2020高中數(shù)學北師大版選修22教案：第1章 復習點撥：數(shù)學歸納法常見錯誤剖析

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1、北師大版2019-2020學年數(shù)學精品資料 數(shù)學歸納法常見錯誤剖析 初學數(shù)學歸納法常出現(xiàn)下面的錯誤，剖析如下： 1、不用假設致誤 例1用數(shù)學歸納法證明：1。 錯證：①當時，左邊＝1，右邊＝＝1， 所以等式成立。 ②假設當時等式成立。 即。 那么當時， ， 也就是說當時，等式成立。 由①②知：對任何等式都成立。 剖析：用數(shù)學歸納法證明第②步驟時，在從“”到“的過程中，必須把的命題作為已給定的條件，要在這個條件基礎上去導出時的命題所以在推導過程中。故必須把時的命題用上，本解法錯因是對假設設而不用。 正解：①當時，左邊＝1，右邊＝＝1， 所以等式成立。 ②假設

2、當時等式成立。 即。 那么當時， ＝ 。 即當時，等式成立。 由①②知：對任何等式都成立。 2、盲目套用數(shù)學歸納法中的兩個步驟致誤 例2當為正奇數(shù)時，能否被8整除？若能用數(shù)學歸納法證明。若不能請舉出反例。 證明：⑴當n=1時，7＋1＝8能被8整除。命題成立。 ⑵假設當n=k時命題成立。即能被8整除。 則 當n=k+1時，不能8整除. 由（1）（2）知n為正奇數(shù)。7不能被8整除 分析：錯因;機械套用數(shù)學歸納法中的兩個步驟，而忽略了n是整奇數(shù)的條件。 證明前要看準已知條件。 正解（2）n=k時命題成立，即7能被8整除。

3、 當n=k+2時， ＝49（7 因7能被8整除。且48能被8整除。所以能被8整除。 所以當 n=k+2時 命題成立 。 由⑴⑵知當 為正奇數(shù)時，7能被8整除。 三 沒有搞清從k 到k+1的跨度 例3：求證： 錯證：（1）當 ＝1時，不等式成立。 （2） 假設n=k時命題成立，即 則當n=k+1時， 就是說當n=k+1時不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。 點評：上述證明中，從k 到k+1的跨度，只加了一項是錯誤的，分母是相臨的自然數(shù)，故應是，跨度是三項。 正確證法：（1）當＝1時，左邊＝，不等式成立。 （2）假設n=k時命題成立，即， 則當n=k+1時， ＝（）＋＋ >1＋ =1＋。 這就是說，當時，不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。