【名校資料】人教A版理科數(shù)學(xué)高效訓(xùn)練：75 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ [A組　基礎(chǔ)演練能力提升] 一、選擇題 1．(2014年合肥一模)已知兩條直線m，n，兩個(gè)平面α，β.給出下面四個(gè)命題： ①m∥n，m⊥α?n⊥α； ②α∥β，m?α，n?β?m∥n； ③m∥n，m∥α?n∥α； ④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β. 其中正確命題的序號(hào)是(　　) A．①③　　　　　　　　　　 B．②④ C．①④ D．②③ 解析：對(duì)于①，由于兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面垂直，則另一條直線也與該平面垂直，因此①是正確的；對(duì)于②，分別位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線必沒(méi)有公共點(diǎn)，但它們不一定平行，因此②是錯(cuò)誤的；對(duì)

2、于③，直線n可能位于平面α內(nèi)，此時(shí)結(jié)論顯然不成立，因此③是錯(cuò)誤的；對(duì)于④，由m⊥α且α∥β得m⊥β，又m∥n，則n⊥β，因此④是正確的．故選C. 答案：C 2．用m，n表示兩條不同的直線，α表示平面，則下列命題正確的是(　　) A．若m∥n，n?α，則m∥α B．若m∥α，n?α，則m∥n C．若m⊥n，n?α，則m⊥α D．若m⊥α，n?α，則m⊥n 解析：對(duì)于A，可能出現(xiàn)m?α；對(duì)于B，m，n可以為異面直線；對(duì)于C，m，α可以相交，m也可以在平面α內(nèi)，故選D. 答案：D 3．a(chǎn)，b表示直線，α、β、γ表示平面． ①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，則α⊥β； ②若a?α，

3、a垂直于β內(nèi)任意一條直線，則α⊥β； ③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，則a⊥b； ④若a不垂直平面α，則a不可能垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線； ⑤若a⊥α，b⊥β，a∥b，則α∥β. 上述五個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是(　　) A．①②③ B．②④⑤ C．④⑤ D．②⑤ 解析：對(duì)①可舉反例如圖，需b⊥β才能推出α⊥β.對(duì)于③可舉反例說(shuō)明，當(dāng)γ不與α，β的交線垂直時(shí)，即可得到a，b不垂直；對(duì)于④，a只需垂直于α內(nèi)一條直線便可以垂直α內(nèi)無(wú)數(shù)條與之平行的直線．所以只有②⑤是正確的． 答案：D 4.(2014年深圳調(diào)研)如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E

4、是AC的中點(diǎn)，則下列正確的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 解析：因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以選C. 答案：C 5．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題中正確的是(　　) A．若m∥α，α∩β＝n，則m∥n B．若m⊥α，m⊥n，則n∥α

5、 C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β 解析：對(duì)于選項(xiàng)A，若m∥α，α∩β＝n，則m∥n，或m，n是異面直線，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，n可能在平面α內(nèi)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，m與β的位置關(guān)系還可以是m?β，m∥β，或m與β斜交，所以D錯(cuò)誤；由面面垂直的性質(zhì)可知C正確． 答案：C 6.(2014年衡水中模擬)如圖，正方體AC1的棱長(zhǎng)為1，過(guò)點(diǎn)A作平面A1BD的垂線，垂足為H，則以下命題中，錯(cuò)誤的命題是(　　) A．點(diǎn)H是△A1BD的垂心 B．AH垂直于平面CB1D1 C．AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1 D．直線AH和BB1所成角為45

6、 解析：A中，△A1BD為等邊三角形，∴四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各頂點(diǎn)的距離相等，∴A正確；∵CD1∥BA1，CB1∥DA1，CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正確；連接AC1，則AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理AC1⊥BA1，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三點(diǎn)共線，∴C正確，故選D. 答案：D 二、填空題 7．設(shè)α，β是空間內(nèi)兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β外的兩條不同直線．從“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫出

7、你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________(用序號(hào)表示)． 解析：將①③④作為條件，可結(jié)合長(zhǎng)方體進(jìn)行證明，即從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩條棱與其對(duì)面垂直，這兩個(gè)對(duì)面互相垂直，故①③④?②；對(duì)于②③④?①，可仿照前面的例子說(shuō)明． 答案：①③④?②(或②③④?①) 8.(2014年佛山模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)AF＝________時(shí)，CF⊥平面B1DF. 解析：由題意易知，B1D⊥平面ACC1A1， 所以B1D⊥CF. 要使CF⊥平面B1

8、DF，只需CF⊥DF即可． 令CF⊥DF，設(shè)AF＝x， 則A1F＝3a－x. 易知Rt△CAF∽R(shí)t△FA1D， 得＝，即＝， 整理得x2－3ax＋2a2＝0， 解得x＝a或x＝2a. 答案：a或2a[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)] 9.如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45. 其中正確的有________(把所有正確的序號(hào)都填上)． 解析：由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥

9、平面PAB，又PB?平面PAB，∴AE⊥PB，①正確；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯(cuò)；由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD，又AD?平面PAD，BC?平面PAD.∴BC∥平面PAD，∴直線BC∥平面PAE也不成立，③錯(cuò)；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45，∴④正確． 答案：①④ 三、解答題 10.如圖，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.[來(lái)源:] [來(lái)源:] (1)求證：平面AEC⊥平面ABE； (2)點(diǎn)F在BE上，若DE∥平面ACF，求的值．[來(lái)源:] 解析：(1)證明：∵ABCD為矩形， ∴A

10、B⊥BC，∵平面ABCD⊥平面BCE， ∴AB⊥平面BCE，∴CE⊥AB. ∵CE⊥BE，AB?平面ABE，BE?平面ABE，AB∩BE＝B，∴CE⊥平面ABE. ∵CE?平面AEC， ∴平面AEC⊥平面ABE. (2)如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OF. ∵DE∥平面ACF，DE?平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF， ∴DE∥OF，又∵矩形ABCD中，O為BD中點(diǎn)， ∴F為BE中點(diǎn)，∴＝. 11.(2014年皖南八校第三次聯(lián)考)如圖所示，已知四棱錐的側(cè)棱PD⊥平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝CD＝2，點(diǎn)M在側(cè)棱PC上．

11、 (1)求證：BC⊥平面BDP； (2)若tan∠PCD＝，點(diǎn)M是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，求三棱錐M－BDP的體積． 解析：(1)證明：由已知可得BD＝2， 又AD＝2，CD＝4，AB＝2， 則BC＝2，則BD2＋BC2＝16＝DC2， 所以BD⊥BC. 因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BC?平面ABCD， 故PD⊥BC. 又BD∩PD＝D， 所以BC⊥平面BDP. (2)如圖，過(guò)M作MG⊥DC交DC于點(diǎn)G. 由PD⊥DC，M是PC中點(diǎn)，知MG是△DCP的中位線，因此，MG∥PD，MG＝PD，又PD⊥平面ABCD， 所以MG⊥平面BDC. 又tan∠PCD＝， 得PD＝2

12、，MG＝PD＝1. 所以VM－BDP＝VP－BCD－VM－BCD ＝222－221＝. 12．(能力提升)(2013年高考四川卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點(diǎn)，P是線段AD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)． (1)在平面ABC內(nèi)，試作出過(guò)點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l，說(shuō)明理由，并證明直線l⊥平面ADD1A1； (2)設(shè)(1)中的直線l交AC于點(diǎn)Q，求三棱錐A1－QC1D的體積．(錐體體積公式：V＝Sh，其中S為底面面積，h為高) 解析：(1)如圖，在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作直線l∥

13、BC，因?yàn)閘在平面A1BC外，BC在平面A1BC內(nèi)，由直線與平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC. 由已知，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)， 所以，BC⊥AD，則直線l⊥AD. 因?yàn)锳A1⊥平面ABC， 所以AA1⊥直線l. 又因?yàn)锳D，AA1在平面ADD1A1內(nèi)，且AD與AA1相交，所以直線l⊥平面ADD1A1. (2)過(guò)D作DE⊥AC于E. 因?yàn)锳A1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1. 又因?yàn)锳C，AA1在平面AA1C1C內(nèi)，且AC與AA1相交， 所以DE⊥平面AA1C1C. 由AB＝AC＝2，∠BAC＝120，有AD＝1，∠DAC＝60， 所以在△ADE中，DE＝

14、AD＝， 又S△A1QC1＝A1C1AA1＝1， 所以VA1－Q C1D＝VD－A1Q C1＝DES△A1Q C1＝1＝. [B組　因材施教備選練習(xí)] 1.(2014年鄭州模擬)如圖，直角梯形ACDE與等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∠BAC＝∠ACD＝90，AE∥CD，DC＝AC＝2AE＝2. (1)求證：平面BCD⊥平面ABC； (2)求證：AF∥平面BDE； (3)求四面體B－CDE的體積． 解析：(1)證明：∵平面ABC⊥平面ACDE，平面ABC∩平面ACDE＝AC，CD⊥AC， ∴DC⊥平面ABC. ∵DC?平面BCD，∴平面BCD⊥平面AB

15、C. (2)證明：取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP，則PF綊DC. ∵EA綊DC， ∴EA綊PF，∴四邊形AFPE是平行四邊形， ∴AF∥EP，∵EP?平面BDE，∴AF∥平面BDE. (3)∵BA⊥AC，平面ABC∩平面ACDE＝AC， ∴BA⊥平面ACDE， ∴BA就是四面體B－CDE的高，且BA＝2. ∵DC＝AC＝2AE＝2，AE∥CD， ∴S梯形ACDE＝(1＋2)2＝3，S△ACE＝12＝1， ∵S△CDE＝3－1＝2， ∴VB－CDE＝22＝. 2.已知三角形ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，過(guò)C，B分別作CD，BE垂直于三角形ABC所在的平面，

16、且CD＝BE＝10，如圖，連接AD，DE，AE得一簡(jiǎn)單幾何體ABCDE. (1)求證：平面ACD⊥平面ADE；[來(lái)源: (2)簡(jiǎn)單幾何體的五個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D，E是否可以落在同一球面上？若可以，求出此球的體積；若不可以，說(shuō)明理由． 解析：(1)證明：因?yàn)锳B＝10，AC＝6，BC＝8，所以AC⊥BC， 因?yàn)镃D⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，所以CD∥BE，CD⊥BC，BE⊥BC. 又CD＝BE，所以四邊形BCDE為矩形，所以DE∥BC，又BC⊥AC，BC⊥CD，AC∩CD＝C.所以BC⊥平面ACD，于 是DE⊥平面ACD，又DE在平面ADE內(nèi)，所以平面ACD⊥平面ADE. (2)頂點(diǎn)A，B，C，D，E可以落在同一球面上，此球的球心為AE的中點(diǎn)． 記AE的中點(diǎn)為O，AB的中點(diǎn)為F，連接OF，CF，OC，OB，則有OF∥BE，故OF⊥平面ABC，OA＝OC＝OB＝OE＝＝＝5. 取CD的中點(diǎn)H，連接OH，OD. 易證得四邊形OHCF是矩形， 所以O(shè)H⊥CD， 在Rt△ODH中，OD＝＝＝5， 所以O(shè)A＝OB＝OC＝OD＝OE＝5， 所以A，B，C，D，E五點(diǎn)可以落在同一球面上，且球的體積V＝π(5)3＝π. 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品