新教材高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 類比推理應(yīng)用中錯(cuò)誤辨析

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 類比推理應(yīng)用中錯(cuò)誤辨析 類比在數(shù)學(xué)思維中的作用主要表現(xiàn)為發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、建立模型。歐拉曾經(jīng)說過，類比是偉大的引路人，他曾多次利用類比的方法做出重大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。然而，類比推理在所有的推理中是最不嚴(yán)格、最不確定的，它是一種或然推理，其結(jié)論正確與否有待實(shí)踐來證明。本文所舉幾例正是學(xué)生在解題正不恰當(dāng)?shù)睦妙惐戎率菇忸}失誤。 應(yīng)用類比推理時(shí)只有本質(zhì)相同或相近的事物才能進(jìn)行類比，如果把僅僅形式上相似而本質(zhì)上都不相同的事物不分青紅皂白的亂用類比，就會(huì)造成錯(cuò)誤。 1、性質(zhì)類比致誤 例1、函數(shù)的最小正周期是____________. 錯(cuò)解：因?yàn)楹瘮?shù)y＝

2、tanx的最小正周期是，所以函數(shù)的最小正周期是. 剖析：先前研究過函數(shù)的周期性，由其圖象（圖1）可知它的最小正周期是y＝sinx周期的一半，由此類比；認(rèn)為的周期就是y＝tanx周期的一半。 現(xiàn)作出的圖象（圖2），易見其最小正周期仍為. 2、方法類比致誤 例2、一張三角形紙片內(nèi)有99個(gè)點(diǎn)，連同該三角形的頂點(diǎn)共102個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)無任何三點(diǎn)共線。若以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)把三角形紙片剪成小三角形，可得到小三角形紙片（ ）個(gè)。 A、 B、 C、200 D199 錯(cuò)解：從這99（或102）個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，可以得到三角形的

3、個(gè)數(shù)為（或），因而選A（或B） 剖析：此題初看似幾何組合問題，因而誤用組合計(jì)數(shù)來計(jì)算結(jié)果。但△DEC顯然不合要求（圖3）是否可用“去雜法”求解呢？事實(shí)證明這一想法也很難實(shí)現(xiàn)，下面給出兩種正確解決方案： 解法1：設(shè)△ABC內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)所得符合條件的小三角形的個(gè)數(shù)我f（n），當(dāng)增加一個(gè)點(diǎn)H后（圖4），點(diǎn)H將它所在的△BCF又分成了3個(gè)小三角形：△BFH、△BCH、△CFH，即每增加一個(gè)點(diǎn)后，小三角形的個(gè)數(shù)就增加兩個(gè)，于是有fn＋1）＝f（n）＋2，所以f（n）是公差為2的等差數(shù)列，且首項(xiàng)f（1）＝3，所以f（n）＝2n＋1，則 f（99）＝299＋1＝199個(gè)，因而選D. 解

4、法2：將圖3中△ABC內(nèi)各點(diǎn)全部“拎”起，使之成為一個(gè)凸多面體（圖5），問題轉(zhuǎn)化為：已知一個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)V＝102，每個(gè)面都是三角形，求其面數(shù)F. 因?yàn)槔銛?shù)E＝F，代入歐拉公式V＋F＝E＋2得102＋F＝F＋2，所以F＝200，注意到△ABC已被剪掉，所以正確結(jié)果我200－1＝199個(gè)，選D. 點(diǎn)評(píng)：這一解法將平面圖形類比到空間圖形，轉(zhuǎn)化為多面體的面數(shù)問題，進(jìn)而利用歐拉公式來處理，手法之新穎令人拍案叫絕。 3、類比法則產(chǎn)生錯(cuò)誤 例3、求方程有實(shí)數(shù)根的條件。 解：因?yàn)樵匠逃袑?shí)數(shù)根，所以，所以，當(dāng)時(shí)，原方程有實(shí)根。 剖析：本題的方程是虛系數(shù)方程，條件既不是它有實(shí)數(shù)根的充

5、分條件，也不是必要條件。 正解：設(shè)方程有一實(shí)數(shù)根，則有 所以，＝0……………………………………（1） ………………………………………（2） 由（2）得＝－b，代入（1）得 所以，當(dāng)b＝0或b＝1時(shí)，原方程有實(shí)數(shù)根。 點(diǎn)評(píng)：在復(fù)數(shù)的運(yùn)算這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)中,首先要正確理解復(fù)數(shù)的各種運(yùn)算法則的條件和實(shí)質(zhì)。然后要明確實(shí)數(shù)集的運(yùn)算性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中哪些仍然適用，哪些又不適用,不能適用的要防止實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集的負(fù)遷移。即： (1)|Z|2≠Z2 　　(2)Z1－Z2不能確定正負(fù)； 　　(3)Z2≥0不成立； 　　(4)Z12＋Z22＝0不能推出Z1＝0，Z2＝0； 　　(5)實(shí)數(shù)集內(nèi)

6、的根式運(yùn)算法則在復(fù)集內(nèi)受到很大的約束，要盡量避免在復(fù)數(shù)運(yùn)算中使用根號(hào)，防止濫用根式運(yùn)算法則。在復(fù)數(shù)各種運(yùn)算法則的應(yīng)用吵僅要注重真正用，更重要的是要注重其逆向應(yīng)用和變形應(yīng)用。 例4、若a、b都是非零向量，a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，則a與b的夾角為________. 錯(cuò)解：由題意得 即 （1） －（2）得：46a.b=23b,即：2a.b=b…………………………………………（3） 消去b得：2a＝b 所以：，所以 剖析：在（3）中，不能約去b得出2a＝b，這一點(diǎn)與實(shí)數(shù)乘法是不同的。把（3）代入（1），可得于是cos所以，即a與b的夾角為。 從以上幾例可以看出，類比作為一種推理方法，既能成就偉大的發(fā)現(xiàn)，也會(huì)導(dǎo)致“美麗”的錯(cuò)誤，所以在學(xué)習(xí)中既要大膽地、創(chuàng)造性地運(yùn)用類比的方法提出猜想，也應(yīng)明確類比并不是 具有證明效果的推理方法，對(duì)類比的結(jié)果應(yīng)始終保持謹(jǐn)慎、探究的科學(xué)態(tài)度。通過圖形印證、特例反駁等各種手段進(jìn)行檢驗(yàn)，謹(jǐn)防類比惹了“禍”。