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1、新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料
宜用反證法證明的幾類命題
反證法是證明數(shù)學(xué)命題的一種重要方法，當(dāng)直接證明思路受阻，難以成功時(shí)，反證法常使人茅塞頓開，柳暗花明．它通常用來證明下列幾類命題．
一、否定性命題
問題的結(jié)論是以否定形式出現(xiàn)（例如“沒有…”，“不是…”，“不存在…”等）的命題，宜用反證法．
例1 求證：是無(wú)理數(shù)．
分析：在實(shí)數(shù)集內(nèi)，證它是無(wú)理數(shù)，即證它不是有理數(shù)．
證明：假設(shè)不是無(wú)理數(shù)，即為有理數(shù)，則設(shè)＝ ，互質(zhì)）從而 得，
上式表明：偶數(shù)等于奇數(shù)，這與偶數(shù)不等于奇數(shù)矛盾，于是假設(shè)不成立．
故是無(wú)理數(shù)．
例2 證明：一個(gè)三角形中不可能有兩個(gè)直角．
分析：用三角形內(nèi)角
2、和為證一個(gè)三角形中不存在兩個(gè)直角．
證明：假設(shè)一個(gè)三角形中有兩個(gè)直角．不妨設(shè)Ａ＝，Ｂ＝．
∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝＋＋Ｃ＝＋Ｃ＞
這與三角形內(nèi)角和定理矛盾． ∴ 假設(shè)不成立，即原命題成立．
二、“至少”或“至多”類命題
若一個(gè)命題的結(jié)論是“至少…”或“至多…”，“不都…”則可考慮用反證法．
例3 已知、、、Ｒ，且＝2（＋）
求證：方程＋＋＝０和＋＋＝０中，至少有一個(gè)方程有實(shí)根．
分析：“至少有一個(gè)”是“有一個(gè)”、 “有兩個(gè)”，它的反面是“一個(gè)都沒有”．
證明：假設(shè)這兩個(gè)一元二次方程都沒有實(shí)根，那么他們的判別式都小于０，即：
∴ ∵＝２（＋）代入上式得
，即．這與“任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)”相矛盾，所以假設(shè)不成立．
故這兩方程中，至少有一個(gè)方程有實(shí)根．
三、唯一性命題
若一個(gè)命題的結(jié)論是“…唯一”的形式出現(xiàn)，則可考慮用反證法．
例4 求證：在一個(gè)平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)P只能作出一條直線垂直于．
證明：假設(shè)過點(diǎn)Ｐ可以作兩條直線垂直于直線如圖，那么PAB＝PBA＝．
A
B
P
于是APB＋PAB＋PBA＞．
即PAB的內(nèi)角和大于，
這與定理“三角形內(nèi)角和等于”相矛盾，
故假設(shè)不成立．
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