萬變不離其宗：高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修二、三：專題二 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 Word版含解析

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1、一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí)1四個(gè)公理公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)公理 2：過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行2空間直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類：共面直線平行相交異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)(2)異面直線所成的角：定義：設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線aa,bb,把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍：0，2 (3)定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

2、3空間直線與平面,平面與平面之間的位置關(guān)系圖形語言符號(hào)語言公共點(diǎn)直線與平面相交aA1 個(gè)平行a0 個(gè)在平面內(nèi)a無數(shù)個(gè)平面平行0 個(gè)與平面相交l無數(shù)個(gè)4直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理平面外一條直線與這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行(線線平行線面平行)la,al,l性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行線線平行”)l,l,b,lb5.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行面面平行”)a,

3、b,abP,a,b,性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行,ab,ab6直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直a，babOlalbl性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行abab7.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面互相垂直ll性質(zhì)定理兩個(gè)平面互相垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面lalal8.空間角(1)直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平

4、面所成的角,如圖,PAO就是斜線AP與平面所成的角線面角的范圍：(2)二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的棱兩個(gè)半平面叫做二面角的面如圖的二面角,可記作：二面角l或二面角PABQ二面角的平面角如圖,過二面角l的棱l上一點(diǎn)O在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作BOl,AOl,則AOB就叫做二面角l的平面角二面角的范圍設(shè)二面角的平面角為,則當(dāng)2時(shí),二面角叫做直二面角二、題之本：思想方法技巧1.空間線面關(guān)系的組合判斷題,是一類常見的客觀題.解這類題,一要準(zhǔn)確把握、理解相關(guān)概念；二要熟悉“推理論證加反例推斷”的方法；三要借助空間直觀.如教室就是一個(gè)長方體,建議同學(xué)們學(xué)立體幾

5、何時(shí)充分借助這一模型.2.要重視三種數(shù)學(xué)語言文字語言、符號(hào)語言、圖形語言的互譯,特別要培養(yǎng)準(zhǔn)確使用符號(hào)語言的能力.在空間圖形中,點(diǎn)是最基本的元素,點(diǎn)與線、點(diǎn)與面是元素與集合的關(guān)系,直線與平面是集合與集合的關(guān)系,防止出現(xiàn)符號(hào)“”、“”混用的錯(cuò)誤.3.求兩條異面直線所成角的步驟是：先作圖,再證明,后計(jì)算.作圖,往往過其中一條直線上一點(diǎn)作另外一條直線的平行線,或過空間一特殊點(diǎn)分別作兩條直線的平行線,即平移線段法,此法是求異面直線所成角的常用方法,其實(shí)質(zhì)是把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題；證明,即證明作圖中所產(chǎn)生的某個(gè)角是異面直線所成的角；計(jì)算,一般在一個(gè)三角形中求解,這往往需要運(yùn)用正弦定理或余弦定理來解決,

6、如果計(jì)算出來的角度是鈍角,則需要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的銳角,因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是0，2.4.證明“線共面”或者“點(diǎn)共面”問題時(shí),運(yùn)用同一法,可以先由部分直線或者點(diǎn)確定一個(gè)平面,再證明其余的直線或者其余的點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi).5.證明“點(diǎn)共線”問題時(shí),可以將這些點(diǎn)看做是兩個(gè)平面的交線上的點(diǎn),只要證明這些點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn),根據(jù)公理 3 就可以確定這些點(diǎn)都在同一條直線上,即點(diǎn)共線.6.異面直線定義中“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”是指“不可能找到一個(gè)平面能同時(shí)經(jīng)過這兩條直線”,也可以理解為“既不平行也不相交的兩條直線”,但是不能理解為“分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”.7.探求常規(guī)的異面直線所成角的問題,

7、首先要理清求角的基本步驟為“一作,二證,三求”,通過平行線或補(bǔ)形平移法把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線進(jìn)而求其夾角,其中空間選點(diǎn)任意但要靈活,如常選擇“端點(diǎn),中點(diǎn),等分點(diǎn)”,通過三角形的中位線平行于底邊,長方體對(duì)面上的平行線進(jìn)行平移等.這是研究空間圖形的一種基本思路,即把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題.8.證明線線平行的方法(1)利用平面幾何知識(shí)；(2)平行公理：ab,bcac；(3)線面平行的性質(zhì)定理：a,a,bab；(4)面面平行的性質(zhì)定理：,a,bab；(5)線面垂直的性質(zhì)定理：m,nmn.9.證明直線和平面平行的方法(1)利用定義(常用反證法)；(2)判定定理：a ,b,且aba；(3)面面平

8、行性質(zhì)：,ll；(4)向量法.m ,n n,mn nm；(5)空間平行關(guān)系傳遞性：mn,m,n ,mn；(6),l,l l.10.證明面面平行的方法(1)利用定義(常用反證法)；(2)利用判定定理：a,b,abP,a,b；推論：a,b,m,n,abP,mnQ,am,bn(或an,bm)；(3)利用面面平行的傳遞性：；(4)利用線面垂直的性質(zhì)：ll.11.應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理時(shí),關(guān)鍵是找(或作)輔助線或平面,對(duì)此需要強(qiáng)調(diào)的是：(1)輔助線、輔助平面要作得有理有據(jù),不能隨意添加；(2)輔助面、輔助線具有的性質(zhì),一定要以某一性質(zhì)定理為依據(jù),不能主觀臆斷.12.注意線線平行、線面平行、面面平行間的相

9、互轉(zhuǎn)化線線平行判定定理性質(zhì)定理線面平行判定定理性質(zhì)定理面面平行.應(yīng)用判定定理時(shí),注意由“低維”到“高維”：“線線平行”“線面平行”“面面平行”；應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí),注意由“高維”到“低維”：“面面平行”“線面平行”“線線平行”.13.判斷(證明)線線垂直的方法(1)根據(jù)定義；(2)如果直線ab,ac,則bc；(3)如果直線a面,c,則ac；(4)向量法：兩條直線的方向向量的數(shù)量積為零.14.證明直線和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：兩相交直線a,b,ac,bcc.(2)ab,ab；(3)利用面面平行的性質(zhì)：,aa；(4)利用面面垂直的性質(zhì)：,m,a,ama；,mm.15.證明面面垂直的主要方

10、法(1)利用判定定理.在審題時(shí)要注意直觀判斷哪條直線可能是垂線,充分利用等腰三角形底邊的中線垂直于底邊,勾股定理的逆定理等結(jié)論；(2)用定義證明.只需判定兩平面所成二面角為直二面角；(3) 如 果 一 個(gè) 平 面 垂 直 于 兩 個(gè) 平 行 平 面 中 的 一 個(gè) , 則 它 也 垂 直 于 另 一 個(gè) 平 面 ：,.16.平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí),常作的輔助線是在其中一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線,把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直,進(jìn)而可以證明線線垂直(必要時(shí)可以通過平面幾何的知識(shí)證明垂直關(guān)系),構(gòu)造(尋找)二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的距離等.17.注意線線垂直、線面垂直、面面垂直間的相互轉(zhuǎn)

11、化18.線面角、二面角求法求這兩種空間角的步驟：根據(jù)線面角的定義或二面角的平面角的定義,作(找)出該角,再解三角形求出該角,步驟是作(找)證求(算)三步曲.也可用射影法：設(shè)斜線段AB在平面內(nèi)的射影為AB,AB與所成角為,則 cos|AB|AB|；設(shè)ABC在平面內(nèi)的射影三角形為ABC,平面ABC與所成角為,則 cosSABCSABC.三、題之變：課本典例改編1.1. 原 題 （ 必 修原 題 （ 必 修 2 2 第第 6262 頁 習(xí) 題頁 習(xí) 題 2.2A2.2A 組 第 八 題組 第 八 題 ） 如 圖 , 直 線 AA1,BB1,CC1 相 交 于 點(diǎn)O,AO=A1O,BO=B1O,CO=

12、C1O,求證：平面 ABC平面 A1B1C1.改編改編如圖,直線 AA1、BB1、CC1 相交于點(diǎn) O,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O,形成兩個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)、底面水平的三棱錐,設(shè)三棱錐高均為 1,若上面三棱錐中裝有高度為 0.5 的液體,若液體流入下面的三棱錐,則液體高度為_. .【答案】1273.2.2.原題（必修原題（必修 2 2 第第 6363 頁習(xí)題頁習(xí)題 2.2B2.2B 組第四題組第四題）如圖,透明塑料制成的長方體容器 ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水,固定容器底面一邊 BC 于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下面五個(gè)命題:其中所有正確命題的序號(hào)是_,為什么？

13、(1)有水的部分始終呈棱柱形；(2)沒有水的部分始終呈棱柱形；(3)水面 EFGH 所在四邊形的面積為定值；(4)棱 A1D1始終與水面所在平面平行；(5)當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí),BFBE是定值.改編改編如圖,透明塑料制成的長方體容器 ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水,固定容器底面一邊 BC 于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下面七個(gè)命題,真命題的有_.(1)有水的部分始終呈棱柱形；(2)沒有水的部分始終呈棱柱形；(3)水面 EFGH 所在四邊形的面積為定值；(4)棱 A1D1始終與水面所在平面平行；(5)當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí),BFBE是定值；(6)當(dāng)容器任意傾斜時(shí),

14、 水面可以是六邊形；(7)當(dāng)容器任意傾斜時(shí), 水面可以是五邊形.（1 1）（2 2）（3 3）【解析】 經(jīng)分析可得答案為（1）,（2）,（4）,（5）,（6）,（7）.（6）（7）3.3.原題（必修原題（必修 2 2 第第 6666 頁例頁例 2 2）改編改編如圖 41,已知正四棱柱1111ABCDABC D中,底面邊長2AB ,側(cè)棱1BB的長為 4,過點(diǎn)B作1BC的的垂線交側(cè)棱1CC于點(diǎn)E,交1BC于點(diǎn)F（）求證：1AC 平面BED；（）求1AB與平面BDE所成的角的正弦值【解析】 （）如圖 42,以D為原點(diǎn),DA、DC、1DD所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz1111(0

15、,0,0), (2,0,0), (2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),(0,2,4),(0,0,4)DABCABCD設(shè)(0,2, )Et,則1( 2,0, ),( 2,0, 4)BEt BC 1BEBC,14040BE BCt 1t ,(0,2,1)E,( 2,0,1)BE 又1( 2,2, 4),(2,2,0)ACDB ,14040AC BE 且14400AC DB 1ACDB 且1ACBE 1ACBD 且1ACBE 1AC 平面BDE4.4. 原 題 （ 必 修原 題 （ 必 修 2 2 第第 7979 頁 復(fù) 習(xí) 參 考 題頁 復(fù) 習(xí) 參 考 題 A A 組 第

16、 十 題組 第 十 題 ） 如 圖 , 已 知 平 面, , 且, ,ABPCPDCD 是垂足,試判斷直線 AB 與 CD 的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論.改編改編如圖,已知平面, ,且,AB PCPDC D是垂足 （）求證：AB 平面PCD； （）若1,2PCPDCD,試判斷平面與平面的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論5.5.原題（必修原題（必修 2 2 第第 7979 頁復(fù)習(xí)參考題頁復(fù)習(xí)參考題 B B 組第一題組第一題）如圖 5,邊長為 2 的正方形ABCD中,（1）點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),將,AEDDCF分別沿,DE DF折起,使,A C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A,求證：A DEF（2）當(dāng)14BEBFBC時(shí),求三棱錐AEFD的體積改編改編如圖 51,在矩形ABCD中,2,1,ABADE是CD的中點(diǎn),以AE為折痕將DAE向上折起,使D為D,且平面D AE平面ABCE（）求證：ADEB ；（）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值【解析】 （）在Rt BCE中,222BEBCCE,在Rt ADE中,222AED AD E,22222ABBEAE,AEBE平面AED 平面ABCE,且交線為AE,BE 平面AEDAD 平面AED,ADBE （）設(shè)AC與BE相交于點(diǎn)F,由（）知ADBE ,ADED,AD 平面EBD,AD 平面AED,平面ABD 平面EBD,且交線為BD,