高考數(shù)學理一輪資料包 第十五章　概　率

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1、 精品資料 第十五章　概　率 第1講　隨機事件的概率 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．從6個男生、2個女生中任取3人，則下列事件中必然事件是(　　) A．3個都是男生 B．至少有1個男生 C．3個都是女生 D．至少有1個女生 2．對某電視機廠生產的電視機進行抽樣檢測，數(shù)據如下： 抽取臺數(shù) 50 100 200 300 500 1000 優(yōu)等品數(shù) 47 92 192 285 478 954 則該廠生產的電視機是優(yōu)等品的概率約為(　　) A．0.92 B．0.94 C．0.95

2、 D．0.96 3．抽查10件產品，設事件A：至少有2件次品，則A的對立事件為(　　) A．至多有2件次品 B．至多有1件次品 C．至多有2件正品 D．至多有1件正品 4．在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的是(　　) A．A＋B與C是互斥事件，也是對立事件 B．B＋C與D是互斥事件，也是對立事件 C．A＋C與B＋D是互斥事件，但不是對立事件 D．A與B＋C＋D是互斥事件，也是對立事件 5．(2011年廣東惠州調研)已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有

3、兩次命中的概率：先由計算器產生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結果．經隨機模擬產生了如下20組隨機數(shù)： 907　966　191　925　271 932　812　458　569　683 431　257　393　027　556 488　730　113　537　989 據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為(　　) A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15 6．(2012年江蘇)現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構成一個以1為首項，－3為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中隨機抽取

4、1個數(shù)，則它小于8的概率是________． 7．甲、乙二人下棋，甲獲勝的概率是50%，甲不輸?shù)母怕适?0%，則甲、乙二人下成和棋的概率為________． 8．一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取1個，取得2個紅球的概率為，取得2個綠球的概率為，則取得2個同顏色的球的概率為________；至少取得1個紅球的概率為________． 9．由經驗得知：在中華商場排隊等候付款的人數(shù)及其概率如下表： 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 5人以上 概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 0.04 (1)求至

5、少有1人排隊的概率； (2)求至多有2人排隊的概率； (3)求至少有2人排隊的概率． 10．某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬千瓦時)與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關，據統(tǒng)計，當X＝70時，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160. (1)完成如下的頻率分布表： 近20年六月份降雨量頻率分布表

6、 降雨量 70 110 140 160 200 220 頻率 (2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時的概率． 第2講　古典概型與幾何概型 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是(　　) A. B. C. D. 2

7、．在區(qū)間[－2,3]上隨機取一個數(shù)x，則|x|≤1的概率為(　　) A. B. C. D. 3．羊村村長慢羊羊決定從喜羊羊、美羊羊、懶羊羊、暖羊羊、沸羊羊中選派兩只羊去割草，則喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被選中的概率為(　　) A. B. C. D. 4．(2012年遼寧)在長為12 cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為(　　) A. B. C. D. 5．(2012年廣東江門模擬)從一個五棱錐的頂點和底面各頂點(共6個點)中隨機選取4個點，這4個點共面的概率等于(　　) A. B. C

8、. D. 6．(2013年陜西)如圖K1521，在矩形區(qū)域ABCD的A, C兩點處各有一個通信基站， 假設其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內無其他信號來源， 基站工作正常)．若在該矩形區(qū)域內隨機地選一地點， 則該地點無信號的概率是(　　) 圖K1521 A．1－ B.－1 C．2－ D. 7．(2012屆廣東肇慶模擬)某車間在三天內，每天生產10件某產品，其中第一天、第二天分別生產出了1件、n件次品，而質檢部每天要從生產的10件產品中隨意抽取4件進行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當天的產品不能通過．則第一天通過檢查的概率是_______________

9、_；若(1＋2x)5的第三項的二項式系數(shù)為5n，則第二天通過檢查的概率__________． 8．(2012屆廣東韶關調研改編)已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向區(qū)域Ω上隨機投一點P，則點P落入區(qū)域A的概率為________． 9．(2013年天津一模)某中學一、二、三年級分別有普法志愿者36人、72人、54人，用分層抽樣的方法從這三個年級抽取一個樣本，已知樣本中三年級志愿者有3人． (1)分別求出樣本中一、二年級志愿者的人數(shù)； (2)用Ai(i＝1,2…)表示樣本中一年級的志愿者，ai(i＝1,2，…)表

10、示樣本中二年級的志愿者，現(xiàn)從樣本中一、二年級的所有志愿者中隨機抽取2人，①用以上志愿者的表示方法，用列舉法列出上述所有可能情況，②抽取的2人在同一年級的概率． 10．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)． (1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率； (2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夾角是鈍角的概率．  第3講　離散型隨機變量及分布列 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．設隨機變量X等可能地取值1,2,3，…，n

11、，如果P(X≥4)＝0.7，那么(　　) A．n＝3 B．n＝4 C．n＝10 D．n＝9 2．隨機變量ξ的概率分布規(guī)律為P(ξ＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則P的值為(　　) A. B. C. D. 3．有n位同學參加某項選拔測試，每位同學能通過測試的概率是p(0

12、 P 0.1 m n 0.1 A.－0.2 B．0.2 C．0.1 D．－0.1 5．一袋中裝有大小相同，編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8的8個球，從中有放回地每次取1個球，共取2次，則取得2個球的編號之和不小于15的概率為(　　) A. B. C. D. 6．在一次考試的5道題中，有3道理科題和2道文科題，如果不放回的依次抽取2道題，則在第一次抽到理科題的條件下，第二次抽到理科題的概率為________． 7．已知隨機變量ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 則ξ為奇數(shù)的概

13、率為________． 8．某次知識競賽的規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出2個問題，即停止答題，晉級下一輪．假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于______． 9．(2012年廣東深圳第二次調研)深圳市某校中學生籃球隊假期集訓，集訓前共有6個籃球，其中3個是新球(即沒有用過的球)，3個是舊球(即至少用過一次的球)．每次訓練，都從中任意取出2個球，用完后放回．(1)設第一次訓練時取到的新球個數(shù)為ξ，求ξ的分布列； (2)求第二次訓練時恰好取到一個新球的概率．

14、 10．(2012屆廣東云浮模擬)甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是和.假設兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；每次射擊是否擊中目標，相互之間也沒有影響 (1)求甲射擊3次，至少1次未擊中目標的概率； (2)假設某人連續(xù)2次未擊中目標，則停止射擊，問：乙恰好射擊4次后，被中止射擊的概率是多少？ (3)設甲連續(xù)射擊3次，用ξ表示甲擊中目標的次數(shù)，求ξ的分布列．  第4講　離散型隨機變量的均值與方差 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知ξ的分布列為 ξ －1

15、 0 1 P 0.5 0.3 0.2 則E(ξ)＝(　　) A．0 B．0.2 C．－1 D．－0.3 2．已知ξ的分布列為 ξ －1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 則D(ξ)＝(　　) A．0.7 B．0.61 C．－0.3 D．0 3．設投擲1顆骰子的點數(shù)為ξ，則(　　) A．E(ξ)＝，D(ξ)＝ B．E(ξ)＝，D(ξ)＝ C．E(ξ)＝，D(ξ)＝ D．E(ξ)＝，D(ξ)＝ 4．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則

16、X的數(shù)學期望為(　　) A．100 B．200 C．300 D．400 5．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c[a，b，c∈(0,1)]，已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為2(不計其它得分情況)，則ab的最大值為(　　) A. B. C. D. 6．馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的概率分布列如下表．請小牛同學計算ξ的數(shù)學期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝______________. x 1 2 3 P(ξ＝x) ？ ！

17、？ 7.已知離散型隨機變量X的分布列如下表，若E(X)＝0，D(X)＝1，則a＝______，b＝______. X －1 0 1 2 P a b c 8.某學校要從演講初賽勝出的4名男生和2名女生中任選3人參加決賽． (1)設隨機變量ξ表示所選的3個人中女生的人數(shù)，則ξ的數(shù)學期望為________； (2)所選出的3人中至少有1名女生的概率為________． 9．為了迎接新年的到來，某單位的聯(lián)歡會上設計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有5個紅球和5個白球，這些球除了顏色外完全相同．一次從中摸出2個球，并且規(guī)定：摸到2個白球中三等獎，能夠得到獎金200元；摸

18、到1個紅球，1個白球中二等獎，能夠得到獎金600元；摸到2個紅球，中一等獎，能夠得到獎金1000元． (1)求某人參與摸獎一次，至少得到600元獎金的概率． (2)假設某人參與摸獎一次，所得的獎金為ξ元，求ξ的分布列及數(shù)學期望． 10．(2014年廣東廣州一模)甲、乙、丙三人參加某次招聘會，假設甲能被聘用的概率是，甲、丙兩人同時不能被聘用的概率是，乙、丙兩人同時能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互獨立． (1)求乙、丙兩人各自能被聘用的概率； (2)設ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人數(shù)與不能被聘用的人數(shù)之差的絕對值，求ξ

19、的分布列與均值(數(shù)學期望)．  第5講　正態(tài)分布 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2013年廣東惠州一模)設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，則a的值為(　　) A. B. C．5 D．3 2．(2013年山東濰坊一模)設隨機變量X～N(3,1)，若P(X＞4)＝p，則P(2＜X＜4)＝(　　) A.＋p B．1－p C．1－2p D.－p 3．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，P(ξ>3)＝0.023，則P(－3≤ξ≤3)＝(　　) A．0.477 B．0.628 C．0.954

20、D．0.977 4．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，則P(ξ≤0)＝(　　) A．0.16 B．0.32 C．0.68 D,0.84 5．某區(qū)于2014年元月對全區(qū)高三理科1400名學生進行了一次調研抽測，經統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)5科總分ξ(0<ξ<750)大致服從正態(tài)分布N(450,1302)，若ξ在(0,280)內取值的概率為0.107，則該區(qū)1400名考生中總分為620分以上的學生大約有(結果四舍五入)(　　) A．100人 B．125人 C．150人 D．200人 6．若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(X≤μ)＝________.

21、 7．在某項測量中，測量結果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)內取值的概率為0.4，則ξ在(0,2)內取值的概率為______________． 8．(2012年新課標)某個部件由三個元件按圖K1551的方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1000,502)，且各個元件能否正常相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為________． 圖K1551 9．某磚瓦廠生產磚的“抗斷強度”ξ服從正態(tài)分布N(30,0.82)．質檢人員從該廠某天生產的1000塊

22、磚中隨機地抽查1塊，測得它的抗斷強度為27.5公斤/厘米2，你認為該廠這天生產的這批磚是否合格？ 10．某年級的一次考試成績近似服從正態(tài)分布N(70,102)，如果規(guī)定低于60分為不及格，求： (1)考試成績不及格的學生占多少？ (2)成績在80～90分之間的學生占多少？ 第十五章　概　率 第1講　隨機事件的概率 1．B　2.C　3.B　4.D　5.B 6.　7.30%　8.　 9．解：(1)至少有1人排隊的概率為p1＝1－0.10＝0.90. (2)至多有2人排隊的概率p2＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56. (3)至少有2人排隊的概率p3＝1－(

23、0.10＋0.16)＝0.74. 10．解：(1)在所給數(shù)據中，降雨量為110毫米的有3個，為140毫米的有4個，為160毫米的有7個，為200毫米的有3個，為220毫米的有2個，故近20年六月份降雨量頻率分布表： 降雨量 70 110 140 160 200 220 頻率 (2)P(“發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時”) ＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210) ＝＋＋＝， 故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時的概率為. 第2講　古典概型與幾何概型 1．D　2.C　3.C　

24、4.C 5．B　解析：從6個點中隨機選取4個點共有C＝15種選法，4個點共面的有C＝5種選法，故4個點共面的概率等于＝. 6．A　解析：∵扇形ADE的半徑為1，圓心角等于90， ∴扇形ADE的面積為S1＝π12＝. 同理可得，扇形CBF的面積S2＝. 又∵長方形ABCD的面積S＝21＝2， ∴在該矩形區(qū)域隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是 p＝＝＝1－. 7.　　解析：∵隨意抽取4件產品檢查是隨機事件，而第一天有9件正品，第一天通過檢查的概率為p1＝＝.由第三項的二項式系數(shù)為C＝10＝5n?n＝2，故第二天通過檢查的概率為p1＝＝. 8.　解析：通過畫圖可知，點P落入區(qū)域

25、A的概率為＝. 9．解：(1)依題意，分層抽樣的抽樣比為＝. ∴在一年級抽取的人數(shù)為36＝2(人)． 在二年級抽取的人數(shù)為72＝4(人)． 所以一、二年級志愿者的人數(shù)分別為2人和4人． (2)①用A1，A2表示樣本中一年級的2名志愿者，用a1，a2，a3，a4表示樣本中二年級的4名志愿者． 則抽取2人的情況為A1A2，A1a1，A1a2，A1a3，A1a4，A2a1，A2a2，A2a3，A2a4，a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4，共15種． ②抽取的2人在同一年級的情況是A1A2，a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4，共7種． ∵

26、每一種情況發(fā)生的可能性都是等可能的， ∴抽取的2人是同一年級的概率為. 10．解：(1)設“a∥b”為事件A，由a∥b，得x＝2y.基本事件有：(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)．共包含12個基本事件．其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2個基本事件．故P(A)＝＝. (2)設“a，b的夾角是鈍角”為事件B，由a，b的夾角是鈍角，可得ab<0，即2x＋y<0，且x≠2y. Ω＝， B＝，作出可行域， 可得P(B)＝＝＝. 第3講　離散型隨機變量及分布列

27、1．C　2.D　3.D　4.B 5．D　解析：設編號之和為隨機變量X，則P(X＝15)＝＋＝，P(X＝16)＝＝，所以P(X≥15)＝P(X＝15)＋P(X＝16)＝＋＝. 6.　解析：設第一次抽到理科題為事件A，第二次抽到理科題為事件B，則兩次都抽到理科題為事件A∩B，∴P(A)＝，P(A∩B)＝.∴P(B|A)＝＝. 7．0.6　解析：p＝0.1＋0.4＋0.1＝0.6. 8．0.128　解析：由題意，知該選手恰好回答4個問題就晉級下一輪，必有第二個問題答錯，第三、四個問題答對，第一個問題可對可錯，則10.20.80.8＝0.128. 9．解：(1)ξ的所有可能取值為0,1,2.

28、 設“第一次訓練時取到i個新球(即ξ＝i)”為事件Ai(i＝0,1,2)．因為集訓前共有6個籃球，其中3個是新球，3個是舊球，所以 P(A0)＝P(ξ＝0)＝＝， P(A1)＝P(ξ＝1)＝＝， P(A2)＝P(ξ＝2)＝＝. 所以ξ的分布列為： ξ 0 1 2 P (2)設“從6個球中任意取出2個球，恰好取到1個新球”為事件B. 則“第二次訓練時恰好取到1個新球”就是事件A0B＋A1B＋A2B.而事件A0B，A1B，A2B互斥． 所以P(A0B＋A1B＋A2B)＝P(A0B)＋P(A1B)＋P(A2B)． 由條件概率公式，得 P(A0B)＝P(A0)

29、P(B|A0)＝＝＝， P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝＝＝， P(A2B)＝P(A2)P(B|A2)＝＝＝. 所以，第二次訓練時恰好取到一個新球的概率為 P(A0B＋A1B＋A2B)＝＋＋＝. 10．解：(1)記“甲連續(xù)射擊3次，至少1次未擊中目標”為事件A1，由題意，射擊3次，相當于3次獨立重復試驗，故P(A1)＝1－P()＝1－3＝. 答：甲射擊3次，至少1次未擊中目標的概率為. (2)記“乙恰好射擊4次后，被中止射擊”為事件A2，由于各事件相互獨立， 故P(A2)＝＋＝. 答：乙恰好射擊4次后，被中止射擊的概率是. (3)ξ的可能取值為0,1,2,3. P

30、(ξ＝0)＝C3＝， P(ξ＝1)＝C2＝， P(ξ＝2)＝C21＝， P(ξ＝3)＝C30＝. ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 P 第4講　離散型隨機變量的均值與方差 1．D　2.B　3.B　4.B 5．D　解析：由已知得3a＋2b＋0c＝2，即3a＋2b＝2， ∴ab＝3a2b≤2＝. 6．2　解析：設“？”表示的數(shù)為x，“！”表示的數(shù)為y，由分布列的性質，得2x＋y＝1，E(ξ)＝x＋2y＋3x＝4x＋2y＝2. 7.　　解析：∴ 8．(1)1　(2)　解析：(1)ξ可能取的值是0,1,2， ξ的分布列為： ξ 0 1 2

31、 P ξ數(shù)學期望為E(ξ)＝0＋1＋2＝1. (2)所選3人中至少有一名女生的概率為 P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝. 9．解：記“摸到2個白球且得到200元獎金為事件A”，“摸到1個白球、1個紅球且得到600元獎金為事件B”，“摸到2個紅球且得到1000元獎金為事件C”，由題意可以知道： P(A)＝＝， P(B)＝＝， P(C)＝＝， (1)求某人參與摸獎一次，至少得到600元獎金的概率為：P(B)＋P(C)＝＋＝. (2)假設某人參與摸獎一次，所得的獎金為ξ元，則ξ的分布列如下表： ξ 200 600 1000 P ξ的

32、數(shù)學期望為： E(ξ)＝200＋600＋1000＝600(元)． 10．解：(1)記甲、乙、丙各自能被聘用的事件分別為A1、A2、A3， 由已知A1、A2、A3相互獨立，且滿足 解得P(A2)＝，P(A3)＝. 所以乙、丙各自能被聘用的概率分別為，. (2)ξ的可能取值為1,3. 因為P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＋P( ) ＝P(A1)P(A2)P(A3)＋[1－P(A1)][1－P(A2)][1－P(A3)] ＝＋＝. 所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝3)＝1－＝. 所以ξ的分布列為 ξ 1 3 P 所以E(ξ)＝1＋3＝. 第5講　正態(tài)分布

33、 1．A　2.C　3.C　4.A　5.C　6. 7．0.8　解析：∵ξ～N(1，σ2)，因此正態(tài)分布曲線關于直線x＝1對稱，則P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝0.8. 8.　解析：三個電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N(1000,502)，故有：三個電子元件的使用壽命超過1000小時的概率為p＝. 超過1000小時時元件1或元件2正常工作的概率p1＝1－(1－p)2＝. 那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為p2＝p1p＝. 9．解：∵ξ～N(30,0.82)，∴ξ在(30－30.8,30＋30.8)之外取值的概率只有0.003，而27.5? (27.6,32.4)， ∴這說明在一次試驗中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件．據此可認為這批磚不合格． 10．解：(1)設學生的考試成績?yōu)殡S機變量ξ， 則ξ～N(70,102)，故μ＝70，σ＝10. 因為P(60<ξ≤80)＝P(70－10<ξ≤70＋10)＝0.682 6， 故不及格的學生占(1－0.682 6)100%＝15.87%. (2)因為P(80<ξ≤90)＝[P(70－20<ξ≤70＋20)－P(60<ξ≤80)]＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9， 所以考試成績在80～90分之間的學生占13.59%.