第11篇 第3節(jié) 合情推理與演繹推理

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1、第十一篇　第3節(jié) 一、選擇題 1．推理“①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③三角形不是矩形”中的小前提是(　　) A．①　　　　　　　　　　　 B．② C．③ D．①和② 解析：由演繹推理三段論可知，①是大前提；②是小前提；③是結(jié)論．故選B. 答案：B 2．(2014河南焦作二模)給出下面類(lèi)比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)： ①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類(lèi)比推出“若a，b∈C，則a－b＝0?a＝b”； ②“若a，b，c，d∈R，則復(fù)數(shù)a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類(lèi)比推出“若a，b，c，d∈Q，則a＋b＝c＋d?a＝

2、c，b＝d”； ③若“a，b∈R，則a－b＞0?a＞b”類(lèi)比推出“若a，b∈C，則a－b＞0?a＞b”．其中類(lèi)比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：①②正確，③錯(cuò)誤，因?yàn)閮蓚€(gè)復(fù)數(shù)如果不是實(shí)數(shù)，不能比較大?。蔬xC. 答案：C 3．(2014上海閘北二模)平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為(　　) A．n＋1 B．2n C． D．n2＋n＋1 解析：1條直線將平面分成1＋1個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個(gè)區(qū)域；……；n條直線最多可將平

3、面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝個(gè)區(qū)域，選C. 答案：C 4．定義A*B，B*C，C*D，D*A的運(yùn)算分別對(duì)應(yīng)圖中的(1)(2)(3)(4)，那么如圖中(a)，(b)所對(duì)應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果可能是(　　) A．B*D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D 解析：觀察圖形及對(duì)應(yīng)運(yùn)算分析可知， 基本元素為A→|，B→□，C→—，D→， 從而可知圖(a)對(duì)應(yīng)B*D，圖(b)對(duì)應(yīng)A*C.故選B. 答案：B 5．已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,

4、2)，(4,1)，…，則第60個(gè)數(shù)對(duì)是(　　) A．(7,5) B．(5,7) C．(2,10) D．(10,1) 解析：依題意，由和相同的整數(shù)對(duì)分為一組不難得知， 第n組整數(shù)對(duì)的和為n＋1，且有n個(gè)整數(shù)對(duì)． 這樣前n組一共有個(gè)整數(shù)對(duì)． 注意到<60<. 因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)處于第11組的第5個(gè)位置，可得為(5,7)．故選B. 答案：B 6．對(duì)于a、b∈(0，＋∞)，a＋b≥2(大前提)，x＋≥2(小前提)，所以x＋≥2(結(jié)論)．以上推理過(guò)程中的錯(cuò)誤為(　　) A．小前提 B．大前提 C．結(jié)論 D．無(wú)錯(cuò)誤 解析：大前提是a，b∈(0，＋∞)，a＋b≥2，要求a、b

5、都是正數(shù)；x＋≥2是小前提，沒(méi)寫(xiě)出x的取值范圍，因此本題中的小前提有錯(cuò)誤．故選A. 答案：A 二、填空題 7．(2014山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模)以下是對(duì)命題“若兩個(gè)正實(shí)數(shù)a1，a2滿足a＋a＝1，則a1＋a2≤”的證明過(guò)程： 證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，從而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤. 根據(jù)上述證明方法，若n個(gè)正實(shí)數(shù)滿足a＋a＋…＋a＝1時(shí)，你能得到的結(jié)論為_(kāi)_______．(不必證明) 解析：由題意可構(gòu)造函數(shù) f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(

6、x－an)2 ＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1， 因?qū)σ磺袑?shí)數(shù)x，恒有f(x)≥0， 所以Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0， 即a1＋a2＋…＋an≤. 答案：a1＋a2＋…＋an≤ 8．(2014山東萊蕪模擬)容易計(jì)算25＝10,2255＝1210,222555＝123210,22225555＝12343210.根據(jù)此規(guī)律猜想22…255…5所得結(jié)果由左向右的第八位至第十位的三個(gè)數(shù)字依次為_(kāi)_______． 解析：由25,2255,222555的結(jié)果可知22…255…5的結(jié)果共18位，個(gè)位為0，其他數(shù)位從左向右為連續(xù)的自然數(shù)且左右對(duì)稱，即22…255…5＝1

7、23456789876543210，所得結(jié)果由左向右的第八位至第十位的三個(gè)數(shù)字依次為898. 答案：898 9．(2014江西師大附中模擬)若數(shù)軸上不同的兩點(diǎn)A，B分別與實(shí)數(shù)x1，x2對(duì)應(yīng)，則線段AB的中點(diǎn)M與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)，由此結(jié)論類(lèi)比到平面得，若平面上不共線的三點(diǎn)A，B，C分別與二元實(shí)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)對(duì)應(yīng)，則△ABC的重心G與________對(duì)應(yīng)． 解析：由類(lèi)比推理得，若平面上不共線的三點(diǎn)A，B，C分別與二元實(shí)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)對(duì)應(yīng)，則△ABC的重心G與對(duì)應(yīng)． 答案： 10．觀察下列幾個(gè)三角恒等式 ①tan 10tan

8、 20＋tan 20tan 60＋tan 60tan 10＝1； ②tan 5tan 100＋tan 100tan(－15)＋tan(－15)tan 5＝1； ③tan 13tan 35＋tan 35tan 42＋tan 42tan 13＝1. 一般地，若tan α，tan β，tan γ都有意義，你從這三個(gè)恒等式中猜想得到的一個(gè)結(jié)論為_(kāi)_______________________________________________________________________． 解析：所給三角恒等式都為tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1的結(jié)構(gòu)形式

9、， 且α、β、γ之間滿足α＋β＋γ＝90， 所以可猜想當(dāng)α＋β＋γ＝90時(shí)， tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1. 答案：當(dāng)α＋β＋γ＝90時(shí)，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1 三、解答題 11．在銳角三角形ABC中，求證：sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C. 證明：∵△ABC為銳角三角形， ∴A＋B>， ∴A>－B， ∵y＝sin x在上是增函數(shù)， ∴sin A>sin＝cos B， 同理可得sin B>cos C，sin C>cos A， ∴sin A＋sin

10、 B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C. 12．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形． (1)求出f(5)的值； (2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式； (3)求＋＋＋…＋的值． 解：(1)f(5)＝41. (2)因?yàn)閒(2)－f(1)＝4＝41， f(3)－f(2)＝8＝42， f(4)－f(3)＝12＝43， f(5)－f(4)＝16＝44， … 由上式規(guī)律，得出f(n＋1)－f(n)＝4n. 因?yàn)閒(n＋1)－f(n)＝4n， 所以f(n)＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1(n≥2)， 又n＝1滿足上式， 所以f(n)＝2n2－2n＋1. (3)當(dāng)n≥2時(shí)， ＝＝， ∴＋＋＋…＋ ＝1＋ ＝1＋＝－.