解析 （1）方法一：設(shè)的公差為，則 . 又，所以，所以． 方法二：設(shè)的公差為，則 ． 又, 所以， 所以. （2）是等比數(shù)列.證明如下： 因為，所以． 因為，，所以當(dāng)時，有. 因此，是首項為且公比為的等比數(shù)列． 6

14、.（2014遼寧文9）設(shè)等差數(shù)列的公差為，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（ ） A． B． C． D． 7.（2014陜西文8）原命題為“若，則為遞減數(shù)列”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（ ）. A.真，假，真 B.假，假，真 C.真，真，假 D.假，假，假 8. （2014廣東文13）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則 ________. 9.（2014江西文13）在等差數(shù)列中，，公差為，前項和為，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值，則的取值范圍是

15、 . 10.（2014陜西文16）（本小題滿分12分） 的內(nèi)角所對的邊分別為. （1）若成等差數(shù)列，求證：； （2）若成等比數(shù)列，且，求的值. 11.（2015廣東文13）若三個正數(shù)，，成等比數(shù)列，其中，， 則 ． 11.解析 因為三個正數(shù)，，成等比數(shù)列，所以. 因為，所以. 12.（2015全國Ⅱ文5） 設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）. A. B. C. D. 12.解析 由已知，則，. 又因為 .故選A. 13.（2017江蘇19）對于給定的正整數(shù)，若數(shù)

16、列滿足對任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”． （1）證明：等差數(shù)列是“數(shù)列”； （2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明：是等差數(shù)列． 13.解析 （1）因為是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則， 從而當(dāng)時， ，， 所以，因此等差數(shù)列是“數(shù)列”． （2）由數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”， 因此，當(dāng)時， ① 當(dāng)時， ② 由①知， ③ ④ 將

17、③④代入②，得，其中， 所以是等差數(shù)列，設(shè)其公差為． 在①中，取，則，所以， 在①中，取，則，所以，從而數(shù)列是等差數(shù)列． 評注 這是數(shù)列新定義的問題，其實類似的問題此前我們也研究過，給出僅供參考． （2015南通基地密卷7第20題）設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，若對任意的，存在，使得成立，則稱數(shù)列為“型”數(shù)列． （1）若數(shù)列是“型”數(shù)列，且，，求； （2）若數(shù)列既是“型”數(shù)列，又是“型”數(shù)列，證明數(shù)列是等比數(shù)列． 解析 （1）由題意得，成等比數(shù)列， 且公比，所以． （2）由是“型”數(shù)列得成等比數(shù)列，設(shè)公比為， 由是“型”數(shù)列得成等比數(shù)列，設(shè)公比為； 成等比數(shù)列，設(shè)公比為；

18、 成等比數(shù)列，設(shè)公比為； 則，，， 所以，不妨令，則． 所以，， 所以， 綜上，從而是等比數(shù)列． 題型73 判斷或證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列 1.（2014江蘇20）設(shè)數(shù)列的前項和為．若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“數(shù)列”． （1）若數(shù)列的前項和 ，求證：是“數(shù)列”； （2）設(shè)是等差數(shù)列，其首項，公差．若 是“數(shù)列”，求的值； （3）求證：對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“數(shù)列”和，使得成立． 2.（2015廣東文19）設(shè)數(shù)列的前項和為，．已知，，， 且當(dāng)時，． （1）求的值； （2）求證：為等比數(shù)列； （3）求數(shù)列的通項公式． 2.解析 （1）當(dāng)

19、時，， 即，解得. （2）因為（）， 所以（）， 即（），亦即， 則. 當(dāng)時，，滿足上式. 故數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列. （3）由（2）可得，即， 所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列， 所以，即， 所以數(shù)列的通項公式是. 3.（2015湖南文19）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，， 且. （1）證明：； （2）求. 3.解析（1）由條件，對任意，有，因而對任意，有，兩式相減，得，即， 又，所以，故對一切，. （2）由（I）知，，所以，于是數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，所以， 于是 ， 從而， 綜上所述，. 4.（20

20、15湖南文21）函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點. （1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）若對一切恒成立，求的取值范圍. 4.解析（1）， 令，由，得，即， 若，即，則； 若，即，則. 因此，在區(qū)間與上，的符號總相反， 于是當(dāng)時，取得極值，所以， 此時，，易知， 而是常數(shù)， 故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列. （2）對一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立（因為）. 設(shè)，則，令得， 當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增； 因為，且當(dāng)時，， 所以， 因此恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得， 故實數(shù)的取值范圍是. 5.（2016浙江文8）如圖所示，點列分

21、別在某銳角的兩邊上，且， (表示點與不重合) .若，為的面積，則（ ）. A .是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列 C.是等差數(shù)列 D.是等差數(shù)列 5.A解析 設(shè)點到對面直線的距離為，則.由題目中條件可知的長度為定值，則.那么我們需要知道的關(guān)系式，過點作垂直得到初始距離，那么和兩個垂足構(gòu)成了直角梯形，那，其中為兩條線的夾角，那么，由題目中條件知，則.所，其中為定值，所以為等差數(shù)列.故選A. 6.（2017全國1文17）記為等比數(shù)列的前項和.已知，. （1）求的通項公式； （2）求，并判斷，，是否成等差數(shù)列. 6.解析 （1）由題意設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為， 則，從而，即， 整理得，因此，所以，數(shù)列的通項公式為． （2）由（1）知， 因此 ． 所以，，成等差數(shù)列． 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org