新版高中數(shù)學北師大版選修22教案：第1章 教材解讀：綜合法與分析法

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1、新版數(shù)學北師大版精品資料 《綜合法與分析法》教材解讀 一、重點知識梳理 1、綜合法是把整個不等式看成一個整體，從某一個或幾個不等式出發(fā)經(jīng)過變形、運算推導出欲證的不等式。綜合法是證明不等式時一種較為簡捷的方法，其簡捷之處就再于直接運用了不等式的有關定理、性質來解決問題。當然，要想運用定理、不等式，必須具備相應的條件，另外，在證題的過程中，要能夠通過對條件與結論及不等式兩端的差距與聯(lián)系的比較、分析，制定出合理的解題策略，并加以實施。常用的關系有：①若ab＞0，則＋≥2(當且僅當a＝b時取“＝”號)；②若t＞0，則t＋≥2(當且僅當t＝1時取“＝”號)；若t＜0，則t＋≤－2(當且僅當t＝

2、－1時取“＝”號)；③若a，b∈R，則ab≤()2≤ 2、分析法實質上是從欲證的不等式出發(fā)，去尋找使之成立的充分條件。在證明的過程中，要保證變形的每一步都是可逆的，即分析得到的每一步都是上一步成立的充分條件。分析法是證明不等式的一種常用的方法，通常情況下，當一個不等式無法利用比較法和綜合法加以證明時，可以采用這一方法。這一方法對于一些條件較為簡單而結論復雜的問題往往特別有效。 分析法與綜合法是兩種思路截然相反的證明方法。綜合法與分析法是對應統(tǒng)一的，證題時常將兩種方法交替使用。在證明不等式時，對于復雜的不等式，直接運用綜合法證明往往難以確定解決問題的策略，通常要分析、探索證題途徑，然后再

3、運用綜合法加以證明，即用分析法探路，用綜合法敘述。 綜合法和分析法的推證過程如下： 結論 綜合法——已知條件 結論 分析法—— 已知條件 二、疑、難點解析 這部分的難點是分析法證明過程的書寫以及兩種方法在證題中選擇和使用。 例1、設a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c≤3，求證：＋＋≥. 證明：注意到上述不等式當a＝b＝c＝1時取等號，由二元均值不等式可得： ＋≥2＝1，同理＋≥1，＋≥1， 三式累加，得＋＋＋≥3， ∴＋＋≥3－， ∵a＋b＋c≤3，－(a＋b＋c)≥－3， ∴＋＋≥. 點

4、評：由于本題所證不等式為輪換對稱式(交換任意兩個字母不等式不發(fā)生改變)，具有這種規(guī)律的不等式常常采用綜合法證明.本題證明中涉及到了三個不等式相加，這種方法稱為累加法，是證明不等式的一種基本而又重要的方法，在使用這一方法時，如能根據(jù)所證不等式取等號的條件，靈活應用平均值不等式，往往能直接推得所需結論. 注意：（1）綜合法是“由因導果”，即從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。 （2）①幾個同向不等式相加或相乘；②條件不等式的證明，要適當運用條件；③積累和熟練運用常用不等式，并特別注意不等式成立的條件信取得等號的條件。 例2、已知a>b>0，求證： 。 證明：要證原

5、不等式，只要證 ， 即證 ， 只要證 ， 只要證 ， 即要證 ，即。 因為a>b>0，所以成立，故原不等式成立。 點評：以上證明過程是典型的分析法。分析法解題方向較為明確，利于尋找解題思路；而綜合法條理清晰、宜于表述。因此，在實際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述解題過程。本題用綜合法證明略。 注意: (1)分析法是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”再逐步靠近“已知”，其證題的方向是“逆求”(而不是逆推),步步尋求上一步成立的充分條件而非充要條件。 (2)分析法論證“若A則B”這個命題的書寫格式如下：“要證……成立，只需證……成立，即證……成立，也就是證……成立，而……顯然成立，故原不等式……成立”。同時要注意在用分析法證題時一定要使用必要的關聯(lián)詞。 （3）對于無理式、對數(shù)式、分式不等式的證明常用分析法證明。在證明過程中，常用到兩過平方、配方，對數(shù)運算，兩邊同乘以或除以某一式子的技巧，但在這種變形過程中必須注意恒等變形。