新教材高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 歸納推理知識歸納及應(yīng)用

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 歸納推理知識歸納及應(yīng)用 1. 歸納推理定義: 由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）．簡而言之，歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理．例如由銅、鐵、鋁、金、銀等金屬能導(dǎo)電歸納出“一切金屬都能導(dǎo)電”，由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是1800，歸納出“所有三角形的內(nèi)角和都是1800”等等，這些都是歸納推理．在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們總是從所研究的全體對象中抽取一部分進(jìn)行觀測或試驗(yàn)以取得信息，從而對整體作出推斷，這也是歸納. 應(yīng)用歸納推理可以發(fā)現(xiàn)

2、新的事實(shí)，獲得新的結(jié)論． 說明：歸納推理的思維過程大致如下： 實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論。 2．歸納推理的一般模式： 具有P， 具有P， …… 具有P（，，…，是A類事物的對象）， 所以，A類事物具有P。 3.歸納推理的特點(diǎn): （1)歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍． (2)由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)．因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具． (3)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理．通過歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出

3、問題． 4.歸納推理的一般步驟： 第一步：通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性（特例的共性或一般規(guī)律）； 第二步：把這種相似性推廣為一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）； 第三步：對所得出的一般性命題進(jìn)行檢驗(yàn)。 由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識功能，對于科學(xué)的發(fā)現(xiàn)卻是十分有用的。觀察、實(shí)驗(yàn)，對有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的說法，乃是科學(xué)研究的最基本的方法之一。物理學(xué)中的波義耳—馬略特定律、化學(xué)中的門捷列夫元素周期表、天文學(xué)中開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律等，也都是在實(shí)驗(yàn)和觀察的基礎(chǔ)上，通過歸納發(fā)現(xiàn)的．在一般情況下，如果歸納的個(gè)別情況越多，越具有代表性，那么推廣的

4、一般性結(jié)論也就越可靠；需要特別注意的是，由歸納推理所獲得的結(jié)論僅僅是一種猜測，并不一定可靠，其可靠性需要通過證明． 一、數(shù)列問題中的歸納推理 例1 已知，根據(jù)的值，可推測出 . 分析：求出的值，發(fā)現(xiàn)它們都是分?jǐn)?shù)，可通過分析分子、分母的特點(diǎn)，推測. 解：∵， ∴，，. 根據(jù)分式特點(diǎn)把化為，可推測出. 評注：對于分式型的數(shù)列歸納通項(xiàng)公式問題，歸納時(shí)可從兩個(gè)角度出發(fā)：一是分別看分子、分母的變化規(guī)律，一是看分子、分母的聯(lián)系，有時(shí)還需對其中的分式作適當(dāng)變形.數(shù)列中的歸納推理最為常見，一般有歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和（積）公式等. 二、函數(shù)問題中的歸納推理 例2

5、已知，則 . 分析：正余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較特別，求導(dǎo)后會(huì)改變函數(shù)名稱，而且就在正余弦函數(shù)之間跳動(dòng)取值，故我們猜想和呈周期性變化，可歸納前若干項(xiàng)，看是否具有周期性，若有，問題就會(huì)迎刃而解. 解：依題意， ，由此可歸納出，從開始，函數(shù)每隔四個(gè)按循環(huán)出現(xiàn)一次，且每一個(gè)循環(huán)體中四個(gè)函數(shù)的和都等于0，所以 . 評注：對于項(xiàng)數(shù)比較多的問題，我們首先考慮的就是周期性，因?yàn)橹挥兄芷谛圆拍茌^好地處理此類問題.而周期性的探求方法就是歸納法. 三、不等式問題中的歸納推理 例3 由，可歸納出：若，則 . 分析：觀察各不等式中的分式特點(diǎn)，可發(fā)現(xiàn)左邊分式都是右邊分式的分子、分母都加上同一個(gè)正數(shù)得到的，據(jù)此不難歸納出一般式. 解：由，可歸納出若，則. 評注：本題歸納出的是真分?jǐn)?shù)的一個(gè)重要性質(zhì)：若一個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子、分母都加上同一個(gè)正數(shù)，分式的值增大.若把上面的分式取倒數(shù)，則可得假分?jǐn)?shù)的一個(gè)相應(yīng)性質(zhì)：若一個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子、分母都加上同一個(gè)正數(shù)，分式的值減小.這個(gè)現(xiàn)象可稱為“真大假小”.