高三理科數(shù)學 新課標二輪復習專題整合高頻突破習題：專題三 三角函數(shù) 專題能力訓練9 Word版含答案

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1、 專題能力訓練9　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 能力突破訓練 1.為了得到函數(shù)y=sin2x-π3的圖象,只需把函數(shù)y=sin 2x的圖象上所有的點(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.向左平行移動π3個單位長度 B.向右平行移動π3個單位長度 C.向左平行移動π6個單位長度 D.向右平行移動π6個單位長度 2.(20xx河北三調(diào))已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象與直線y=a(0<a<A)的三個相鄰交點的橫坐標分別是2,4,8,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　) A.[6kπ,6kπ+3](k∈Z) B.[6k

2、π-3,6kπ](k∈Z) C.[6k,6k+3](k∈Z) D.[6k-3,6k](k∈Z) 3.若將函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移π12個單位長度,則平移后圖象的對稱軸為(　　) A.x=kπ2-π6(k∈Z) B.x=kπ2+π6(k∈Z) C.x=kπ2-π12(k∈Z) D.x=kπ2+π12(k∈Z) 4.(20xx天津,理4)設(shè)θ∈R,則“θ-π12<π12”是“sin θ<12”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 5.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ

3、|<π2的圖象關(guān)于直線x=π3對稱,若它的最小正周期為π,則函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心是(　　) A.π3,1 B.π12,0 C.5π12,0 D.-π12,0 6.(20xx北京,理12)在平面直角坐標系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin α=13,則cos(α-β)=　　　　　.  7.定義一種運算:(a1,a2)?(a3,a4)=a1a4-a2a3,將函數(shù)f(x)=(3,2sin x)?(cos x,cos 2x)的圖象向左平移n(n>0)個單位所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù),則n的最小值為　　　　　.  8

4、.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分圖象如圖所示,則f(x)=　　　　　.  9.已知函數(shù)f(x)=sin x+λcos x的圖象的一個對稱中心是點π3,0,則函數(shù)g(x)=λsin xcos x+sin2x的圖象的一條對稱軸是　　　　　.(寫出其中的一條即可)  10.(20xx浙江,18)已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(x∈R). (1)求f2π3的值; (2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 11.已知函數(shù)f(x)=sin2x

5、-sin2x-π6,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在區(qū)間-π3,π4上的最大值和最小值. 思維提升訓練 12.下圖是函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分圖象,其中A,B兩點之間的距離為5,則f(-1)等于(　　) A.2 B.3 C.-3 D.-2 13.(20xx天津,理7)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f5π8=2,f11π8=0,且f(x)的最小正周期大于2π,則(　　)

6、 A.ω=23,φ=π12 B.ω=23,φ=-11π12 C.ω=13,φ=-11π24 D.ω=13,φ=7π24 14.函數(shù)y=11-x的圖象與函數(shù)y=2sin πx(-2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 15.如果兩個函數(shù)的圖象平移后能夠重合,那么稱這兩個函數(shù)為“互為生成”函數(shù).給出下列四個函數(shù): ①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=2(sin x+cos x); ③f(x)=sin x;④f(x)=2sin x+2. 其中為“互為生成”函數(shù)的是　　　　　.(填序號)  16.(20xx江蘇,12)如

7、圖,在同一個平面內(nèi),向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為α,且tan α=7,OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),則m+n=　　　　　.  17.已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)g(x)=cos x的圖象經(jīng)如下變換得到:先將g(x)圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),再將所得到的圖象向右平移π2個單位長度. (1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其圖象的對稱軸方程; (2)已知關(guān)于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)內(nèi)有兩個不同的解α,β. ①求實數(shù)m的取值范圍; ②證明:cos(α-β)=

8、2m25-1. 參考答案 專題能力訓練9　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 能力突破訓練 1.D　解析由題意,為得到函數(shù)y=sin2x-π3=sin2x-π6,只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有點向右平行移動π6個單位長度,故選D. 2.D　解析∵函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象與直線y=a(0<a<A)的三個相鄰交點的橫坐標分別是2,4,8,∴T=2πω=6,∴ω=π3,且當x=3時函數(shù)取得最大值, ∴π3×3+φ=π2+2nπ,n∈Z. ∴φ=-π2+2nπ,n∈Z. ∴f(x

9、)=Asinπ3x-π2(A>0). 令2kπ+π2≤π3x-π2≤2kπ+3π2,k∈Z. ∴6k+3≤x≤6k+6,k∈Z,∵周期T=6, ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[6k-3,6k],k∈Z,故選D. 3.B　解析由題意可知,將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移π12個單位長度得y=2sin2x+π12=2sin2x+π6的圖象,令2x+π6=π2+kπ(k∈Z),得x=kπ2+π6(k∈Z).故選B. 4.A　解析當θ-π12<π12時,0<θ<π6,∴0<sinθ<12. ∴“θ-π12<π12”是“sinθ<12”的充分條

10、件. 當θ=-π6時,sinθ=-12<12,但不滿足θ-π12<π12. ∴“θ-π12<π12”不是“sinθ<12”的必要條件. ∴“θ-π12<π12”是“sinθ<12”的充分而不必要條件.故選A. 5.B　解析由題意知T=π,則ω=2. 由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=π3對稱, 得2×π3+φ=π2+kπ(k∈Z), 即φ=-π6+kπ(k∈Z). ∵|φ|<π2,∴φ=-π6,∴f(x)=Asin2x-π6. 令2x-π6=kπ(k∈Z),則x=π12+k2π(k∈Z). ∴函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心為π12,

11、0.故選B. 6.-79　解析方法1:因為角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱,根據(jù)三角函數(shù)定義可得sinβ=sinα=13,cosβ=-cosα,因此,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-2232+132=-79. 方法2:由角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,則cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos2α=2sin2α-1=2×132-1=-79. 7.5π12　解析f(x)=3cos2x-2sinxcosx=3cos2x-sin2x=2cos2x+π6,將f(x)的圖象向左平移n個單位對應的函數(shù)解析式為f(x)=2

12、cos2(x+n)+π6=2cos2x+2n+π6,要使它為偶函數(shù),則需要2n+π6=kπ(k∈Z),所以n=kπ2-π12(k∈Z).因為n>0,所以當k=1時,n有最小值5π12. 8.2sinπ8x+π4　解析由題意得A=2,函數(shù)的周期為T=16. ∵T=2πω,∴ω=π8,此時f(x)=2sinπ8x+φ. 由f(2)=2,即sinπ8×2+φ=sinπ4+φ=1, 則π4+φ=2kπ+π2,k∈Z, 解得φ=2kπ+π4,k∈Z. ∵|φ|<π2,∴φ=π4, ∴函數(shù)的解析式為f(x)=2sinπ8x+π4. 9.x=-π3(答案不唯一)　解析將

13、點π3,0代入f(x)=sinx+λcosx,得λ=-3.g(x)=-3sinxcosx+sin2x=-32sin2x+12-12cos2x=12-sin2x+π6,令2x+π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π6,k∈Z.由k=-1,得x=-π3. 10.解(1)由sin2π3=32,cos2π3=-12, f2π3=322--122-23×32×-12, 得f2π3=2. (2)由cos2x=cos2x-sin2x與sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-3sin2x=-2sin2x+π6. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函數(shù)的性

14、質(zhì)得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z, 解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z, 所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是π6+kπ,2π3+kπ (k∈Z). 11.解(1)由已知,有 f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-π32 =1212cos2x+32sin2x-12cos2x =34sin2x-14cos2x=12sin2x-π6. 所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)因為f(x)在區(qū)間-π3,-π6上是減函數(shù),在區(qū)間-π6,π4上是增函數(shù),f-π3=-14,f-π6=-12,fπ4=34.所以f(x)在區(qū)間-π3,π4上的最大值為34,

15、最小值為-12. 思維提升訓練 12.A　解析設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T,因為A,B兩點之間的距離為5,所以T22+42=5,解得T=6. 所以ω=2πT=π3. 又圖象過點(0,1),代入得2sinφ=1, 所以φ=2kπ+π6或φ=2kπ+5π6(k∈Z). 又0≤φ≤π,所以φ=π6或φ=5π6.所以f(x)=2sinπ3x+π6或f(x)=2sinπ3x+5π6. 對于函數(shù)f(x)=2sinπ3x+π6,當x略微大于0時,有f(x)>2sinπ6=1,與圖象不符,故舍去. 綜上,f(x)=2sinπ3x+5π6. 故f(-1)=2sin-π3+5π6=2.

16、 13.A　解析由題意可知,2πω>2π,11π8-5π8≥14·2πω, 所以23≤ω<1.所以排除C,D. 當ω=23時,f5π8=2sin5π8×23+φ =2sin5π12+φ=2, 所以sin5π12+φ=1. 所以5π12+φ=π2+2kπ,即φ=π12+2kπ(k∈Z). 因為|φ|<π,所以φ=π12.故選A. 14.D　解析函數(shù)y1=11-x,y2=2sinπx的圖象有公共的對稱中心(1,0),作出兩個函數(shù)的圖象如圖. 當1<x≤4時,y1<0,而函數(shù)y2在(1,4)上出現(xiàn)1.5個周期的圖象, 在1,32

17、和52,72上是減函數(shù);在32,52和72,4上是增函數(shù). 所以函數(shù)y1在(1,4)上函數(shù)值為負數(shù),且與y2的圖象有四個交點E,F,G,H. 相應地,y1在(-2,1)上函數(shù)值為正數(shù),且與y2的圖象有四個交點A,B,C,D, 且xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的橫坐標之和為8. 15.①④　解析首先化簡題中的四個解析式可得:①f(x)=2sinx+π4,②f(x)=2sinx+π4,③f(x)=sinx,④f(x)=2sinx+2.可知③f(x)=sinx的圖象要與其他的函數(shù)圖象重合,單純經(jīng)過平移不能完成,必須經(jīng)過伸縮變換才能實現(xiàn),所以③f(x)=sinx不能

18、與其他函數(shù)成為“互為生成”函數(shù);同理①f(x)=2sinx+π4的圖象與②f(x)=2sinx+π4的圖象也必須經(jīng)過伸縮變換才能重合,而④f(x)=2sinx+2的圖象可以向左平移π4個單位,再向下平移2個單位即可得到①f(x)=2sinx+π4的圖象,所以①④為“互為生成”函數(shù). 16.3　解析|OA|=|OB|=1,|OC|=2,由tanα=7,α∈[0,π]得0<α<π2,sinα>0,cosα>0,tanα=sinαcosα,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα=7210,cosα=210,OC·OA=15,OC·

19、OB=1,OA·OB=cosα+π4=-35,得方程組m-35n=15,-35m+n=1,解得m=54,n=74,所以m+n=3. 17.(1)解將g(x)=cosx的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)得到y(tǒng)=2cosx的圖象,再將y=2cosx的圖象向右平移π2個單位長度后得到y(tǒng)=2cosx-π2的圖象,故f(x)=2sinx. 從而函數(shù)f(x)=2sinx圖象的對稱軸方程為x=kπ+π2(k∈Z). (2)①解f(x)+g(x)=2sinx+cosx =525sinx+15cosx =5sin(x+φ)其中sinφ=15,cosφ=25. 依題意,si

20、n(x+φ)=m5在[0,2π)內(nèi)有兩個不同的解α,β當且僅當m5<1, 故m的取值范圍是(-5,5). ②證法一因為α,β是方程5sin(x+φ)=m在[0,2π)內(nèi)的兩個不同的解, 所以sin(α+φ)=m5,sin(β+φ)=m5. 當1≤m<5時,α+β=2π2-φ, 即α-β=π-2(β+φ); 當-5<m<1時,α+β=23π2-φ, 即α-β=3π-2(β+φ), 所以cos(α-β)=-cos2(β+φ) =2sin2(β+φ)-1 =2m52-1=2m25-1. 證法二因為α,β是方程5sin(x+φ)=m在[0,2π)內(nèi)的兩個不同的解, 所以sin(α+φ)=m5,sin(β+φ)=m5. 當1≤m<5時,α+β=2π2-φ, 即α+φ=π-(β+φ); 當-5<m<1時,α+β=23π2-φ, 即α+φ=3π-(β+φ). 所以cos(α+β)=-cos(β+φ). 于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)] =cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ) =-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ) =-1-m52+m52=2m25-1.