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1、北師大版2019-2020學年數(shù)學精品資料
聚焦反證法
反證法是間接證明的一種基本方法，常常是解決某些“疑難”問題的有力工具．對于一些用直接證明的方法難以證明的結論，常采用反證法．熟練掌握并運用反證法，對提高同學們的解題能力大有裨益．下面就反證法的要點進行歸納整理．
1．定義：一般地，假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．
2．反證法的基本思想是：否定結論就會導致矛盾．它可以用下面的程序來表示：“否定———推理———矛盾———肯定．”
“否定”———假設所要證明的結論不成立，而結論的反面成立．
2、
“推理”———從已知條件和假設出發(fā)，應用一系列的論據(jù)進行推理．
“矛盾”———通過推導，推出與實際“需要”不符、與“公理”矛盾、與“已知定理”矛盾、與“定義”矛盾、與“題設”矛盾、自相矛盾等．
“肯定”———由于推理過程正確．故矛盾是由假設所引起的，因此，假設是錯誤的，從而肯定結論是正確的．
3．應用反證法的原則：正難則反，即如果一個命題的結論難以用直接法證明時可考慮用反證法．
4．宜用反證法證明的題型：①易導出與已知矛盾的命題；②一些基本定理；③“否定性”命題；④“惟一性”命題；⑤“必然性”命題；⑥“至少”、“至多”命題等．
5．注意事項：（１）應用反證
3、法證明命題時，反設必須恰當．如“都是”的否定是“不都是”、“至少一個”的否定是“不存在”等．
（2）用反證法證明時最好在開篇注明“下面用反證法證明”，以告知讀者按反證法的思路閱讀或評卷．
下面舉例說明“反證法”在證題中的應用．
例1 設的公比分別為．
假設是等比數(shù)列，則有只需證．
由于，
而．
從而有，而，
故有，即，這與已知相矛盾．因此假設不成立，故不是等比數(shù)列．
點評：當遇到結論為否定形式的命題時，常常采用反證法．
例2 求證：兩條平行線中一條與一個平面相交，那么另一條也與這個平面相交．
已知：平面，如圖1所示．
求證
4、：直線和平面相交．
證明：假設和平面不相交，即或．
?。?）若，因為，
所以，這與相矛盾．
?。?）如果，因為，所以和確定一個平面，顯然平面與平面相交．
設，因為，所以．
又，從而且．
故，這與矛盾．
由（1），（2）可知，假設不成立．故直線與平面相交．
例3 求證：正弦函數(shù)沒有比小的正周期．
證明：假設是正弦函數(shù)的周期，且，則對任意實數(shù)都有成立．
令，得，即，從而對任意實數(shù)都有，這與矛盾．
所以正弦函數(shù)沒有比小的正周期．
例4 今有50位同學，男女各一半，圍坐一圈，是否存在一種座位的安排方法，使得每一位同學左右兩側(cè)的兩位同學為一男一女？證明結論．
解：不存在這樣的座位安排．
證明：假設存在這樣的安排，則每一位同學必與一同性別的同學相鄰，若以Ｍ表示男同學，Ｗ表示女同學，則每一對相鄰而坐的男性（女性）同學的左右兩側(cè)必為兩對相鄰而坐的女性（或男性）同學，如圖2所示，因此男性或女性同學數(shù)應是偶數(shù)，這和男性或女性同學數(shù)各占25矛盾，所以這種安排方法不存在．
2020高中數(shù)學北師大版選修22教案：第1章 聚焦反證法
