五年高考真題高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第二章 第八節(jié) 函數(shù)的模型及其綜合應(yīng)用 理全國通用

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1、第八節(jié)第八節(jié)函數(shù)的模型及其綜合應(yīng)用函數(shù)的模型及其綜合應(yīng)用考點(diǎn)一函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1(2015北京，8)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗 1 升汽油行駛的里程如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是()A消耗 1 升汽油，乙車最多可行駛 5 千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油量最多C甲車以 80 千米/時(shí)的速度行駛 1 小時(shí)，消耗 10 升汽油D某城市機(jī)動(dòng)車最高限速 80 千米/時(shí)相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油解析汽車每消耗 1 升汽油行駛的里程為“燃油效率”，由此理解 A 顯然不對；B 應(yīng)是甲車耗油最少；C 甲車以 80 千米/小時(shí)的速

2、度行駛 10 km，消耗 1 升汽油故 D 正確答案D2(2014湖南，8)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A.pq2B.（p1） （q1）12C.pqD. （p1） （q1）1解析設(shè)年平均增長率為x，原生產(chǎn)總值為a，則(1p)(1q)aa(1x)2，解得x（1p） （1q）1，故選 D.答案D3.(2013陜西，9)在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于 300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是()A15，20B12，25C10，30D20，30解析設(shè)矩形另一邊長為y，x

3、4040y40，則x40y，y40 x.由xy300，即x(40 x)300，解得 10 x30，故選 C.答案C4(2011湖北，10)放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變假設(shè)在放射性同位素銫 137 的衰變過程中，其含量M(單位：太貝克)與時(shí)間t(單位： 年)滿足函數(shù)關(guān)系：M(t)M02t30， 其中M0為t0 時(shí)銫 137 的含量 已知t30 時(shí)，銫 137 含量的變化率是10 ln 2(太貝克/年)，則M(60)()A5 太貝克B75 ln 2 太貝克C150 ln 2 太貝克 D150 太貝克解析由題意M(t)M0230t130 ln

4、2，M(30)M021130 ln 210 ln 2，M0600，M(60)60022150，故選 D.答案D5(2015四川，13)某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))若該食品在 0 的保鮮時(shí)間是192 小時(shí)，在 22 的保鮮時(shí)間是 48 小時(shí)，則該食品在 33 的保鮮時(shí)間是_小時(shí)解析由題意eb192，e22kb48，e22k4819214，e11k12，x33 時(shí)，ye33kb(e11k)3eb123eb1819224.答案246.(2012江蘇，17)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸

5、垂直于地平面，單位長度為 1 千米某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykx120(1k2)x2(k0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為 3.2 千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請說明理由解(1)令y0，得kx120(1k2)x20，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x0，k0，故x20k1k220k1k20210，當(dāng)且僅當(dāng)k1 時(shí)取等號炮的最大射程為 10 千米(2)a0，炮彈可擊中目標(biāo)存在k0，使 3.2ka120(1k2)a2成立關(guān)于k的方程a2k220aka264

6、0 有正根判別式(20a)24a2(a264)0a6.當(dāng)a不超過 6 千米時(shí)，可擊中目標(biāo)7(2015江蘇，17)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路， 記兩條相互垂直的公路為l1，l2， 山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為 5 千米和 40 千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為 20 千米和 2.5 千米，R 以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)yax2b(其中a，b為常數(shù))模型(1)求a，b的值；(2)設(shè)公

7、路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長度最短？求出最短長度解(1)由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(5，40)，(20，2.5)將其分別代入yax2b，得a25b40，a400b2.5，解得a1 000，b0.(2)由(1)知，y1 000 x2(5x20)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為t，1 000t2，設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x，y軸分別于A，B點(diǎn)，y2 000 x3，則l的方程為y1 000t22 000t3(xt)，由此得A3t2，0，B0，3 000t2.故f(t)3t223 000t2232t24106t4，t5，20設(shè)g

8、(t)t24106t4，則g(t)2t16106t5.令g(t)0，解得t10 2.當(dāng)t(5，10 2)時(shí)，g(t)0，g(t)是減函數(shù)；當(dāng)t(10 2，20)時(shí)，g(t)0，g(t)是增函數(shù)從而，當(dāng)t102時(shí)，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值，所以g(t)min300，此時(shí)f(t)min15 3.答：當(dāng)t102時(shí)，公路l的長度最短，最短長度為 153千米考點(diǎn)二函數(shù)的綜合應(yīng)用1(2014遼寧，12)已知定義在0，1上的函數(shù)f(x)滿足：f(0)f(1)0；對所有x，y0，1，且xy，有|f(x)f(y)|12|xy|.若對所有x，y0，1，|f(x)f(y)|k恒成立，則k的最小值為()A.1

9、2B.14C.12D.18解析不妨令 0yx1， 當(dāng) 0 xy12時(shí)， |f(x)f(y)|12|xy|14； 當(dāng)12xy1 時(shí)，|f(x)f(y)|f(x)f(1)f(y)f(0)|f(x)f(1)|f(y)f(0)|12|x1|12|y0|12(1x)12y1212(yx)14.綜上，|f(x)f(y)|14，所以k14.答案B2(2013天津，8)已知函數(shù)f(x)x(1a|x|)設(shè)關(guān)于x的不等式f(xa)0 時(shí)， 易知f(0)0，x0 時(shí)，f(x)x(1a|x|)0，于是f(0a)0f(0)，而由已知12，12 A可得 0A，即f(0a)0 也不滿足條件，故a0.易知f(x)axx1a（

10、x0） ，axx1a（x0） ，在坐標(biāo)系中畫出yf(x)與yf(xa)的圖象如圖所示，由圖可知滿足不等式f(xa)f(x)的解集A(xA，xB)由x(1ax)(xa)1a(xa)可得xA1a22a；由x(1ax)(xa)1a(xa)，可得xB1a22a.A1a22a，1a22a(a0)由12，12 A得1a22a12，a0，解得1 52a0，對任意a0，b0，若經(jīng)過點(diǎn)(a，f(a)，(b，f(b)的直線與x軸的交點(diǎn)為(c，0)，則稱c為a，b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù)，記為Mf(a，b)例如，當(dāng)f(x)1(x0)時(shí)，可得Mf(a，b)cab2，即Mf(a，b)為a，b的算術(shù)平均數(shù)(1)當(dāng)f(x)

11、_(x0)時(shí)，Mf(a，b)為a，b的幾何平均數(shù)(2)當(dāng)f(x)_(x0)時(shí)，Mf(a，b)為a，b的調(diào)和平均數(shù)2abab.(以上兩空各只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可)解析過點(diǎn)(a，f(a)，(b，f(b)的直線的方程為yf(a)f（a）f（b）ab(xa)，令y0 得caf（b）bf（a）f（a）f（b）.(1)令幾何平均數(shù)abaf（b）bf（a）f（a）f（b）abf(a)abf(b)bf(a)af(b)，可取f(x)x(x0)；(2)令調(diào)和平均數(shù)2ababaf（b）bf（a）f（a）f（b）abbaabaf（b）bf（a）f（a）f（b），可取f(x)x(x0)答案(1)x(2)x5 (

12、2014山東， 15)已知函數(shù)yf(x)(xR R)， 對函數(shù)yg(x)(xI)， 定義g(x)關(guān)于f(x)的“對稱函數(shù)”為函數(shù)yh(x)(xI)，yh(x)滿足：對任意xI，兩個(gè)點(diǎn)(x，h(x)，(x，g(x)關(guān)于點(diǎn)(x，f(x)對稱若h(x)是g(x) 4x2關(guān)于f(x)3xb的“對稱函數(shù)”，且h(x)g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_解析函數(shù)g(x)的定義域是2，2，根據(jù)已知得h（x）g（x）2f(x)，所以h(x)2f(x)g(x)6x2b 4x2.h(x)g(x)恒成立，即 6x2b 4x2 4x2恒成立，即 3xb 4x2恒成立，令y3xb，y 4x2，則只要直線y3xb在半圓

13、x2y24(y0)上方即可，由|b|102，解得b2 10(舍去負(fù)值)，故實(shí)數(shù)b的取值范圍是(2 10，)答案(2 10，)6(2013新課標(biāo)全國，21)設(shè)函數(shù)f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)若曲線yf(x)和曲線yg(x)都過點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2 時(shí)，f(x)kg(x)，求k的取值范圍解(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.從而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)設(shè)函數(shù)F(

14、x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，則F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由題設(shè)可得F(0)0，即k1.令F(x)0，得x1lnk，x22.()若 1ke2，則2x10.從而當(dāng)x(2，x1)時(shí)，F(xiàn)(x)0.即F(x)在(2，x1)上單調(diào)遞減，在(x1，)上單調(diào)遞增故F(x)在2，)上的最小值為F(x1)而F(x1)2x12x214x12x1(x12)0.故當(dāng)x2 時(shí)，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立()若ke2，則F(x)2e2(x2)(exe2)從而當(dāng)x2 時(shí)，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(2，)上單調(diào)遞增而F(2)0，故當(dāng)x2 時(shí)，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立()若ke2，則F(2)2ke222e2(ke2)0.從而當(dāng)x2 時(shí)，f(x)kg(x)不可能恒成立綜上，k的取值范圍是1，e2.