高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第3章 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 第三課時(shí)參考教案

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1、2019屆 北師大版數(shù)學(xué)精品資料 第三課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（三） 一、教學(xué)目標(biāo)： 1、使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用； 2、提高將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。 二、教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題． 教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題． 三、教學(xué)方法：探究歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過(guò)程 （一）、創(chuàng)設(shè)情景 生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱(chēng)為優(yōu)化問(wèn)題．通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ撸@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問(wèn)題． （二）、新課探

2、究 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題，主要有以下幾個(gè)方面： 1、與幾何有關(guān)的最值問(wèn)題； 2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問(wèn)題； 3、與利潤(rùn)及其成本有關(guān)的最值問(wèn)題； 4、效率最值問(wèn)題。 解決優(yōu)化問(wèn)題的方法：首先是需要分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過(guò)創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問(wèn)題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得以解決，在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具． 利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路： 解決數(shù)學(xué)模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題 優(yōu)化問(wèn)題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

3、 優(yōu)化問(wèn)題的答案 建立數(shù)學(xué)模型 （三）、典例分析 例1、磁盤(pán)的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題 計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤(pán)上。磁盤(pán)是帶有磁性介質(zhì)的圓盤(pán)，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長(zhǎng)弧段可作為基本存儲(chǔ)單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個(gè)基本單元通常被稱(chēng)為比特（bit）。 為了保障磁盤(pán)的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤(pán)格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù)。 問(wèn)題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤(pán)，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域． （1）是不是越小，磁盤(pán)

4、的存儲(chǔ)量越大？（2）為多少時(shí)，磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量（最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息）？ 解：由題意知：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)×每磁道的比特?cái)?shù)。 設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿(mǎn)，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)。所以，磁盤(pán)總存儲(chǔ)量 × （1）它是一個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大． （2）為求的最大值，計(jì)算． 令，解得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 因此時(shí)，磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量。此時(shí)最大存儲(chǔ)量為 例2、汽油的使用效率何時(shí)最高

5、 我們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車(chē)的速度（單位：km/h）之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量是汽車(chē)速度的函數(shù)．根據(jù)你的生活經(jīng)驗(yàn)，思考下面兩個(gè)問(wèn)題： （1）是不是汽車(chē)的速度越快，汽車(chē)的消耗量越大？ （2）“汽油的使用率最高”的含義是什么？ 分析：研究汽油的使用效率（單位：L/m）就是研究秋游消耗量與汽車(chē)行駛路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（單位：L），表示汽油行駛的路程（單位：km）．這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問(wèn)題． 通過(guò)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車(chē)在行駛過(guò)程中，汽油平均消耗率（即每小

6、時(shí)的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車(chē)行駛的平均速度（單位：km/h）之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系． 從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問(wèn)題．因此，我們首先需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率（即每小時(shí)的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車(chē)行駛的平均速度（單位：km/h）之間關(guān)系的問(wèn)題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問(wèn)題． 解：因?yàn)? 這樣，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求的最小值．從圖象上看，表示經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的直線的斜率．進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，其斜率最?。诖饲悬c(diǎn)處速度約為90． 因此，當(dāng)汽車(chē)行駛距離一定時(shí)，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時(shí)的車(chē)速約

7、為90．從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即，約為 L． 例3、在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱(chēng)為成本函數(shù)同，記為C(x)，出售x單位產(chǎn)品的收益稱(chēng)為收益函數(shù)，記為R(x)，R(x)－C(x)稱(chēng)為利潤(rùn)函數(shù)，記為P(x)。 （1）、如果C(x)＝，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時(shí)，邊際最低？(邊際成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個(gè)單位時(shí)成本的增加量) （2）、如果C(x)=50x＋10000，產(chǎn)品的單價(jià)P＝100－0.01x，那么怎樣定價(jià)，可使利潤(rùn)最大？ 變式：已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為．求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤(rùn)L最大？ 分析

8、：利潤(rùn)L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價(jià)格．由此可得出利潤(rùn)L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn)． 解：收入， 利潤(rùn) 令，即，求得唯一的極值點(diǎn) 答：產(chǎn)量為84時(shí)，利潤(rùn)L最大 （四）、課堂練習(xí)：在甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問(wèn)供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最??？ 解析 根據(jù)題意知，只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x km,則∵BD=

9、40,AC=50－x, ∴BC= 又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意有 y=30(5a－x)+5a (0＜x＜50) y′=－3a+,令y′=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義， 函數(shù)在x=30(km)處取得最小值，此時(shí)AC=50－x=20(km)∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最省 （五）．回顧總結(jié)建立數(shù)學(xué)模型 ：1．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路： 解決數(shù)學(xué)模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題 優(yōu)化問(wèn)題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題 優(yōu)化問(wèn)題的答案 2．解決優(yōu)化問(wèn)題的方法：通過(guò)搜集大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)

10、學(xué)模型，再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得到解決．在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個(gè)有利的工具。 （六）．布置作業(yè)：1、一書(shū)店預(yù)計(jì)一年內(nèi)要銷(xiāo)售某種書(shū)15萬(wàn)冊(cè)，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費(fèi)30元，每千冊(cè)書(shū)存放一年要耗庫(kù)費(fèi)40元，并假設(shè)該書(shū)均勻投放市場(chǎng)，問(wèn)此書(shū)店分幾次進(jìn)貨、每次進(jìn)多少冊(cè)，可使所付的手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最少？ 【解】假設(shè)每次進(jìn)書(shū)x千冊(cè)，手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和為y元，由于該書(shū)均勻投放市場(chǎng)，則平均庫(kù)存量為批量之半，即，故有y ＝×30＋×40，y′＝－＋20， 令y′＝0，得x ＝15，且y″＝，f″(15)＞0，所以當(dāng)x ＝15時(shí)，y取得極小值，且極

11、小值唯一，故 當(dāng)x ＝15時(shí)，y取得最小值，此時(shí)進(jìn)貨次數(shù)為＝10（次）． 即該書(shū)店分10次進(jìn)貨，每次進(jìn)15000冊(cè)書(shū)，所付手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最少． 2、有甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城離岸40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距50千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費(fèi)用分別為每千米500元和700元，問(wèn)水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處，才能使水管費(fèi)用最?。? 【解】設(shè)水廠D點(diǎn)與乙城到岸的垂足B點(diǎn)之間的距離為x千米，總費(fèi)用為y元， 則CD ＝．y ＝500（50－x）＋700＝25000－500 x ＋700， y′＝－500＋700 · (x 2＋1600)· 2 x＝－500＋，令y′＝0，解得x ＝．答：水廠距甲距離為50－千米時(shí)，總費(fèi)用最?。? 【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)要求的最大（?。┲档淖兞縴與幾個(gè)變量相關(guān)時(shí)，我們總是先設(shè)幾個(gè)變量中的一個(gè)為x，然后再根據(jù)條件x來(lái)表示其他變量，并寫(xiě)出y的函數(shù)表達(dá)式f（x）． 五、教后反思：