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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料
剖析演繹推理證明的幾種常見錯誤
1.偷換論題
例1求證四邊形的內(nèi)角和等于。
證明：設(shè)四邊形是矩形，則它的四個角都是直角，有
，
所以，四邊形的內(nèi)角和等于。
剖析：上述推理過程是錯誤的。犯了偷換論題的錯誤。在證明過程中，把論題中的四邊形改為矩形。
正證：對于任意四邊形，連結(jié)對角線，則得。
因為三角形內(nèi)角和等于，
，，
，
又，，
，
四邊形的內(nèi)角和等于。
2.虛假論據(jù)
例2已知和是無理數(shù)，試證也是無理數(shù)。
錯證：依題設(shè)和是無理數(shù)，
而無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)，
所以也是無理數(shù)。
剖析：上述推理過程是錯誤的。犯了虛假論據(jù)的錯誤。使
2、用的論據(jù)是：“無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)”，這個論據(jù)是假的，因為兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)。因此，原題的真假性仍無法斷定。
正證：假設(shè)不是無理數(shù)，那么它就是有理數(shù)，
于是，存在互質(zhì)的正整數(shù)，使得，從而有，
因此，，
即，
，
即，
，
。
因為為互質(zhì)的正整數(shù)，
為有理數(shù)，
而為無理數(shù)，
矛盾，故假設(shè)不成立，
也是無理數(shù)。
3.循環(huán)論證
例3在中，求證：。
A
C
B
D
E
L
M
F
G
H
K
錯證：因為，
=。
剖析：上述推理過程是錯誤的。犯了循環(huán)論證的錯誤。
本題的論證就是人們熟知的勾股定理。上述證明中用
了“”這個公式，
3、按照現(xiàn)行中學(xué)
教材系統(tǒng)，這個公式是由勾股定理推出來的，
這就間接地用待證命題的真實性作為證明的論據(jù)，
犯了循環(huán)論證的錯誤。
正證：分別以的三邊
為邊向外作正方形。連
結(jié)，作。顯然，以為旋轉(zhuǎn)中
心，將逆時針旋轉(zhuǎn)，則與
重合，于是≌。
因為正方形同底等高，
且矩形同底等高，
，
即。
同理，，
即。
，
即。
4.不能推出
例4設(shè)。
求證：。
錯證：因為=，
。
剖析：上述推理過程是錯誤的。犯了不能推出的錯誤。因為只能推出。至于關(guān)系式是否唯一地成立，卻無法斷定。因此，只有進(jìn)一步推出，即，原題才能得證。
正證：因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，
又，且，
，
。
又因為=，
。
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