2020高中數(shù)學北師大版選修22教案：第1章 教材解讀：反證法

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1、北師大版2019-2020學年數(shù)學精品資料 《反證法》教材解讀 一、重點知識梳理 反證法（間接證明）是不同于綜合法與分析法（直接證明）的又一種證明方法，它不是從原命題的條件逐步推得命題成立。反證法就是一種常用的間接證明方法。反證法的證明過程可以概括為“否定—推理—否定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導致邏輯矛盾，從而達到新的否定（即肯定原命題）的過程。用反證法證明“若p則q”的過程可以用以下框圖表示： 肯定條件p 否定結(jié)論q 導 致 邏輯矛盾 “若p則q” 為 真 “p且┐q” 為 假 這個過程包括下面三個步驟

2、： （1）反設——假設命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真； （2）歸謬——從反設和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果； （3）存真——由矛盾結(jié)果，斷定反設不真，從而肯定原結(jié)論成立。 說明：1、反證法的原理：否定之否定等于肯定 2、反證法的實質(zhì)：原命題和它的逆否命題是等價命題 二、疑、難點解析 利用反證法證明不等式，如何依據(jù)題設條件和不等式的結(jié)論制造矛盾是本節(jié)內(nèi)容的一個難點。 例1、若、，且，求證：與至少有一個小于 證明：假設與均不小于，即，且 ∵ 、，∴且 ∴ ，∴ 這與已知相矛盾 ∴假設不成立，故原命題正確 點評

3、：證明的結(jié)論中若有“至多”“至少”等字詞時，?？梢钥紤]用反證法解決。 注意：（1）利用反證法證明時，第一步“假設”不要寫成“設”。 （2）應用反證法證題要充分理解兩個否定：第一個否定是指“否定結(jié)論”；第二個否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設”。 例2、已知函數(shù) 試用反證法證明方程f(x)=0沒有負數(shù)根。 證法1 假設存在滿足，則 ∵ ∴，即與假設矛盾， 故方程f(x)=0沒有負數(shù)根。 證法2 假設存在滿足， ①若，則， ∴，這與矛盾；

4、 ②若，則， ∴，這與矛盾。 故方程f(x)=0沒有負數(shù)根。 點評： 命題中含有否定詞時，常用反證法。 注意：（1）由以上證明過程可以看出，用反證法證明問題時，推出矛盾的途徑多種多樣。一定要明確矛盾的所在，不可稀里糊涂。 總之無論是在日常生活中還是在數(shù)學中，都經(jīng)常應用反證法.而且對于處理正面復雜性問題、至多至少性問題、否定性問題、唯一性問題、存在性問題以及無理性問題等，反證法都具有特殊的優(yōu)越性。 反證法的證題過程其實是證明原命題“若p則q”的否定“若p則¬ q”是錯誤的 我們在學習反證法時

5、會出現(xiàn)兩方面的困難： １ “否定結(jié)論”部分，把握不清結(jié)論的“反”是什么。 使用反證法證明問題時，準確地做出反設（即否定結(jié)論）是正確運用反證法的前提，常用的“結(jié)論詞”與“反設詞”列表如下： 詞 語 等于 大于 小于 都是 一定是 至少有一個 至 少 n 個 至多一個 至 多 n 個 只有一個 P或q P且q 對所 有x 成立 詞 語的否定 不等于 小于等于 大于等于 不都是 一定不是 一個也沒有 至 多n-1個 至少兩個 至 少n+1個 沒有或至少有兩個 ¬P且¬ q ¬P或¬q 存在 某個x不 成立 2、“導出矛盾”部分，有時與已知條件相矛盾；有時與假設相矛盾；而有時又是與某個定義、公理、定理或事實相矛盾，還有的是自相矛盾．因此我們有時弄不明白究竟是與什么矛盾．