高考數學人教A版理科含答案導學案【第三章】導數及其應用 學案15
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1、 精品資料 學案15 導數的綜合應用 導學目標: 1.應用導數討論函數的單調性,并會根據函數的性質求參數范圍.2.會利用導數解決某些實際問題. 自主梳理 1.函數的最值 (1)函數f(x)在[a,b]上必有最值的條件 如果函數y=f(x)的圖象在區(qū)間[a,b]上________,那么它必有最大值和最小值. (2)求函數y=f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟: ①求函數y=f(x)在(a,b)內的________; ②將函數y=f(x)的各極值與________比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.
2、
2.實際應用問題:首先要充分理解題意,列出適當的函數關系式,再利用導數求出該函數的最大值或最小值,最后回到實際問題中,得出最優(yōu)解.
自我檢測
1.函數f(x)=x3-3ax-a在(0,1)內有最小值,則a的取值范圍為 ( )
A.0≤a<1 B.0
3、.對于R上可導的任意函數f(x),若滿足(x-1)f′(x)≥0,則必有 ( )
A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)
4.(2011新鄉(xiāng)模擬)函數f(x)=ex (sin x+cos x)在區(qū)間上的值域為______________.
5.f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,則常數c的值為________.
探究點一 求含參數的函數的最值
例1 已知函數f(x)=x2e-ax (a>0),求函數在[1,2]上的最大值.
4、
變式遷移1 設a>0,函數f(x)=.
(1)討論f(x)的單調性;
(2)求f(x)在區(qū)間[a,2a]上的最小值.
探究點二 用導數證明不等式
例2 (2011張家口模擬)已知f(x)=x2-aln x(a∈R),
(1)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(2)求證:當x>1時,x2+ln x 5、化問題
例3 (2011孝感月考)某分公司經銷某種品牌產品,每件產品的成本為3元,并且每件產品需向總公司交a元(3≤a≤5)的管理費,預計當每件產品的售價為x元(9≤x≤11)時,一年的銷售量為(12-x)2萬件.
(1)求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產品的售價x的函數關系式;
(2)當每件產品的售價為多少元時,分公司一年的利潤L最大,并求出L的最大值Q(a).
變式遷移3 甲方是一農場,乙方是一工廠.由于乙方生產需占用甲方的資源,因此甲方有權向乙方索賠以彌補經濟損失并獲得一定凈收入,在乙方不賠付甲方的情況下,乙方的年利潤x(元)與年產量t(噸)滿足函數關系x=2 6、000.若乙方每生產一噸產品必須賠付甲方S元(以下稱S為賠付價格).
(1)將乙方的年利潤ω(元)表示為年產量t(噸)的函數,并求出乙方獲得最大利潤的年產量;
(2)甲方每年受乙方生產影響的經濟損失金額y=0.002t2(元),在乙方按照獲得最大利潤的產量進行生產的前提下,甲方要在索賠中獲得最大凈收入,應向乙方要求的賠付價格S是多少?
轉化與化歸思想的應用
例 (12分)(2010全國Ⅰ)已知函數f(x)=(x+1)ln x-x+1.
(1)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范圍;
(2)證明:(x-1)f(x)≥0.
【答題模板】
(1)解 ∵f′ 7、(x)=+ln x-1=ln x+,x>0,
∴xf′(x)=xln x+1.由xf′(x)≤x2+ax+1,
得a≥ln x-x,令g(x)=ln x-x,則g′(x)=-1,[2分]
當0 8、 x+ln x-x+1≤0,
∴(x-1)f(x)≥0.
當x≥1時,x-1>0,f(x)=(x+1)ln x-x+1
=ln x+xln x-x+1
=ln x-x≥0,
∴(x-1)f(x)≥0.[11分]
綜上,(x-1)f(x)≥0.[12分]
【突破思維障礙】
本小題主要考查函數、導數、不等式證明等知識,通過運用導數知識解決函數、不等式問題,考查了考生綜合運用數學知識解決問題的能力以及計算能力,同時也考查了函數與方程思想、化歸與轉化思想.通過轉化,本題實質還是利用單調性求最值問題.
1.求極值、最值時,要求步驟規(guī)范,含參數時,要分類討論參數的范圍.若已知函數單調 9、性求參數范圍時,隱含恒成立思想.
2.利用導數解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟:
(1)分析實際問題中各變量之間的關系,列出實際問題的數學模型,寫出相應的函數關系式y(tǒng)=f(x);
(2)求函數的導數f′(x),解方程f′(x)=0;
(3)比較函數的區(qū)間端點對應的函數值和極值,確定最值;
(4)回到實際問題,作出解答.
(滿分:75分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.(2011皖南模擬)已知曲線C:y=2x2-x3,點P(0,-4),直線l過點P且與曲線C相切于點Q,則點Q的橫坐標為 10、 ( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
2.已知函數y=f(x),y=g(x)的導函數的圖象如圖所示,那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是 ( )
3.設f′(x)是函數f(x)的導函數,y=f′(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)的圖象最有可能是 ( ) 11、
4.函數f(x)=-x3+x2+tx+t在(-1,1)上是增函數,則t的取值范圍是 ( )
A.t>5 B.t<5
C.t≥5 D.t≤5
5.(2011滄州模擬)若函數f(x)=,且0 12、、填空題(每小題4分,共12分)
6.在直徑為d的圓木中,截取一個具有最大抗彎強度的長方體梁,則矩形面的長為________.(強度與bh2成正比,其中h為矩形的長,b為矩形的寬)
7.要建造一個長方體形狀的倉庫,其內部的高為3 m,長和寬的和為20 m,則倉庫容積的最大值為_____________________________________________________________m3.
8.若函數f(x)=在區(qū)間(m,2m+1)上是單調遞增函數,則實數m的取值范圍為________.
三、解答題(共38分)
9.(12分)已知函數f(x)=(1+x)2-ln(1+x) 13、.
(1)求f(x)的單調區(qū)間;
(2)若x∈[-1,e-1]時,f(x) 14、最小值.
11.(14分)設函數f(x)=ln x,g(x)=ax+,函數f(x)的圖象與x軸的交點也在函數g(x)的圖象上,且在此點有公共切線.
(1)求a、b的值;
(2)對任意x>0,試比較f(x)與g(x)的大小.
答案 自主梳理
1.(1)連續(xù) (2)①極值?、诙它c值
自我檢測
1.B 2.D 3.C
4. 5.6
課堂活動區(qū)
例1 解題導引 求函數在閉區(qū)間上的最值,首先應判斷函數在閉區(qū)間上的單調性,一般方法是令f′(x)=0,求出x值后,再判斷函數在各區(qū)間上的單調性,在這里一般要用到分類討論的思想,討論的標準通常是極值點與區(qū)間
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