新教材高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 復(fù)習(xí)點(diǎn)撥：利用數(shù)學(xué)歸納法解題舉例

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 利用數(shù)學(xué)歸納法解題舉例 歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結(jié)論來。 數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n＝k時(shí)命題成立，再證明n＝k＋1時(shí)命題也成立，這是無限遞推下去

2、的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或n≥n且n∈N）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，關(guān)鍵是n＝k＋1時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題。 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。 一、 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證

3、明整除性問題 例1.當(dāng)n∈N,求證:11n+1+122n-1能被133整除。 　　證明:(1)當(dāng)n=1時(shí)，111+1+1212×1-1=133能被133整除。命題成立。 　　(2)假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即11k+1+122k-1能被133整除，當(dāng)n=k+1時(shí)， 　　 　　根據(jù)歸納假設(shè)，11k+1+122k-1能被133整除。又能被133整除。所以，11(k+1)+122(k+1)-1能被 133整除，即n=k+1時(shí)，命題成立。 由(1),(2)命題時(shí)n∈N都成立。 　　點(diǎn)評:同數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)數(shù)或式的整除問題時(shí)，要充分利用整除的性質(zhì)，若干個(gè)數(shù)（或整式）都能

4、被某一個(gè)數(shù)（或整式）整除，則其和、差、積也能被這個(gè)數(shù)（或整式）整除。在由n=k時(shí)命題成立，證明n=k+1命題也成立時(shí)。要注意設(shè)法化去增加的項(xiàng)，通常要用到拆項(xiàng)、結(jié)合、添項(xiàng)、減項(xiàng)、分解、化簡等技巧。 二、 　運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題 例2.設(shè)a＝＋＋…＋ (n∈N),證明：n(n＋1)<a< (n＋1) 。 【分析】與自然數(shù)n有關(guān)，考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。n＝1時(shí)容易證得，n＝k＋1時(shí)，因?yàn)閍＝a＋,所以在假設(shè)n＝k成立得到的不等式中同時(shí)加上，再與目標(biāo)比較而進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s求解。 【解】 當(dāng)n＝1時(shí)，a＝，n(n+1)＝， (n+1)＝2 ， ∴ n＝1時(shí)不等式成立。

5、 假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)不等式成立，即：k(k＋1)<a< (k＋1) ， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，k(k＋1)＋<a<(k＋1)＋, k(k＋1)＋>k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)， (k＋1)＋＝(k＋1)＋<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)， 所以(k＋1)(k＋2) <a<(k＋2)，即n＝k＋1時(shí)不等式也成立。 綜上所述，對所有的n∈N，不等式n(n＋1)<a<(n＋1)恒成立。 【注】 用數(shù)學(xué)歸納法解決與自然數(shù)有關(guān)的不等式問題，注意適當(dāng)選用放縮法。本題中分別將縮小成(k＋1)、將放

6、大成(k＋)的兩步放縮是證n＝k＋1時(shí)不等式成立的關(guān)鍵。為什么這樣放縮，而不放大成(k＋2)。這是與目標(biāo)比較后的要求，也是遵循放縮要適當(dāng)?shù)脑瓌t。 三、 　運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 例3．平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn).求證：這n條直線把平面分成f(n)=個(gè)部分. 解:（1)當(dāng)n＝1時(shí)，一條直線將平面分成兩個(gè)部分，而f(1) =, ∴命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即k條直線把平面分成f (k) =個(gè)部分,則當(dāng)n=k＋1時(shí)，即增加一條直線l,因?yàn)槿魏蝺蓷l直線不平行，所以l與k條直線都相交有k個(gè)交點(diǎn)；又因?yàn)槿魏稳龡l不共點(diǎn)，所以這k個(gè)交點(diǎn)不同于k條直線

7、的交點(diǎn)，且k個(gè)交點(diǎn)也互不相同．如此這k個(gè)交點(diǎn)把直線l分成k十1段，每一段把它所在的平面區(qū)域分為兩部分，故新增加的平面分為k＋1. ∴n=k十1時(shí)命題成立． 由（1），(2）可知，當(dāng)n∈N*時(shí)，命題成立． 四、 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 例4．是否存在常數(shù)a,b,c，使等式成立。 證明:分別用n=1,n=2,n=3代入等式得: 　　 　　再用數(shù)學(xué)歸納法證明，， 即13+23+33+……+n3=n2(n2+2n+1)。 　　(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊=1，等式成立。 　　(2)假設(shè)n=k時(shí)(k≥1,k∈N)等式成立，則n=k+1時(shí)， 　　13+23+……+k3+(

8、k+1)3=k2(k2+2k+1)+(k+1)3(k+1)2(k2+4k+4)=(k+1)2[(k+1)2+2(k+1)+1] 　　∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。由(1),(2)可知，n∈N，原等式成立。 點(diǎn)評:這類開放型問題一般可采用n的特殊值，探求待定系數(shù)，然后再證明命題成立。但證明方法不唯一，除數(shù)學(xué)歸納法外，有時(shí)還可使用其他方法。如本題可先直接求的13+23+33+……+n3和。 五、利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題 例5.已知數(shù)列，得，…，，…。S為其前n項(xiàng)和，求S、S、S、S，推測S公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。 【解】 計(jì)算得S＝，S＝，S＝，S＝ ， 猜測S＝ (n

9、∈N)。 當(dāng)n＝1時(shí)，等式顯然成立； 假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即：S＝， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，S＝S＋ ＝＋ ＝ ＝＝, 由此可知，當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立。 綜上所述，等式對任何n∈N都成立。 【注】 把要證的等式S＝作為目標(biāo)，先通分使分母含有(2k＋3)，再考慮要約分，而將分子變形，并注意約分后得到（2k＋3）－1。這樣證題過程中簡潔一些，有效地確定了證題的方向。本題的思路是從試驗(yàn)、觀察出發(fā)，用不完全歸納法作出歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明，這是關(guān)于探索性問題的常見證法，在數(shù)列問題中經(jīng)常見到。 假如猜想后不用數(shù)學(xué)歸納法證明，結(jié)論不一定正確，即使正確，解答過程也不嚴(yán)密。必須要進(jìn)行三步：試值 → 猜想 → 證明。