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1、新版數(shù)學北師大版精品資料
導數(shù)的創(chuàng)新應用
有好多數(shù)學問題，利用函數(shù)導數(shù)求解，可以使得有些數(shù)學問題得到簡化．下面選解幾例．
一、求數(shù)列的n項和
例1 已知x≠0，x≠－1，求數(shù)列1，2x，3x，…，nx，…的前n項和．
分析：根據(jù)題特點，可構造等式1 + x + x+ x+ … + x=，求導即可．
解：當x≠0，x≠－1時，1 + x + x+ x+ … + x=，兩邊都是關于x的函數(shù)，求導得：
1+ 2x + 3x+ …+ nx==．
評注：這樣的問題可以通過錯位相加(減)求和，但運用導數(shù)運算更加簡明．
二、求組合數(shù)的和
例2 求和：C+ 2C+ 3C
2、+ … + nC．
分析：根據(jù)題特點，可構造等式(1 + x)= 1 + Cx + Cx+ Cx+ … + Cx，求導即可．
解：由二項展開式，得：兩邊求導，得：
n(1 + x)= C+ 2Cx + 3Cx+ … + nCx ．
令上式x = 1，得：C+ 2C+ 3C+ … + nC= n·2．
評注：：利用組合數(shù)的性質或構造概率模型都可以求解，但運算量都比求導麻煩．
三、證明不等式
例3 證明：．
分析：構造函數(shù)，求導，再用單調性即可解決．
證明：構造，則．
該二次式的判別式，
，
是上的增函數(shù)．
，，而，
．
評注：本題并沒有千篇一律的將不等
3、式右邊也納入到所構造函數(shù)中，而是具體問題具體分析，考慮三角函數(shù)的有界性，用架橋鋪路，使問題得解.
四、方程根的問題
例4求證方程xlgx＝1在區(qū)間（2，3）有且僅有一個實根.
分析：可構造函數(shù)，利用導數(shù)法解決．
解：設y＝f(x)＝xlgx－1，∴y′＝lgx＋lge＝lgex ，
當x∈（2，3）時，y′＞0，∴f(x)在（2，3）上為增函數(shù)，
又f(2)＝2lg2－1＝lg0.4＜0，f(3)＝3lg3－1＝lg2.7＞0，
∴在（2，3）內(nèi)xlgx－1＝0有且僅有一個實根.
評注：本題是通過構造函數(shù)f(x)＝xlgx－1，利用導數(shù)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，3)上的單調性及函數(shù)f(x)在兩個端點的值的符號進行求解的.一般地，如果函數(shù)在區(qū)間(a，b)上具有單調性，那么，當f(a)f(b)＜0時，方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)有唯一解；當f(a)f(b)＞0時，方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)無實數(shù)解．
新版高中數(shù)學北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：導數(shù)的創(chuàng)應用
