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1、
第十四周周清 橢圓及其標準方程、橢圓幾何性質
核心知識
1．橢圓的概念
在平面內到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡(或集合)叫橢圓．這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數：
(1)若a＞c，則集合P為橢圓；
(2)若a＝c，則集合P為線段；
(3)若a＜c，則集合P為空集．
2．2．橢圓的標準方程和幾何性質
標準方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
圖 形
性 質
2、
范 圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：坐標軸 對稱中心：原點
頂點
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0， a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸
長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的關系
c2＝a2－b2
自我檢測
1.若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為18，焦距為6，求橢圓的標準方程。
解析 ∵2a＋2b＝18，∴a＋b＝9，又∵2c＝6，∴c＝3，
3、則c2＝a2－b2＝9，故a－b＝1，從而可得a＝5，b＝4，∴橢圓的方程為＋＝1或＋＝1.
2. 設P是橢圓＋＝1上的點，若F1、F2是橢圓的兩個焦點，求|PF1|＋|PF2|
解析 依橢圓的定義知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.
3. 求以F1(0，－1)，F2(0,1)為焦點的橢圓C過點P，則橢圓C的方程.
解析 由題意得，c＝1,2a＝|PF1|＋|PF2|＝ ＋＝2.故a＝，b＝1.則橢圓的標準方程為x2＋＝1.
4. 已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且過點P，求橢圓的方程.
解析 設橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，將點(－5,4)代入得＋＝1，又離心率e＝＝?e2＝＝＝，解之得a2＝45，b2＝36，故橢圓的方程為＋＝1.
5. 已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，求橢圓的離心率.
解析 由題意得2a＝2b?a＝b，又a2＝b2＋c2?b＝c?a＝c?e＝.
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